ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.04.2025
Просмотров: 736
Скачиваний: 0
б) в соответствии с принципом суперпозиции, произвольным способом рассчитываются коэффициенты (взаимные частичные проводимости, взаимные частичные сопротивления, коэффициенты передачи тока, коэффициенты передачи напряжения), связывающие независимые источники энергии, источники uC и iL с одной стороны, и токи iC, напряжения uL, а также выходные величины, с другой стороны.
в) применение компонентных уравнений
iC (t) = C |
duC (t) |
и |
uL (t) = L |
diL (t) |
|||
dt |
dt |
||||||
позволяет выразить элементы матриц A1, B1 через найденные |
|||||||
коэффициенты для |
iC и uL, в то время как элементы матриц A2, B2 просто |
||||||
совпадают с соответствующими коэффициентами для выходных величин. Решение уравнений состояния записывается в общем виде с
помощью интеграла от матричной экспоненты:
t |
||||||||||||||||||||||||
(t) = eA1t |
(0)+ eA1t ∫e−A1t B1 |
(t)dt |
||||||||||||||||||||||
x |
x |
v |
||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||
Вычисление матричной экспоненты осуществляется, например с |
||||||||||||||||||||||||
помощью формулы Бейкера: |
||||||||||||||||||||||||
eA1t = |
Dn−1 |
A n−1 + ... + |
D2 |
A 2 |
+ |
D1 |
A + |
D0 |
1 |
|||||||||||||||
D |
1 |
D |
1 |
D |
1 |
D |
||||||||||||||||||
где |
1 |
1 ... |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
|||||||||||||||||
λ1 |
λ2 |
... |
λn |
|||||||||||||||||||||
λ1 |
λ2 ... |
λn |
||||||||||||||||||||||
... ... ... ... |
||||||||||||||||||||||||
D = |
λ12 |
λ2 |
2 ... |
λn |
2 |
D = |
||||||||||||||||||
i |
eλ1t |
eλ2t |
... |
eλnt |
||||||||||||||||||||
... |
... ... ... |
|||||||||||||||||||||||
λ i+1 |
λ i+1 |
... |
λ i+1 |
|||||||||||||||||||||
n−1 |
n−1 |
n−1 |
||||||||||||||||||||||
λ1 |
λ2 |
... |
λn |
1 |
2 |
n |
||||||||||||||||||
... ... ... ... |
||||||||||||||||||||||||
– определители Вандермонда, а λi – собственные числа матрицы A1. Начальные значения x(0) переменных состояния соответствуют независимым начальным условиям и должны быть вычислены в цепи до
коммутации.
Иначе можно получить решение уравнений состояния с помощью преобразования Лапласа:
X( p) = (1 p − A )−1 |
(B V( p) + |
(0)), |
= L−1 |
(X( p)) |
||
x |
x |
|||||
1 |
1 |
Домашняя подготовка
1.Разобрать задачи 6.93(р), 6.88(р) (3 часть)
2.Решить задачу 6.92 (составить уравнения состояния)
Рабочее задание
1.Решить задачи: 6.94 (с помощью матричной экспоненты), 6.97 (с помощью преобразования Лапласа)
Контрольные вопросы
1.Какие величины используются в качестве переменных состояния?
2.На примере последовательного RLC-контура сформируйте уравнения состояния.
3.Как, зная уравнения состояния (при известных матрицах A1, B1 и A2, B2), найти корни характеристического уравнения цепи?
4.Как, зная уравнения состояния (при известных матрицах A1, B1 и A2, B2), найти установившийся режим при постоянных источниках?
Литература
1.Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: в 3-х т. СПб.: Питер, 2003, Т.2.,
стр. 55-66
2.Сборник задач по теоретическим основам электротехники/под ред. Бутырина П.А. -М.:Издательский дом МЭИ, 2012, Т.1, 595с., стр. 264-
273
Лабораторно-практическое занятие 28
Тема: длинные линии в установившемся режиме
Содержание работы
Расчеты:
2.Расчет вторичных параметров линии
3.Расчет установившегося режима в длинной линии
Теоретическая справка
Рассматривается цепь с распределенными параметрами в установившемся режиме – двухпроводная длинная линия при воздействии синусоидальных источников электрической энергии. В установившемся режиме при синусоидальных источниках осуществляется переход к комплексным амплитудам тока и напряжения (см. раздел линейные цепи синусоидального тока, лабораторные работы №№ ). Решение телеграфных уравнений в этом случае может быть записано в виде суммы прямых (падающих) и обратных (отраженных) волн напряжения и тока:
& |
& |
& |
& |
−γx |
& |
γx |
|||||
U (x) =U |
ПР (x) +UОБР (x) = |
A1e |
+ A2e |
||||||||
& |
& |
||||||||||
A |
−γx |
A |
eγx |
||||||||
I&(x) = I&ПР (x) − I&ОБР (x) = |
1 |
e |
− |
2 |
|||||||
ZВ |
|||||||||||
ZВ |
|||||||||||
где A1 |
, A2 |
& |
& |
– комплексные постоянные интегрирования, называемые
также постоянными прямой и обратной волны;
γ и ZВ – вторичные параметры линии, постоянная распространения и волновое сопротивление;
& |
& |
||||
ZВ |
= |
U ПР (x) |
= |
UОБР (x) |
|
I&ПР (x) |
I&ОБР (x) |
||||
ось координат x направлена от генераторного конца линии (x=0) к нагрузочному (x=l), где l – длина линии (см. рис. 28.1).
Рис. 28.1
Вторичные параметры определяются следующим образом:
γ = α + jβ = ( jωL0 + r0 )( jωC0 + g0 )
ZВ |
= |
jωL0 + r0 |
||
jωC0 |
+ g0 |
|||
где r0 – сопротивление проводников на единицу длины (Ом/м); g0 – проводимость среды между проводниками на единицу длины (См/м); C0 – удельная емкость между проводниками (Ф/м); L0 – индуктивность контура, образованного участками проводов (Гн/м) – первичные параметры линии;
коэффициент α (действительная часть постоянной распространения) называют постоянной затухания;
коэффициент β (мнимая часть постоянной распространения) называют постоянной фазы.
Выражения для тока и напряжения можно представить в виде:
& |
& |
−αx |
e |
− jβx |
+ |
& |
αx |
e |
jβx |
||
U (x) = A1e |
A2e |
||||||||||
& |
& |
||||||||||
A |
A |
||||||||||
I&(x) = |
1 |
e−αx e− jβx − |
2 |
eαx e jβx |
|||||||
ZВ |
ZВ |
||||||||||
Из этих выражений следует, что коэффициент α определяет изменение (затухание) амплитуды прямой и обратной волн при распространении вдоль линии; коэффициент β определяет изменение фазы прямой и обратной волн при распространении вдоль линии.
Фазовая скорость в линии задается соотношением:
vФ = ωβ ,
адлина волны λ:
λ= 2βπ ↔ β = 2λπ
Для расчета режима в линии (то есть для расчетов токов и напряжений в произвольных точках линии) следует определить значения постоянных интегрирования. Для этого необходимо использовать известные токи или напряжения на концах линии – граничные условия. На пассивной нагрузке граничное условие задается в виде соотношения между током и напряжением – в виде сопротивления нагрузки; в этом случае удобно перейти к другой системе координат – направленной от нагрузочного конца линии (y=0) к генераторному (y = l):
& |
& |
αy |
e |
jβy |
& |
−αy |
e |
− jβy |
||||
U ( y) = C1e |
+ C2e |
|||||||||||
& |
& |
|||||||||||
C |
C |
2 |
||||||||||
I&( y) = |
1 |
eαy e jβy − |
e−αy e− jβy |
|||||||||
ZВ |
ZВ |
|||||||||||
Здесь введены новые постоянные интегрирования, связь между которыми может быть записана с помощью коэффициента отражения N:
N = |
& |
= |
& |
= |
ZН |
− ZВ |
|
& |
& |
||||||
U ОБР |
IОБР |
||||||
U ПР |
IПР |
ZН + ZВ |
|||||
& |
& |
||||||
C2 |
= NC1 |
||||||
Граничные условия могут быть заданы непосредственно, но часто возникает необходимость рассчитывать ток или напряжение на генераторном конце линии, используя схему цепи с сосредоточенными параметрами, подключенную к генераторному концу линии, заменяя саму линию ее входным сопротивлением:
& |
1 + Ne |
−2γx |
|||||
Z |
( y) = |
U ( y) |
= Z |
||||
B 1 − Ne−2γx |
|||||||
ВХ |
I&( y) |
||||||
В случае, когда сопротивление нагрузки равно волновому ZН=ZВ в линии отсутствует отраженная волна (N=0) – режим согласованной нагрузки. Для определения вторичных параметров линии можно использовать соотношение между входным сопротивлением линии ZК при коротком замыкании на нагрузке и входным сопротивлением линии ZХ при холостом ходе на нагрузке:
th(γ l) = ZК
ZХ
ZВ = ZКZХ
Домашняя подготовка
1. Ознакомиться с решением задач: 10.1(р), 10.3(р),
Рабочее задание
1. Решить задачи: 10.11, 10.12, 10.13, 10.21, 10.17
Контрольные вопросы
1.Дайте определение понятиям длина волны, фазовая скорость.
2.В каких случаях следует рассматривать цепь с распределенными параметрами в переходном, установившемся режиме?
3.Что называют первичными, а что вторичными параметрами
линии?
4.При каком условии в линии отсутствует отраженная волна?
Литература
1. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: в 3-х т. СПб.: Питер, 2003, Т.2.,
стр. 275-277, 280-283, 2. Сборник задач по теоретическим основам электротехники/под ред.
Бутырина П.А. -М.:Издательский дом МЭИ, 2012, Т.2, 571с., стр. 9-15.