ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.05.2025
Просмотров: 1251
Скачиваний: 2
1.6.1. Пример получения линеаризованных уравнений генератора постоянного тока на
холостом ходу. |
||||||||
ОВ – обмотка возбуждения. |
||||||||
ОВ |
ФВ |
ГПТ – генератор постоянного тока. |
||||||
i |
ГПТ |
RИСТ |
– активное сопротивление |
|||||
R |
B |
источника питания. |
||||||
ист |
||||||||
UB |
е |
еВ |
– |
ЭДС |
источника питания |
|||
е |
г |
(возбуждения). |
||||||
дв |
||||||||
в |
w |
|||||||
iB, |
UB – ток |
и напряжение на |
||||||
Rов , |
ов |
обмотке возбуждения. |
||||||
Рис.1.24. Схема генератора постоянного тока
ФВ – электромагнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения.
дв - скорость, с которой посторонний двигатель вращает якорь генератора постоянного тока.
ег – ЭДС генератора.
RОВ – активное сопротивление обмотки возбуждения
ов - число витков обмотки возбуждения.
Уравнение обмотки возбуждения (рис.1.25).
ОВ: 1) ев (t) (RИСТ RОВ ) iВ (t) |
ОВ |
ФВ (t) |
|
t |
|||
ЭДС самоиндукции
2) ФВ f (iВ )
Ф В
i В
Рис.1.25. Характеристика петли гистерезиса обмотки возбуждения ГПТ
3) ГПТ – цепь генератора
еГ (t) СГ ФВ (t)
СГ –коэффициент пропорциональности между напряжением и электромагнитным потоком возбуждения.
Уравнения 1-3 это описание ГПТ в виде нелинейных дифференциальных уравнений (точнее,
уравнения 1 и 3 – линейные, а уравнение 2 – нелинейное статическое уравнение).
19
1)Если шириной петли гистерезиса пренебречь нельзя, то линеаризация невозможна, и для описания требуется привлечение аппарата анализа нелинейных систем.
2)Если ширина петли гистерезиса мала, то двухзначная характеристика заменяется на однозначную (среднюю линию петли гистерезиса).
Рассмотрим 2 участка.
ФВ |
|
Нелинейная |
Нелинейная |
зона |
зона |
i В
Линейная
зона
.Рис.1.26. Характеристика обмотки возбуждения ГПТ
1.6.1.1. Получение линеаризованных уравнений ГПТ для рабочей точки в нелинейной зоне
Рис.1.27. Линеаризация в нелинейной зоне характеристики обмотки возбуждения ГПТ
ФВ |
ФВ |
Ф 0 |
iВ |
В |
|
iВ |
Получим систему линеаризованных уравнений, используя линеаризованное уравнение в приращениях.
Запишем уравнение стационарной точки (рабочей точки)
В стационарной точке все входы и выходы постоянны, все производные равны нулю.
Запишем 2-а уравнения стационарной точки:
еВ0 RBiB0
е0Г CГ ФВ0
Тогда сигналы можно представить как отклонения от стационарной точки:
20
е |
В |
(t) e0 |
e |
B |
(t) |
Ф (t) Ф0 |
Ф (t) |
||||||
B |
В |
В |
В |
||||||||||
eГ (t) eГ0 |
еГ (t) |
iB (t) iB0 |
iB (t) |
||||||||||
где |
eB0 - рабочая точка, а |
eB (t) |
- приращение от этой рабочей точки. |
||||||||||
С использованием записанных равенств, получим: |
|||||||||||||
еB0 |
RB (iB0 |
d (Ф0 |
Ф (t)) |
||||||||||
eB (t) |
iB (t)) |
B |
В |
В |
|||||||||
dt |
|||||||||||||
eB0 |
RBiB |
||||||||||||
1') |
eB (t) |
RB iB (t) |
B |
d ФВ (t) |
|||||||||
dt |
|||||||||||||
2’) |
ФВ |
а iB |
a |
ФВ (t) |
Уравнение линеаризации, проведенное по току; |
||||||
iB |
iB0 ,ФВ0 |
||||||||||
3’) е0 |
(Ф0 |
||||||||||
е |
Г |
(t) C |
Г |
Ф (t)) |
|||||||
Г |
В |
В |
|||||||||
eГ0 |
СГ ФВ0 |
||||||||||
еГ (t) CГ ФВ (t)
Уравнения 1’-3’ - это линеаризованные уравнения в приращениях, описывающие работу генератора постоянного тока вблизи рабочей точки, лежащей в нелинейной зоне.
1.6.1.2. Получение линейных уравнений ГПТ с рабочей точкой в линейной зоне.
2”) |
ФВ |
L1BiB |
||||
L1B |
индуктивность одного витка обмотки возбуждения. |
|||||
1 |
diB (t) |
|||||
1”) |
еВ (t) |
RBiB (t) LB |
B |
|||
dt |
||||||
LB |
||||||
В -число |
витков |
обмотки возбуждения. |
||||
LB – индуктивность обмотки возбуждения. |
||||||
3”) еГ (t) CГ L1BiB (t) |
||||||
C |
CГ L1B |
|||||
Уравнения 1”-3”это линейные уравнения, описывающие работу ГПТ в линейной зоне.
21
Лекция 4
2. Математическое описание систем автоматического управления
2.1. Свойства преобразования Лапласа. Лекция 4.
Передаточные функции используют преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа его свойства.
Формула преобразования Лапласа: F ( p) |
f (t)e pt dt |
0 |
f (t) называется оригиналом, а F ( p) - изображением по Лапласу, что отображается следующим
образом: f (t) F( p).
р – комплексная величина, называемая оператором Лапласа.
Преобразование Лапласа заменяет решение дифференциальных уравнений во временной области,
решением алгебраических уравнений в плоскости р, что облегчает задачу анализа систем.
Свойства преобразования Лапласа
1. Линейность
L{af1 (t) bf 2 (t)} aF1 ( p) bF2 ( p)
F( p) L{ f (t)}, г де L обозначает преобразование Лапласа.
Таким образом, преобразование Лапласа от суммы равно сумме преобразований Лапласа.
2. Изображение производных.
L |
df (t) |
pF( p) f (0) ; |
|
dt |
|||
L |
d n f (t) |
p n F ( p) p n 1 |
f (0) ... f n |
1(0) . |
|||
dt n |
|||||||
При нулевых начальных условиях: |
L |
d n f (t) |
pn F ( p) |
||||
dtn |
|||||||
3. Преобразование Лапласа от интеграла (Изображение интеграла).
t |
F ( p) |
|
L f ( )d |
||
p |
||
0 |
||
4. Изображение Лапласа от функции с запаздывающим аргументом (рис.2.1).
22
f(t)
f(t)
f (t )
t
Рис.2.1. Пример функции с запаздывающим аргументом
Изображение от функции с запаздывающим аргументом имеет вид:
L{ f (t )} e p F ( p) ,
Где е p - оператор запаздывания.
5.Теорема о конечном значении.
lim f (t) |
lim pF ( p) |
t |
p 0 |
Если предел существует, это означает, что поведение функции в бесконечности, определяется поведением её изображения в нуле.
2.2. Передаточные функции.
Понятие передаточной функции (рис.2.2).
xBX(t) |
САУ |
xВЫХ(t) |
W(p) |
||
Рис.2.2. Передаточная функция системы
Передаточной функцией (W(p)) называется отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала по Лапласу при нулевых начальных условиях (ННУ).
ННУ – означают, что входной и выходной сигнал вместе с их (n-1) производными равен нулю.
1.Пример получения передаточной функции.
Передаточная функция ГПТ.
TddteГ eГ К еВ
Воздействуем оператором Лапласа на правую и левую часть дифференциального уравнения.
23
L |
Td eГ (t) |
eГ (t) |
L{K eB } |
||||||||
dt |
|||||||||||
L{ eГ (t)} E Г ( p) |
|||||||||||
Введем обозначения L{ |
eB (t)} |
EB ( p) . |
|||||||||
T{pEГ ( p) |
eГ (0)} |
ЕГ ( p) |
K EB ( p) |
||||||||
eГ (0) |
0 |
||||||||||
TpEГ ( p) |
EГ ( p) K EB ( p) |
||||||||||
E Г ( p)(Tp 1) |
K EB ( p) |
||||||||||
Получим передаточную функцию: |
|||||||||||
W ( p) |
EГ ( p) |
K |
|||||||||
EB ( p) |
Tp 1 |
||||||||||
2.Пример получения передаточной функции (рис.2.3).
Рис.2.3. RLC - цепочка
Уравнения, описывающие процессы в RLC - цепочке :
U1 |
(t) i(t)R L |
di(t) |
U 2 (t) |
|
dt |
||||
i(t) C |
dU 2 (t) |
|
dt |
||
Подставляя второе уравнение в первое, получим: |
||
U1 |
(t) CR |
dU 2 (t) |
LC |
d 2U |
2 |
(t) |
U 2 |
(t) - линейное уравнение «вход – выход». |
dt |
dt |
2 |
||||||
В ТАУ принята специальная форма записи дифференциальных уравнений, при которой слева записывается выходной вместе с его производными сигнал в порядке уменьшения степени производных, справа входной сигнал с его производными в том же порядке, при этом коэффициент при выходном сигнале принимается равным 1.
24