ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.05.2025
Просмотров: 1254
Скачиваний: 2
Таким образом, запишем:
LC |
d 2U |
2 (t) |
CR |
dU 2 |
(t) |
U 2 |
(t) U1(t) |
dt |
2 |
dt |
|||||
Применяя к уравнению преобразование Лапласа и предполагая нулевые начальные
условия, получим:
(LCp2 CRp |
1)U 2 ( p) |
U1( p) , или передаточную функцию: |
||||
W ( p) |
U2 |
( p) |
1 |
|||
U1 |
( p) |
LCp2 |
CRp 1 |
|||
2.3. Частотные характеристики САУ
Комплексный коэффициент усиления (рис.2.4)
хвх(t) |
хвых( t) |
||||||||
Авх |
Авых |
||||||||
t |
САУ |
t |
|||||||
2 |
2 |
||||||||
xВХ (t) ABX |
sin |
t |
xВЫХ (t) AВЫХ ( |
) |
sin( |
t |
ВЫХ ( |
)) |
|
Рис.2.4. Схема прохождения гармонического сигнала через САУ |
|||||||||
Воспользуемся формулой Эйлера: е j t cos t j sin t и запишем входной и выходной
сигнал в комплексной форме (используя формулу Эйлера).
xBX (t) |
Im{ABX e j t } |
Im |
х ВЫХ |
xВЫХ (t) |
Im{AВЫХ ( |
) e j( |
t ( )} Im х ВЫХ |
Введем понятие комплексного коэффициента усиления (ККУ)
W ( j ) |
х ВЫХ |
х ВХ
Определение:
ККУ – это отношение выходного сигнала ко входному в установившемся режиме,
записанных в комплексной форме при подаче на вход системы гармонического сигнала (рис.2.5).
25
j ABX(длина)
х ВХ
+
АВЫХ |
|||||||||||||
х ВЫХ |
|||||||||||||
Рис.2.5. Представление гармонических сигналов на комплексной плоскости |
|||||||||||||
Вектора вращаются против часовой стрелки со скоростью |
, |
а сигнал - это проекция |
|||||||||||
векторов на мнимую часть. |
|||||||||||||
х ВЫХ |
A |
( ) |
e j( |
t ( )) |
) e j ( ) |
||||||||
W ( j ) |
ВЫХ |
A( |
|||||||||||
A |
e j |
t |
|||||||||||
х ВХ |
BX |
||||||||||||
где A( ) |
AВЫХ ( ) |
АВХ ( |
) |
||||||||||
А( |
) – |
это |
амплитудно-частотная |
характеристика (АЧХ) |
- |
отношение амплитуды |
|||||||
выходного сигнала к амплитуде входного сигнала на определенной частоте (при подаче на вход
гармонического сигнала частоты ).
( ) - фазовая частотная характеристика (ФЧХ) –разность фаз между выходным и
входным сигналом при подаче на вход гармонического сигнала определенной частоты.
Если разложить полученное выражение для ККУ по формуле Эйлера, получим:
W( j ) |
A( )(cos ( |
) |
jsin |
( )) |
P( ) |
jQ( ) |
|||||||||
где : P( |
) |
A( |
)cos |
( |
) - вещественная частотная характеристика (ВЧХ); |
||||||||||
Q( ) |
A( |
)sin |
( ) - мнимая частотная характеристика (МЧХ). |
||||||||||||
Геометрическая интерпретация ККУ (рис.2.6) |
|||||||||||||||
j |
|||||||||||||||
Годограф меняется от |
|||||||||||||||
минус беск-ти до 0 |
|||||||||||||||
Зеркальное |
|||||||||||||||
отображение |
|||||||||||||||
P( |
) |
||||||||||||||
Q( |
) |
( |
) |
||||||||||||
А( |
) |
( j |
) |
||||||||||||
От 0 до |
|||||||||||||||
Рис.2.6. Геометрическая интерпретация комплексного коэффициента усиления
Определение: Геометрическое место точек конца вектора W( j ) называется годографом
(Найквиста), или амплитудно-фазовой характеристикой АФХ.
26
Частота меняется в диапазонах: |
или 0 |
. |
||
Используемые в ТАУ характеристики. |
||||
1). АЧХ – амплитудная частотная характеристика. Строится в обычном масштабе от |
||||
частоты, меняющейся в диапазоне от 0 до |
. Строится по выражению A( |
). |
||
2). ФЧХ – фазовая частотная характеристика. Строится по выражению ( |
) в обычном |
|||
масштабе в диапазоне частот от 0 до . |
||||
3). ВЧХ – Вещественная частотная характеристика. Строится |
по выражению P( )в |
|||
обычном масштабе в диапазоне частот от 0 до . |
||||
4). МЧХ – мнимая частотная характеристика. Строится по выражению Q( |
) в обычном |
|||
масштабе в диапазоне частот от 0 до |
||||
5). АФХ – амплитудно-фазовая характеристика. Строится по выражению W( j ) на
комплексной плоскости при изменении частот либо от 0 до , либо от |
до . |
||||||||||||||
6). ЛАЧХ – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика: |
|||||||||||||||
L( |
) 20lg A( ) |
||||||||||||||
Строится в логарифмическом масштабе при изменении частоты от 0 до (рис.2.7). |
|||||||||||||||
L( ) |
(дб) |
||||||||||||||
40 |
|||||||||||||||
20 |
|||||||||||||||
0.1 |
1 |
10 |
100 |
||||||||||||
-20 |
|||||||||||||||
-40 |
|||||||||||||||
Рис.2.7. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика |
|||||||||||||||
Децибела – логарифмическая единица измерения отношения 2-х величин. |
|||||||||||||||
Декада – диапазон частот, на котором частота изменяется в 10 раз. |
|||||||||||||||
6). |
Асимптотическая |
ЛАЧХ |
- |
L ( |
) |
- |
это характеристика, |
полученная из |
L( ) |
||||||
0 20 40 60 ... |
дб |
||||||||||||||
аппроксимацией её отрезками прямых с наклонами: |
дек . |
Следует заметить, что |
|||||||||||||
логарифмический масштаб спрямляет криволинейные характеристики, после чего такая аппроксимация становится возможной.
7). ЛФЧХ – логарифмическая фазовая частотная характеристика. Строится в полулогарифмическом масштабе в диапазоне частот от 0 до (рис.2.8).
27
( |
) |
Обычный масштаб |
|||||||
2 |
(2) lg( ) |
||||||||
(-1) |
(0) |
(1) |
|||||||
0.1 |
1 |
10 |
100 |
||||||
2 |
|||||||||
Лекция 5
Рис. 2.8. Логарифмическая фазовая частотная характеристика
2.4. Типовые динамические звенья. Лекция 5.
Динамическим звеном называется некоторое устройство, либо система в целом,
описываемая линейным дифференциальным уравнением или передаточной функцией.
Динамические звеньями обладают двумя свойствами:
Однонаправленность (передача сигнала осуществляется в одном направлении от входа к выходу, т.е. выход не влияет на вход системы). Типичным примером динамического звена является термопара – устройство для измерения температуры, состоящее из двух металлических пластин, один конец которых соединен и помещается в нагретое пространство, а между несоединенными концами при этом появляется напряжение (э.д.с.). Естественно, э.д.с. не влияет на температуру.
Характеристики динамических звеньев не меняются при их различном подключении друг к другу. Продемонстрируем это на примере соединения RLC – цепочки и делителя напряжения
(рис.2.9):
Рис. 2.9. RLC - цепочка
Если цепочки соединены через усилитель с большим входным и малым выходным сопротивлением, т.е. вторая цепочка не нагружает первую, то второе свойство выполняется, а в противном случае – нет, что легко показать, найдя передаточную функцию последовательного соединения цепочек и убедившись, что она не равна произведению двух исходных передаточных функций.
28
Типовыми называются динамические звенья, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, или передаточными функциями не выше второго порядка.
2.4.1. Безынерционное (пропорциональное) звено
Примеры: а) редуктор, у которого отношение угловых скоростей вращения выходного вала
к скорости вращения входного вала равно передаточному числу i p |
2 |
.т.е.W ( p) |
i p ; |
|||||
1 |
||||||||
б) рычаг (рис.2.10), для которого выполняется соотношение: p1 |
l1 p2 l2 , |
|||||||
т.е. W ( p) |
p2 |
l1 |
. |
|||||
p1 |
l2 |
|||||||
Рис.2.10. Схема рычага
Таким образом, передаточная функция безынерционного звена равна:
W ( p) K Ke j0 K j 0
1) АФХ (годограф Найквиста): |
2) АЧХ ( A( ) ) |
||
К= Кe-j0 |
A( ) |
||
j |
K |
||
+
K
Рис.2.11. Характеристики безынерционного звена (годограф, АЧХ)
3) ВЧХ ( P( ) ) |
4) МЧХ ( Q( ) ) |
|
P( |
)=K |
Q( )=0 |
ФЧХ ( ( )) |
( )=0 |
|
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) (рис.2.12) |
||
( L( ) |
20 lg A( ) |
20 lg K |
29