Файл: Высшая математика для 1 и 2 курса.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1492

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

6) По формуле (1.43) запишем уравнение искомой окружности:

25

2

27 2

10

x −

+ y −

=

14

196 .

14

Задача 3. Оси эллипса совпадают с осями координат. Большая полуось расположена на оси Ох. Записать уравнение эллипса и сделать чертеж, с изображением директрис, если известно, что расстояние

между фокусами равно 2c = 6 , а эксцентриситет ε = 3 . 5

Решение. Из условия задачи вытекает, что c = 3 . Из определения

эксцентриситета имеем ε = c = 3 = 3 , следовательно a = 5 . По форму- a a 5

ле связывающей а, b и c находим

b = a2 − c2 = 25 −16 = 4 .

y

x = −

25

B2 (0; 4)

x =

25

3

3

A (−5; 0)

F1 (−3; 0)

O

A2

(5; 0)

F (3; 0)

x

1

2

B1 (0; − 4)

Рис. 1.16

Следовательно, искомое уравнение имеет вид x2 + y2 = 1.

25

16

Уравнения директрис:

x =

a

=

5

=

25

;

x = −

a

= −

5

= −

25

.

ε

ε 3

3

3

3

5

5

35

Эллипс и директрисы изображены на рис. 1.16.

Задача 4. Фокусы гиперболы расположена на оси Ох, симметрично начала координат. Записать уравнение гиперболы и сделать чертеж, с изображением директрис и асимптот, если известно, что рас-

стояние между директрисами равно 12 4 , а уравнения асимптот

5

y = ± 3 x . 4

Решение. Так как фокусы гиперболы расположены на оси Ох, то уравнение гиперболы имеет вид

x2

−

y2

= 1.

a2

b2

Найдем а и b. Поскольку расстояние между директрисами равно

12 4 , то уравнение правой директрисы определяется выражением

5

x =

a

=

32

. Учитывая то, что ε =

с

, c =

и

b

=

3

имеем

a2 + b2

a

ε 5

a 4

x =

a

=

a2

=

a2

=

a

=

a

=

4a

=

32

.

ε c

a2 + b2

b 2

9

5 5

+ 1

+ 1

16

a

Следовательно

a = 8, b = 6 , а уравнение гиперболы

x2

−

y 2

= 1.

64

36

36

Искомая гипербола изображена на рис. 1.17.

x = − 32

x =

32

y

5

5

B2 (0; 6)

A1 (−8; 0)

A(8; 0)

F1 (−10; 0)

F2 (10; 0) x

O

B1 (0; − 6)

Рис. 1.17

Задача 5. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2; 2) и от оси абсцисс. Сделать чертеж.

Решение. Пусть M (x; y)

–

произвольная точка искомой линии

(рис. 1.18). Расстояние MA запишем в соответствии с формулами

(1.10) и (1.11) в виде

MA =

.

(x − 2)2 + (y − 2)2

y

∙

2

A

M

1

B

O

1

2

N

x

Рис. 1.18

37

Расстояние от точки М до оси абсцисс, т. е. до точки N (x; 0), такой, что MN Ox, составит

MN = (x − x)2 + (y − 0)2 = y .

Т. к. по условию задачи MA = MN , то (x − 2)2 + (y − 2)2 = y ,

или, возведя обе части последнего уравнения в квадрат и выполнив тождественные преобразования, получим

x2 − 4x + 4 + y 2 − 4 y + 4 = y 2 , т. е. y = 1 (x − 2)2 + 1. 4

Последнее уравнение есть уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точкеB(2;1).

38

Тема 2. Введение в математический анализ

2.1. Понятие предела функции и основные теоремы о пределах

Множество точек, удовлетворяющих условию a < x < b , называется интервалом и обозначается (a ; b) или ]a; b[ . Интервалы могут

быть конечными и бесконечными. Если один из концов интервала включается в множество, то множество называется полуинтервалом. Например, [a ; b) .

Множество точек, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b , называется отрезком и обозначается [a ; b].

Окрестностью конечной точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку. Если из окрестности удалить точку x0 , то ок-

рестность называется проколотой.

Определение. Конечное число А называется пределом функции f (x) при x → a , если для любого ε > 0 существует такая проколотая

окрестность точки а, что для всех х из этой окрестности выполняется

неравенство f (x) − A < ε и записывается lim f (x) = A .

x → a

Введем понятие бесконечного предела функции при x → a .

Определение.

Говорят, что

lim f (x) = ∞ , если для любого сколь

угодно большого чикла M > 0 ,

x →a

существует такая окрестность точки а,

что для всех х

из этой окрестности выполняется

неравенство

f (x)

> M .

Рассмотрим односторонние пределы. Если x → a и

x < a, то это

записывается в виде x → a − 0 . Если же x → a и x > a, то это записывается в виде x → a + 0 . Числа

f (a − 0) = lim f (x) и

f (a + 0) = lim f (x)

x →a −0

x →a + 0

называют пределом слева функции

f (x) в точке a и пределом справа

функции f (x) в точке a (если эти числа существуют), соответственно. Для существования предела f (x) при x → a необходимо и дос-

таточно, чтобы имело место равенство f (a − 0) = f (a + 0).

При вычислении пределов используют следующие основные теоремы о пределах.

Если существуют конечные пределы lim f (x) и lim g(x), то:

x →a

x→a

39

1) lim( f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x);

(2.1)

x→a

x→a

x→a

2) lim( f (x)× g(x) ) = lim f (x)× lim g(x);

(2.2)

x→a

x→a

x→a

f (x)

lim f (x)

3) lim

=

x →a

(если lim g(x) ¹ 0 );

(2.3)

lim g(x)

x → a g(x)

x → a

x →a

4) lim( c × f (x) ) = c × lim f (x) .

(2.4)

x→a

x→a

Для элементарных функций во всех точках из области их определения

lim f (x) = f (x0 ).

x → x0

Иногда полезно использовать равенства

lim(ln f (x)) = ln lim f (x) ,

x→a

x→a

lim f (x)

lim e f (x) = ex →a

.

x→a

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Наконец, следует знать два замечательных предела: 1-й замечательный предел:

lim

sin x

= 1;

(2.8)

x →0 x

2-й замечательный предел:

1 x

= e , или lim(1 + α)

1

α

= e .

lim 1 +

(2.9)

x →∞

x

α→0

Число e ≈ 2,718282

есть иррациональное число.

Логарифм по

основанию е называется натуральным логарифмом и записывается ln x , а функция y = ex , называется экспонентой.

Поскольку lim f (x) = f (x0 ) (2.5), то при вычислении пределов

x → x0

прежде всего вместо x подставляем предельное значение (обычно это записывается в квадратных скобках) и, если значение f ( x0 ) определено, применяем основные теоремы о пределах.

40

Смотрите также файлы