Файл: Высшая математика для 1 и 2 курса.pdf

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости (фокусов эллипса F1 иF2 ), есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Если оси координат по отношению к эллипсу расположить так, как указано на рис. 1.9, то каноническое уравнение эллипса имеет вид

большей и малой полуосями эллипса. Расстояние между фокусами эллипса обозначим через 2с, тогда полуфокусное расстояние с связано с

полуосями соотношением a2 − b2 = c2 .

Число ε = с , где а – большая полуось, называется эксцентриси- a

тетом эллипса. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса вдоль большей полуоси. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянутый эллипс. Для эллипса 0 < ε < 1 (для окружности ε = 0 ).

26

Две прямые x = − aε , x = aε , перпендикулярные большей полуоси,

называются директрисами эллипса.

Параметрическое уравнение эллипса имеет вид

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости (фокусов гиперболы F1 и F2 ) есть величина

постоянная (меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля). Если оси координат по отношению к гиперболе расположить так, как указано на рис. 1.10, то каноническое уравнение гиперболы имеет

вид

Точки А1(− а; 0 ) и А2 (а; 0 ) пересечения гиперболы с осью Ох на-

зываются вершинами гиперболы. Ось Ох называется действительной осью, а ось Оу мнимой осью. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Расстояние между фокусами гиперболы обозначим через 2с, тогда полуфокусное рас-

стояние с связано с полуосями соотношением с2 − а2 = b2 .

27

Две прямые:

называются асимптотами гиперболы. К ним приближаются ветви гиперболы при неограниченном удалении от начала координат.

Число ε = с , где а – действительная полуось, называется эксцен- a

триситетом гиперболы. Очевидно, что для гиперболы ε > 1.

Две прямые x = − aε , x = aε , перпендикулярные действительной

полуоси, называются директрисами эллипса.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки F плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (рис. 1.11).

y

x = − p

2

Рис. 1.11

Каноническое уравнение параболы в выбранной декартовой системе координат имеет вид

где p – расстояние от фокуса до директрисы. В этой же системе координат уравнение директрисы имеет вид

2

28

Эксцентриситет параболы e =1.

Замечание. Эллипс, гипербола и парабола и только эти кривые обладают общим геометрическим свойством – отношение расстояния от любой точки каждой из этих кривых до фокуса к расстоянию от этой точки до ближайшей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету ε .

1.4. Полярная система координат

Если на плоскости заданы фиксированная точка О, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч с выбранной на нем единицей масштаба, называемый полярной осью, то говорят, что на плоскости задана полярная система координат. В этом случае положение любой точки М на плоскости определяется двумя числами r и ϕ , где r – расстояние от точки М до точки О, ϕ – угол, образуемый вектором

OM с положительным направлением полярной оси. Угол ϕ , отсчи-

тываемый от полярной оси до вектора OM в направлении против часовой стрелки, считается положительным, а отсчитываемый в противоположном направлении – отрицательным ( рис. 1.12).

Обычно считают, что 0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤ r < ∞ . Если r = 0 , точка М

совпадает с полюсом О и угол ϕ для нее не определен.

Пусть наряду с полярной системой координат на плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат так, что начало координат совпадает с полюсом О, а ось Оx совпадает с полярной осью. Тогда прямоугольные координаты x и y точки М связаны с ее полярными координатами r и ϕ соотношениями (рис. 1.13)

Из (1.51), в частности, вытекает, что

29

A1 A2 = {6 − 3; 9 − 3;1 − 9}= {3; 6;− 8},

A1 A3 = {1 − 3;7 − 3; 3 − 9}= {− 2; 4; − 6},

A1 A4 = {8 − 3;5 − 3; 8 − 9}= {5; 2;− 1}. 1) Длину ребра A1 A2 найдем по формуле (1.11):

A1 A2 = 32 + 62 + (-8)2 = 109 .

в качестве которого можно взять векторное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 , вычисляемое по формуле (1.16):

30