Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1578

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В табл. 5.4. приведены характерные случаи расположения плоскости в зависимости от значений коэффициентов A, B, C, D.

Таблица 5.4

Расположение плоскости в зависимости от значений коэффициентов A, B, C, D

Расположение плоскости

Ее уравнение

Плоскость проходит через начало координат (0; 0; 0)

D = 0 :

Плоскость параллельна Ox nG Ox A = 0

Ax + By + Cz = 0

A = 0 :

By + Cz + D = 0

Плоскость проходит через Ox

A = 0 , D = 0 :

By + Cz = 0

Плоскость параллельна осям Oy и Oy

A = 0 , B = 0 :

Cz + D = 0

Координатная плоскость Oxy

A = 0 , B = 0 , D = 0 :

z = 0

Координатная плоскость Oyz

x = 0

Координатная плоскость Oxz

y = 0

Кроме общего уравнения, плоскость может быть задана и другими уравнениями. Они приведены в табл. 5.5.

Уравнения плоскости в пространстве

Таблица 5.5

Данные, определяющие плоскость

Уравнение плоскости

Три точки

x − x1

y − y1

z − z1

M

1

(x ; y ; z ) Q ,

1

1

1

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0

M

2

(x ; y

; z

) Q ,

2

2

2

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

M

3

(x ; y ; z

) Q

3

3

3

Точка

M0 (x0 ; y0 ; z0 ) Q и вектор

nG ={A; B; C} Q

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0

Плоскость Q отсекает отрезки a, b, c

x

+

y

+

z

=1

на осях Ox, Oy и Oz соответственно

a

b

c

Пусть две плоскости Q1 и Q2 заданы общими уравнениями:

Q1 : A1x +GB1 y + C1z + D1 = 0,

Q2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

Q n ={A ; B ; C };

Q n ={A ; B ; C

}.

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

188

Рассмотрим их взаимное расположение (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Взаимное расположение плоскостей Q1 и Q2 в пространстве

Расположение

Условия

ПлоскостиG

QG1

и

Q2 параллельны

A1

=

B1 =

C1

Q1 || Q2 n1

|| n2

A2

B2

C2

Плоскости Q1 и Q2 совпадают

A1

=

B1

=

C1

=

D 1

A

B

C

2

D

2

2

2

Плоскости Q1 и Q2 перпендикулярны

Q Q nG

nG

A A + B B + C C

2

= 0

1 2

1

2

1 2

1 2

G

1

Плоскости Q1 и Q2

пересекаются под

cos ϕ =

n n

углом ϕ

G1

G2

n1

n2

Расстояние d от точки M0 (x0 ; y0 ; z0 )

d = d(M0 ; Q) =

Ax0 + By0 +Cz + D

до плоскости Q: Ax + By + Cz + D = 0

A2 + B2 +C2

Пример

1.

Построить

плоскости,

заданные

уравнениями:

а) 2 y −5 = 0 ; б) 3x + 4 y + 6z −12 = 0 .

Решение.

2 y −5 = 0 y = 5

а) плоскость

, n ={0; 2; 0} параллельна плос-

2

кости Ox и отсекает на оси Oy отрезок, равный 5

;

2

z

z

2

0

5

y

0

3

y

2

4

x

x

б) плоскость 3x + 4 y + 6z −12 = 0

(3x + 4 y + 6z =12 ) или в от-

резках

x

+

y

+

z

=1. Следовательно,

плоскость отсекает на осях

4

3

2

Ox, Oy и Oz соответственно отрезки длиной 4, 3, 2.

189

32 + (−4)2 +122
3 10 − 4 (−7) +12 2 + 9

Пример 2. Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку M (5; 4; − 2) перпендикулярно прямой MN , если N(2; −1; 3) .

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0, где

(x0 ; y0 ; z0 ) –

координаты

точки M. Вектор нормали n ={A; B; C}

перпендикулярен плоско-

сти

Q. Таким

вектором

является

JJJG

2 −5; −1 − 4; 3 + 2} =

MN ={

={−3; −5; 5} , т. е.

уравнение

плоскости

Q

имеет

вид

−3(x −5) −5( y − 4) + 5(z + 2) = 0, или 3x +5y −5z − 45 = 0.

Пример 3. Даны вершины треугольной пирамиды

A1(1; 3; 0) ,

A2 (−3; 3; 1) , A3 (5; 0; − 2) и S(10; −7; 2) . Найти уравнение плоско-

сти основания A1 A2 A3

и длину высоты SO .

Решение.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три

точки. Получим:

S

x −1

y −3

z −0

−3 −1 3 −3 1 −0

= 0 ,

A3

5 −1

0 −3

−2 −0

откуда

O

0

1

−4 1

−4 0

A1

(x −1)

− ( y −3)

+ z

= 0 ,

A2

−3

−2

4

−2

4

−3

3(x −1) − 4( y −3) +12z = 0, 3x − 4 y +12z +9 = 0.

Итак, уравнение плоскости основания A1 A2 A3 имеет вид 3x − 4 y +12z +9 = 0. Найдем высоту SO по формуле расстояния от точки до плоскости. Точка – S , плоскость – A1 A2 A3 . Получим:

SO = = 1391 = 7.

Прямая в пространстве

Втабл. 5.7 приведены различные виды уравнения прямой l

впространстве в зависимости от данных, однозначно определяющих эту прямую.

190

Виды уравнения прямой l в пространстве

Таблица 5.7

Данные, определяющие прямую

Уравнения прямой l

Две пересекающиеся плоскости

l:

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0,

–

прямая как

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

пересечение двух плоскостей

Точка

M1 (x1 ; y1 ; z1 ) l

и вектор

l:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

–

каноническое

Gs = {m; n;

p} || l – направляющий

m

n

p

вектор прямой

уравнение прямой

Точка

M1 (x1 ;

y1 ;

z1 ) l

и

на-

x = x

+ mt,

1

правляющий

вектор

прямой

l:

y = y + nt,

– параметрическое уравне-

Gs = {m; n; p}|| l

1

+ pt

z = z1

ние прямой, t R

Две точки

l:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

– уравнение

M1 (x1 ;

y1 ; z1 ) l ,

x

− x

y

2

− y

z

2

− z

M2 (x2 ; y2 ;

z2 ) l

2

1

1

1

прямой по двум заданным точкам

Пусть две прямые l1 и l2

заданы каноническими уравнениями:

l :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

l

2

:

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

,

1

m1

n1

p1

m2

n2

p2

l || sG

={m ; n ; p

};

l

2

|| s ={m ; n ; p

}.

1

1

1

1

1

2

2

2

2

Рассмотрим их взаимное расположение (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Взаимное расположение прямых l1 и l2 в пространстве

Расположение

Условия

Прямые параллельны (или

G

m1

n1

p1

совпадают)

l1 || l2

s1 || s2

=

=

m2

n2

p2

s sG

Прямые перпендикулярны

l l

2

m m

+ n n

+ p p

2

= 0

1

1

2

1

2

1

2

1

Расположены под углом ϕ

sG sG

0

< ϕ <

π

G

G

cos ϕ =

G

1

G2

, ϕ = s s

2

s

s

2

2

1

1

Отметим, что в последних двух случаях часто дополнительно

требуется, чтобы прямые l1 и l2

лежали в одной плоскости.

191

Смотрите также файлы