Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1551

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4.2.4. Ответы

1. 2a ={2; −6; 10},

−3b ={−6; 0; 3},

2a −3b + c ={−8; 0; 11};

Oy

Ox

2. AB =

{

}

,

AB

=13.

np a = −3,

np b = 2.

3; −4; 12

3. B(6; − 4; −1), npOz AB = 7 .

4. α = −4, β = 9, c = −3a ,

т. е.

a ↑↓ c .

12

4

3

12

4

3

5. λ = 8 .

6. λ = ±0,6 .

7. e1 = −

;

; −

, e2

=

; −

;

.

13

13

13

13

13

13

8. a b =10, cosϕ=1. 10. α=90°, γ=135°. 11. −3

3.

12.

np

(2a −b) =7,4;

3

Oy

cos α = 1 , cosβ = 2 , cos γ = −

2 .

13. S = 30 .

14. S =12,5; H = 5 .

3

3

3

15. abc = cab = −121, acb =121. 18. V = 60 . 19. V = 22 . 20. H = 3

2 .

179

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

5.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

1.Прямая на плоскости.

2.Кривые второго порядка.

3.Плоскость в пространстве.

4.Прямая в пространстве.

Прямая на плоскости

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy , то уравнение первой степени относительно x и y

Ax + By + C = 0, (A2 + B2 ≠ 0)

является уравнением прямой, лежащей в плоскости Oxy . Это уравнение называется общим уравнением прямой.

И наоборот, всякая прямая в плоскости Oxy определяется уравнением первой степени относительно x и y. В зависимости от особенностей (используемой информации) расположения прямой эти уравнения записываются в разной форме. Их вид и характеристика приведены ниже в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Виды уравнений прямой на плоскости

Данные, определяющие прямую

Уравнение прямой

k = tgα –

b

угловой

y = kx + b

коэффициент

αпрямой

Прямая с угловым коэффициентом проходит

через точку M0 (x0 ; y0 )

y − y0 = k(x − x0 )

Прямая проходит через две заданные точки

x − x1

=

y − y1

M1 (x1; y1 ) и M2 (x2 ; y2 )

x − x

y − y

2

1

2

1

Прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b

x

+

y

=1

a

b

b

a

180

Окончание табл. 5.1

Данные, определяющие прямую

Уравнение прямой

Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0,

A2 + B2 ≠ 0 ,

k = −

A

, nG = (A; B) –

B

нормальный вектор прямой

Прямая параллельна оси

Oy

и

проходит

через

x = a

точку (a; 0)

a

Прямая параллельна оси

b

Ox

и

проходит

через

y = b

точку (0; b)

Рассмотрим прямые l1 и l2 , которые заданы уравнениями:

l1 : A1x + B1 y + C1 = 0 ,

l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 ,

или

l1 : y = k1x + b1 ,

l2 : y = k2 x + b2 .

Взаимное расположение прямых представлено в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Взаимное расположение прямых l1 и l2 на плоскости

Расположение

Условия

Прямые l1 и l2 совпадают

k = k

,

A

B

C

1

2

или

1

=

1

=

1

C2

b1 = b2

A2

B2

Прямые параллельны: l1 || l2

k = k

2

или

A1

=

B1

1

A2

B2

Прямые l1 и l2 перпендику-

A A

+ B B

= 0 или

k

= −

1

лярны: l1 l2

1

2

1

2

1

k2

Прямые l1 и l2 пересекаются

A x

+ B y

+ C

= 0,

в точке M0 (x0; y0) под углом ϕ,

1

0

1

0

1

π

A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0,

0 < ϕ < 2

A

B

k

2

− k

1

≠

1

,

tgϕ =

1

A

1

B

+ k k

2

2

2

1

Расстояние d = d(M0; l) от точ-

Ax

+ By

+C

ки M0 (x0; y0) до прямой l:

d = d(M0 ; l) =

0

0

A2 + B2

Ax + By + C = 0

181

Пример 1. Построить прямые, описываемые уравнениями: 1) 5x − 4 y + 20 = 0 ; 2) 3x +5 = 0 .

Решение.

1)для построения прямой достаточно знать координаты двух

ееточек. Удобно брать точки пересечения прямой с осями коор-

динат. Пусть

A

− точка

пересечения

прямой 5x − 4 y + 20 = 0

с осью Ox , а B – с осью Oy , тогда yA = 0 ,

xB = 0 . Координаты то-

чек A и B удовлетворяют уравнению прямой

5x − 4 y + 20 = 0 .

Поэтому при yA = 0 получаем 5xA + 20 = 0 , xA = −4 , т. е.

A(−4; 0) ,

при xB = 0 , −4 yB + 20 = 0 ,

yB = 5 , т. е.

B(0; 5) .

Отмечаем точки

A и B и проводим через них прямую;

2) преобразуем уравнение 3x + 5 = 0 к виду x = −5

. Это уравне-

ние прямой, проходящей через точку N −

5

3

; 0 параллельно оси Oy.

3

y

y

B

5

A

1

N

1

5

0

1

x

–4

0

1

x

3

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку M0 (3; 4) и образующей с осью Ox угол α =135°.

k = tgα =

Решение. Найдем угловой коэффициент прямой

= tg135° = −1. Подставляя координаты данной точки M0

и значе-

ние углового коэффициента в уравнение

y − y0 = k(x − x0 ) , полу-

чаем искомое уравнение прямой: y − 4 = −1 (x −3), или y = −x + 7 , или x + y −7 = 0 − общее уравнение прямой.

Пример 3. Найти острый угол между прямыми, определяемыми уравнениями 5x − y −3 = 0 и 3x + 2 y −7 = 0 . Найти точку пересечения этих прямых.

Решение. Пусть ϕ − острый угол между прямыми, тогда

tgϕ =

k2 − k1

, где

k

и

k

2

− угловые коэффициенты прямых.

1

+ k k

1

2

1

182

Смотрите также файлы