Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

3) дистрибутивность: (A B) ∩C = (A ∩ C ) (B ∩ C ),

(A ∩ B) C = (A C )∩ (B C );

4)законы двойственности: (A B)= A ∩ B, (A ∩ B)= A B;

5)A A = A, A = A, A ∩ = , A ∩ A = A, A ∩ A = , A = A.

Декартовым произведением X ×Y множеств X и Y называет-

ся множество упорядоченных (первый из первого, второй из второго множеств) пар элементов X и Y, т. е.

X ×Y ={(x, y) x X , y Y}.

Пример. Декартовопроизведениедвухчисловыхосей(прямых) – числовая плоскость × = 2 – множество упорядоченных пар действительных чисел. Аналогично × 2 = 3 – множество упорядоченныхтроекдействительных чисел– трехмерноепространство. Более общо: R×…× R = Rn = {(x1 , …, xn ) xi R, i = 1, …, n} –

n

n-мерное числовое (евклидово) пространство.

Граничисловыхмножеств. Символы+∞, –∞, ∞ иихсвойства

Множество A R считается ограниченным сверху, если существует число b R, называемое верхней границей множества А, такое, что a ≤ b для всех a A.

Очевидно, что существует бесконечное множество верхних границ, т. к. любое число b1 > b тоже является верхней границей множества А. Наименьшая среди верхних границ ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью множества А и обозначается sup A (от лат. supremum – наивысшее). Например, множество правильных дробей А ограничено сверху числом единица, причем sup A =1.

Аналогично определяется множество, ограниченное снизу, а также его нижняя и точная нижняя грани. Обозначается точная нижняя грань inf A (от лат. infimum – наинизшее).

Множество называется ограниченным, если оно ограничено и снизу, и сверху.

Если множество А не ограничено сверху, то, по определению, полагаем, что sup A = +∞; если множество А не ограничено снизу, то полагаем inf A = −∞. Эти понятия можно ввести и формальным образом как формальные символы, удовлетворяющие следующим условиям (постулатам):

9

1)− ∞ < x < +∞, x R;

2)x + (±∞)= ±∞; x − (±∞)= ∞;

4) ±∞x = 0, x R.

Аналогично символ ∞:

1)∞x = 0, x R;

2)x ∞ = ∞, x R\{0};

3)0x = ∞, x R\{0}.

деленностями) и обычно обозначаются [∞ − ∞], [0 ∞], 0 и т. д.

0

Иногда бывает удобно расширить числовую прямую, рассматривая в качестве ее элементов наряду с числами (конечными точками) и символы +∞, –∞, ∞ (вместе или по отдельности) – несобственные (бесконечные точки). Все такие числовые множества объединяются под общим названием расширенной чи-

словой прямой.

Понятие отображения. Функция как отображение число-

10

Под функцией будем понимать отображение числовых множеств.

Примеры:

1) m -вектор-функция n переменных: y = f (x),

где y = (y1 , y2 , ..., ym ) Rm , x = (x1 , x2 , ..., xn ) Rn ; 2) скалярная функция n переменных: y = f (x),

где y R, x = (x1 , x2 , ..., xn ) Rn ;

3) m -вектор-функция скалярной переменной: y = f (x),

где y = (y1 , y2 , ..., ym ) Rm , x R;

4) действительнозначная функция действительной переменной (функция одной переменной): y = f (x), где y R, x R.

Остановимся более подробно на функциях одной действительной переменной, которые будем называть просто функциями.

Рассмотрим функцию y = y(x), x X R, т. е. правило, по которому каждому действительному числу x поставлено в соответствие действительное число y. Тогда величина x называется аргументом функции y, или независимой переменной, а y – зависимой переменной. При этом говорят, что y есть функция величины x или что величины x и y связаны между собой функ-

циональной зависимостью. Графиком этой зависимости (функ-

функция, определенная на множестве натуральных чисел, называ-

Тогда под ее множеством определения понимают естественную область определения Ef , т. е. множество всех тех действительных x, для которых f (x) имеет смысл.

11

Способы задания функций одной переменной

Задать функцию – это, по существу, указать множество ее определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

Распространены три основных способа задания функции:

1) табличный – с помощью таблицы, при котором перечисляются значения независимой переменной и соответствующие им значения функции, например

гласно таблице, единственное число y из {1, 0, 1, 4, 9, 3,14, 2010}. Такие функции часто получаются в результате записи эмпи-

рических исследований; 2) графический – с помощью графика, при котором непосред-

ственно задают график функции в соответствующей системе координат и по значению независимой переменной находят значение функции (рис. 1.1).

лельно оси Oy проводится прямая до пересечения с графиком функции в точке M , через точку M параллельно оси Ox проводится прямая до пересечения с осью Oy в точке с координатой y, в результате получаем зависимость y = y(x), x X R;

12