ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.05.2025
Просмотров: 114
Скачиваний: 0
Число
повинно задовольняти характеристичне
рівняння
. (84)
Розглянемо різні випадки:
а)
корені
характеристичного рівняння дійсні і
різні. Тоді
(85)
система
n
– лінійно незалежних розвязків,
так як в даному випадку кожному
відповідають лінійно незалежні власні
вектори
;
б)
характеристичне рівняння має пару
комплексно спряжених коренів
.
Тоді кореню
відповідає власний вектор
.
Це означає, що система (81) має комплексний
розвязок
Звідки
,
(86)
– два
лінійно незалежні розв’язки, які
відповідають кореням
.
При цьому розгляд кореня
не дає нових лінійно незалежних
розв'язків;
в)
розглянемо випадок кратних коренів.
Нехай
(s<n)
– різні розв'язки характеристичного
рівняння (84), тобто
.
Тоді матрицю А можна представити клітками Жордана, тобто знайдеться неособлива матриця S така, що
S-1AS=
,
де
.
Отже,
заміною
прийдемо до системи диференціальних
рівнянь
,
.
Якщо
,
– вектори розмірності
,
то маємо
. (87)
Розглянемо одну з підсистем системи (87) з матрицею
+
=
.
Фундаментальна матриця для системи (87) має вигляд
,
то
знаючи заміну
,
матриця
буде
фундаментальною для даної системи.
Визначимо
.
Але
,
де
– одинична матриця розмірності
,
причому
,
…,
.
Таким чином
.
Домножаючи
на отриману матрицю будемо мати
інтегральну матрицю для даної системи.
Враховуючи вид інтегральної матриці для побудови лінійно незалежних розв'язків j – ої підсистеми
(88)
можна
поступити так. Шукаємо
,
,
.
Тобто
,
.
Звідки
. (89)
Тобто
,
.
Отже
.
Міркуючи
аналогічно можна отримати
,
тому
. (90)
Висновки.
Якщо характеристичному числу
відповідає тільки один елементарний
дільник, то ми отримуємо тільки одну
групу розвязків
виду (90), яка містить
розвязків
(цей випадок відповідає тому, що ранг
характеристичної матриці дорівнює
(n-1)).
Якщо ж
відповідає декілька елементарних
дільників
,
,
то йому відповідає m
груп розвязків
типу (90). Причому кожна з груп має
відповідно
– розвязків.
Якщо всі елементарні дільники прості,
то ми маємо випадок простого кореня.
Домашнє завдання: [3], стор. 74-81, №№ 800-803, стор. 83.