МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 9

з теми: «Методи розв’язання задач за допомогою диференціальних рівнянь.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Методи розв’язання задач за допомогою диференціальних рівнянь.

Мета:

• Дидактична: розглянути методику складання математичних моделей до текстових задач за допомогою диференціальних рівнянь першого порядку.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до предмету, вміння чітко та логічно мислити, будувати алгоритми розв’язання основних типів рівнянь.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення диференціального рівняння першого порядку;

• Дати визначення загального інтегралу рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання рівняння з розділеними змінними;

• Визначити частинний розв’язок рівняння першого порядку;

• Визначити основні вимоги до постановки задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Сформулювати теорему існування та єдності розв’язку задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання однорідних рівнянь першого порядку.

• Визначити основний метод розв’язання лінійних рівнянь першого порядку та рівнянь Бернуллі.

• Визначити основний метод розв’язання рівнянь в повних диференціалах.

• Визначити основний метод пошуку інтегруючого множника.

• Визначити методи розв’язання рівнянь, не розв’язаних відносно похідної.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Методи розв’язання задач за допомогою диференціальних рівнянь.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 9

Тема: Методи розв’язання задач за допомогою диференціальних рівнянь

План лекції № 9

1. Геометричні задачі.

2. Фізичні задачі.

Диференціальні рівняння є одним з найсильніших засобів для математичного розв’язання прикладних задач. Найширше використання диференціальні рівняння мають при розв’язанні геометричних, фізичних задач та задач теоретичної механіки, але також використовуються при розв’язанні задач хімічних, біологічних, економічних та інших.

Математичне дослідження будь-якої прикладної задачі розпадається на такі етапи:

• Побудова математичної моделі задачі;

• Вивчення цієї моделі та отримання розв’язку відповідної математичної задачі;

• Застосування отриманих результатів до практичної задачі, з розв’язання якої й виникла математична модель, а також пошук задач, до яких можна застосувати отриману модель.

1. При розв’язанні фізичних задач розглянуті етапи наступні:

• Складання диференціального рівняння та додаткових умов за умовою задачі.

• Розв’язання отриманого рівняння з додатковими умовами.

• Дослідження отриманого розв’язку.

Рекомендована наступна послідовність дій.

• Встановити величини, що змінюються в даному явищі, виявити фізичні закони, що зв’язують їх.

• Обрати незалежну змінну та функцію цієї змінної, яку нам потрібно знайти.

• Користуючись умовами задачі, визначити початкові та крайові умови.

• Виразити всі величини задачі через незалежну змінну, функцію незалежної змінної та її похідні.

• Виходячи з умов задачі та фізичного закону, якому підкоряється дане явище, скласти диференціальне рівняння.

• Знайти всі розв’язки отриманого диференціального рівняння.

• За додатковими умовами знайти шуканий розв’язок.

• Дослідити отриманий розв’язок.

Задача. Парашутист падає під впливом сили тяжіння. Знайти закон змінення висоти парашутиста над рівнем земної поверхні, якщо опір повітря є пропорційним до квадрату швидкості його падіння, а в початку падіння він знаходився на висоті Н, причому був у стані спокою. Зміну щільності повітря з висотою не враховувати.

---

Розв'язання.

Знайдемо спочатку закон змінення швидкості парашутиста з плином часу. Нехай шукана функція v(t) – швидкість парашутиста в момент часу t після початку падіння. Так як падіння починається з висоти Н й потрібно визначити закон змінення висоти h(t), то зручно за початок координат прийняти земну поверхню, а координатну вісь h направити доверху. Тоді, за ІІ законом Ньютона маємо диференціальне рівняння руху , де F – рівнодійна двох сил: сили тяжіння , що напрямлена у від’ємному напрямку обраної координатної осі, та сили опору повітря , напрямленої додатно (k – коефіцієнт пропорційності). Тому, диференціальне рівняння руху отримаємо у вигляді , початкова умова v(0) = 0. Розв’язуємо отримане диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. . Далі, при t = 0, v = 0, С = 0 й тому . Виразимо v(t) з розв’язку: . Отримали закон зміни швидкості з плином часу. Знайдемо тепер шуканий закон змінення висоти h(t) парашутиста. V = h´(t), тому . Інтегруємо отримане рівняння й маємо: . Знову застосовуємо додаткові умови: h(0) = Н. Маємо: . Це є відповідь. Проаналізуємо отримані результати. Вже при невеликих значеннях t функція . Це показує, що через деякий час парашутист рухається рівномірно зі швидкістю , що напрямлена униз.

2. При розв’язанні геометричних задач за допомогою диференціальних рівнянь виконується наступна послідовність дій:

• Зробити креслення та ввести позначення;

• Відокремити умови, що мають місце у вільній точці шуканої лінії від умов, що виконуються тільки в деяких точках, тобто початкових умовах;

• Виразити всі вказані в задачі величини через координати вільної точки та через значення похідної в цій точці, враховуючи геометричний зміст похідної;

• За умовою задачі скласти диференціальне рівняння, якому задовольняє шукана лінія;

• Знайти загальний розв’язок цього рівняння та отримати з нього за допомогою початкових умов рівняння шуканої лінії.

---

Задача. Знайти криву, у якої точка перетину будь-якої дотичної з віссю абсцис має абсцису, що втричі менша абсциси точки дотику. Відомо, що шукана крива проходить через точку А(1, 2).

Розв'язання.

Нехай у = у(х) – рівняння шуканої кривої. Візьмемо вільну точку М(х, у) на цій кривій та проведемо дотичну МА та пряму МВ перпендикулярно до осі ОХ. Тоді МВ = у, ОВ = х, кут МАВ = α, tgα = у´(х). Умова задачі: ОА = (1/3)ОВ. Вона повинна виконуватись для будь-якої точки шуканої кривої. Виразимо всі величини, що входять до умови через х, у(х) та у´(х): ОА = ОВ – АВ = х - . Отримаємо диференціальне рівняння шуканої кривої чи . Розв’язуємо це рівняння та отримуємо . Умову проходження кривої через точку А дає початкова умова: у(1) = 2. Використовуємо його для визначення вільної сталої С: С = 2. Отже, .

Домашнє завдання: [3], §3, стор.12-13, №№ 74, 78, 80, 84, стор. 14-15.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 8.doc

• лекция № 7.doc

• лекция № 6.doc

• лекция № 5.doc

• лекция № 4.doc