МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 24

з теми: «Загальний розв'язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.05 Система звичайних диференціальних рівнянь

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Загальний розв'язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод Ейлера розв’язання систем лінійних неоднорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, пояснювально-ілюстративний.

Науково-методичне забезпечення:

---

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Міжпредметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: методи розв’язання систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Загальний розв'язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 24.

Тема: «Загальний розв'язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.»

---

План лекції № 24.

1. Розв'язання системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

2. Жорданов базис. Побудова розв’язків системи в залежності від базису.

1. (1) – неоднородная система.

.

Пусть решение неоднородной системы. Заменой приводим (1) к однородной системе . (2)

, но удовлетворяет системе (2).

Учитывая формулу решения системы (2) имеем:

(3) , где – базис линейного пространства, . (3) – общее решение системы (1).

Лемма (принцип суперпозиции):

Если , – решение (1) при , – решение (1) при , то – решение системы (1).

2. Пусть , где – вектор-многочлен степени .

Рассмотрим вопрос о решении системы (1).

Пусть – собственные значения – некоторая жорданова цепочка дляиз

---

Теорема 1:

Если в системе (1) , где – многочлены степени , то для системы (1) решение вида:

– многочлены степени

Общий случай:

Теорема 2:

Если в системе (1) , где – вектор-многочлен степени , то для системы (1) всегда существует решение вида:

(4) , где – вектор-многочлен степени , причем , если – не собственное значение А, и не превосходит наибольшей длины жордановой цепочки для , если – собственное значение А, а коэффициентами служат -мерные числовые векторы.

Практически, частное решение вида (4) ищут методом неопределенных коэффициентов. Если наибольшая длина жордановой цепочки неизвестна, то вместо в (4) берут кратность собственного значения .

Если – конечная сумма многочленов, то частное решение (1) находят по принципу суперпозиции и теореме (2).

---

Пример:

1. Решить систему уравнений:

Решение:

при при – линейно не зависимые собственные векторы.

Значит, – образуют базис в .

Общее решение системы .

По теореме 2 частное решение ищем в виде .

Подставим в систему и найдем , где .

Значит, общее решение:

.

2. Решить систему:

Решение:

Для , .

По формуле Эйлера и Общее решение:

По теореме 2 частное решение ищем в виде:

, где ищем методом неопределенных коэффициентов.

Итак, общее решение:

.

Домашнє завдання: [2], стор. 83, №№ 832-835.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 23.doc

• лекция № 22.doc

• лекция № 21.doc

• лекция № 20.doc

• лекция № 19.doc