Тоді рівняння дотичної до кривої в точці має вид: чи - диференціальне рівняння до умови задачі. Окрім того, користуючись тим, що крива проходить через точку А(1, 3), до рівняння ставимо початкову умову у(1)=3.

Отже, математична модель задачі – це задача Коші: , у(1)=3. Розв’язуємо її.

, де С1 >0 – нова константа. Користуючись початковою умовою, знаходимо константу С1. 1 = С1*3, С1 = 1/3. отже, рівняння кривої має вид : .

Завдання для студентів.

Варіант № 1.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти криву, у якої відрізок дотичної, що знаходиться між осями координат, розділяється навпіл в точці дотику.

Варіант № 2.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Вартість знецінення устаткування внаслідок його зношення пропорційна в кожний момент часу його фактичній вартості. Начальна вартість дорівнює А0. Знайти вартість устаткування через t років.

Варіант № 3.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Циліндричний резервуар довжиною 6м та діаметром 4м розташований горизонтально. За який час вода витече з резервуару, якщо діра радіусу1/12м знаходиться на рівні самої нижньої твірної циліндра?

Варіант № 4.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти час, за який вся вода витече з конічної вороньки, якщо відомо, що половина води втече за 2 хвилини.

---

Варіант № 5.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти криві, для яких площа трикутника, створеного дотичною, ординатою точки дотику та віссю абсцис, є величина стала, рівна α².

Варіант № 6.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Парашутист стрибнув з висоти 1,5км, а розкрив парашут на висоті 0,5км. Скільки часу він падав до розкриття парашуту? Відомо, що гранична швидкість падіння людини у повітрі нормальної щільності складає 50м/с. Змінення щільності з висотою не враховувати. Опір повітря пропорційно квадрату швидкості.

Варіант № 7.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. В повітрі кімнати об’ємом 200м³ знаходиться 0,15% вуглекислого газу. Вентиляція подає в хвилину 20м³ повітря, яке вміщує 0,04% вуглекислого газу. Через який час кількість вуглекислого газу у повітрі кімнати зменшиться втричі? Вважати, що газ, який втікає в кімнату, внаслідок змішування розподіляється по всьому об’єму кімнати рівномірно.

Варіант № 8.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. В діжці знаходиться 100л розчину, що вміщує 10кг солі. В діжку безперервно подається вода (5л в хвилину), яка змішується з розчином. Суміш витікає з тією ж швидкістю. Скільки солі залишиться в діжці через годину? Вважати, що рідина, яка втікає в діжку внаслідок змішування розподіляється по всьому об’єму рівномірно.

Варіант № 9.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти криві, що мають наступну властивість: відрізок осі абсцис, що відсікається дотичною та нормаллю, проведеними з вільної точки кривої, дорівнює 2а.

---

Варіант № 10.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Тіло охолонуло за 10хв. від 100ºС до 60ºС. Температура навколишнього повітря дорівнює 20º. Коли тіло охолоне до 25ºС? Прийняти, що швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла та навколишнього середовища.

Варіант № 11.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти криву, у якої відрізок дотичної, що знаходиться між осями координат, розділяється навпіл в точці дотику.

Варіант № 12.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Вартість знецінення устаткування внаслідок його зношення пропорційна в кожний момент часу його фактичній вартості. Начальна вартість дорівнює А0. Знайти вартість устаткування через t років.

Варіант № 13.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Циліндричний резервуар довжиною 6м та діаметром 4м розташований горизонтально. За який час вода витече з резервуару, якщо діра радіусу1/12м знаходиться на рівні самої нижньої твірної циліндра?

Варіант № 14.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти час, за який вся вода витече з конічної вороньки, якщо відомо, що половина води втече за 2 хвилини.

Варіант № 15.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти криві, для яких площа трикутника, створеного дотичною, ординатою точки дотику та віссю абсцис, є величина стала, рівна α².

---

Варіант № 16.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Парашутист стрибнув з висоти 1,5км, а розкрив парашут на висоті 0,5км. Скільки часу він падав до розкриття парашуту? Відомо, що гранична швидкість падіння людини у повітрі нормальної щільності складає 50м/с. Змінення щільності з висотою не враховувати. Опір повітря пропорційно квадрату швидкості.

Варіант № 17.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. В повітрі кімнати об’ємом 200м³ знаходиться 0,15% вуглекислого газу. Вентиляція подає в хвилину 20м³ повітря, яке вміщує 0,04% вуглекислого газу. Через який час кількість вуглекислого газу у повітрі кімнати зменшиться втричі? Вважати, що газ, який втікає в кімнату, внаслідок змішування розподіляється по всьому об’єму кімнати рівномірно.

Варіант № 18.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. В діжці знаходиться 100л розчину, що вміщує 10кг солі. В діжку безперервно подається вода (5л в хвилину), яка змішується з розчином. Суміш витікає з тією ж швидкістю. Скільки солі залишиться в діжці через годину? Вважати, що рідина, яка втікає в діжку внаслідок змішування розподіляється по всьому об’єму рівномірно.

Варіант № 19.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Знайти криві, що мають наступну властивість: відрізок осі абсцис, що відсікається дотичною та нормаллю, проведеними з вільної точки кривої, дорівнює 2а.

Варіант № 20.

Визначити тип та розв’язати рівняння першого порядку.

1. ;

2. ;

3. Тіло охолонуло за 10хв. від 100ºС до 60ºС. Температура навколишнього повітря дорівнює 20º. Коли тіло охолоне до 25ºС? Прийняти, що швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла та навколишнього середовища.

---

---

Смотрите также файлы

• практика № 5.doc

• практика № 4.doc

• практика № 3.doc

• практика № 2.doc

• практика № 1.doc