Файл: математика Раздел1 практика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2025

Просмотров: 864

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

РЕШЕНИЕ: Вычисление определителя 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки проводится по следующей формуле:

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a21 A21 a22

A22 a23 A23 ,

a31

a32

a33

где

Aij —

алгебраические

дополнения элементов aij в данном

определителе:

A

( 1)i j M

ij

, а

M

ij

— миноры, соответствующие элементам

a

ij

ij

определителя, которые являются определителями второго порядка, получаемые из данного определителя путем вычеркивания строки i и столбца j.

Следовательно, мы имеем:

ПРИМЕР. Найти произведение двух матриц A и B, если

.

РЕШЕНИЕ: Операция умножения двух матриц вводится только для случая,

когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Рассмотрим на примере:

В нашем случае имеем:

6

ПРИМЕР. Найти матрицу , обратную для матрицы A, где

.

РЕШЕНИЕ: Обратная матрица находится по следующей формуле:

, где союзная матрица к матрице , а

определитель, составленный из элементов данной матрицы. Подставляя, получаем: . В нашем случае:

1. Находим определитель данной матрицы:

, следовательно

обратная матрица существует.

2. Находим союзную матрицу к матрице , т.е. . Для этого найдем алгебраические дополнения элементов в данной матрице.

;

;

;

.

Получаем:

Подставляем полученные результаты в формулу и находим обратную матрицу : .

Решим систему линейных уравнений матричным методом. Обозначим:

1

1

1

х1

4

А = 1 2 4

;

Х = х2 ;

В = 4 .

1

3

9

х3

2

Тогда данную систему можно записать в виде:

АХ

В ,откуда

Х А 1В ,

где

А 1–

обратная матрица. Найдем

А 1,

зная, что

A11

A21

A31

А 1

=

1

A

A

A

,

где

А

-

алгебраические

дополнения

det A

12

22

32

ij

A13

A23

A33

элементов аij матрицы А.

Аij

( 1)i

j Mij ,

где

M ij - миноры элементов аij

матрицы А.

7

1

1

1

det A =

1

2

4

= 2 .

1

3

9

Так как det A

0 , то существует обратная матрица.

А11 =

(-1)1+1

4

18

2

6 ;

А12 =

-5 ;

А13

=

1 ;

2

3

9

А21

=

(-1)2+1

1

(9

3)

6 ;

А22

=

8;

А23

=

-2 ;

1

3

9

А31

=

(-1)3+1

1

4

2

2

А32

=

-3;

А33

=

1 ;

1

2

4

6

6

2

А-1 =

1

5

8

3

;

2

1

2

1

1

6

6

2

4

1

24

24

4

1

4

Х А 1В =

5 8

3

4

=

20 32

6

=

6 =

2

1

2

1

2

2

4

8

2

2

2

2

= 3 .

1

Таким образом ,

х1 = 2;

х2 = 3;

х3 = -1.

Проверим правильность

вычисления

обратной

матрицы,

используя

матричное умножение, т.е. А А-1 = А-1 А = Е .

1

1

1

6

6

2

1

2

4

1

5

8

3

=

2

1

3

9

1

2

1

6

5

1

6

8

2

2

3

1

2

0

0

=

1

6

10 4

6 16 8

2 6 4

=

1

0

2 0

=

2

2

6

15

9

2

6

24

18

2

9

9

0

0

2

1

0

0

= 0

1

0

= Е .

0

0

1

Аналогично доказывается,

что

А-1 А = Е. Значит А-1,

найдена верно.

Ответ:

2;

3;

1 .

Задания для решения:

8

A B , где

1. Найти линенйные комбинации матриц:

а) 3A 2B , б) 2B 5A ,

в)

A

1

2

, B

0

1 .

3

4

1

2

2. Для матрицы А, найти ей обратную:

а) A

1

2

,

3

4

1

2

0

б) A

3

5

7 .

4 1 2

3. Вычислить определить 3-го порядка разложением по какойнибудь строке или столбцу:

2 0 3 а) 7 1 6 ,

6 0 5

0 a 0 б) b c d .

0 c 0

4. Решить системы уравнений матричным методом:

x1

2x2

3x3

6,

а)

4x1

5x2

6x3

9,

7x1

8x2

6.

б)

x1

x2

1,

2x1

x2

7.

9

Тема 1.4 Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты

вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

Скалярное произведение векторов, и его приложения.

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение

векторов.

Вектор - это

Сложение векторов

Проекция вектора на ось

В

правило

правило

В

ный

треугольника

параллелограмма

b

н

е

ок

Ра

вл

вные

а

трез

b

А

пр

векто

На

о

ра

a

е

a

ы

α

н

р

L

а

не

а

и

А

л

р

л

то

B1

Ко

ек

A1

в

Проекция вектора

на ось

Координаты

Скалярным

произведением

a

b

двух

ненулевых

векторов

a

и

вектора AB

(x 2

x1; y2

y1; z2

z1 )

b называется

число,

равное

произведению длин этих векторов на

Длина вектора

косинус угла между ними

AB

x2

x1

2

y2

y1

2

z2

z1

2

a

b

a b cos

,

(1.4.1)

где

– угол между векторами

и

или

a

X 2

Y 2

Z 2

b .

a

Скалярное

произведение

двух

векторов

в

координатной

форме

z

равно

сумме

произведений

B(x2; y2; z2)

соответствующих

координат

этих

векторов, т. е.

a

(

x

A(x1; y1; z1)

a

b =x1 x2+ y1

y2+ z1

z2, тогда

;

y

;

x1

x 2

y1 y2 z1 z 2

z

a b

)

y

cos

x 2 y2

z 2

x 2

y2

2

a b

z

1

1

1

2

2

2

Линейные операции над векторами

x

в координатной форме

Пусть в системе координат Оху даны

векторы a =(x1 ; y1

; z1), b =(x2; y2 ; z2)

Тогда:

a b = (x1+ x2; y1 + y2; z1 + z2).

a b = (x1–x2; y1 –y2; z1 – z2 ).

a = ( х1; у1; z1)

10

Смотрите также файлы