Файл: математика Раздел1 практика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2025

Просмотров: 866

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ПРИМЕР.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

a = -2 i + 3 j + 6 k и b = 6 i –2 j + 3 k .

РЕШЕНИЕ:

Найдем

i

j

k

3 6

2 6

2 3

a b

2 3 6

i

j

k

21i

42 j 14k .

6

2

3

2

3

6

3

6

2

49(ед.2)

212

422

14)2

Тогда S

a

b

(

В

физике

векторное

произведение

можно

использовать для

вычисления момента и установления направления равнодействующей силы, составляющими которой являются несколько сил.

ПРИМЕР. Пусть две силы F1 =(4; 1; 3) и F2 =(-2; 2; 1) приложены в точке А

(6,-6,-3). Вычислить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки В (5,-8,-5).

РЕШЕНИЕ: Известно, что момент М равнодействующей сил равен модулю

векторного произведения векторов т.е.

M

M

BA

F .

Найдем координаты векторов F

F1 F2

и BA . Получим F (2;3;4) ,

BA

(1;2;2) .

i

j

k

2

2

1

2

1

2

M = BA F

1 2

2

i

j

k

2i k ,

2

3

4

3

4

2

4

2

3

22

1 2

M

M

5 .

Направляющие косинусы равнодействующей силы вычислим по формулам

(4). В нашем случае имеем

cos =

2

; cos = 0 ; cos =

1

.

5

5

ПРИМЕР.

Пусть некоторое твердое тело вращается вокруг неподвижной оси l c

угловой скоростью

-2 i

+ 5 j

+2 k . Вычислить величину скорости

вращения

V

точки А этого тела, если радиус-вектор OA =3 i

+ j

-2 k , где О

принадлежит оси вращения. РЕШЕНИЕ:

Согласно формуле Эйлера

16

i

j

k

5

2

2 2

2 5

V

OA

2 5

2

i

j

k

12i 2 j 17k ;

3

1

2

1

2

3

2

3

1

V

OA

( 12)2 22 ( 17)2 144 4 289 437 .

ПРИМЕР.

Даны вершины тетраэдра А(4; 5; -3), В(6; 3; 0), С(8; 5; -9),

D (-3; -2; -10). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины D. РЕШЕНИЕ:

Вычислим координаты следующих векторов: AB (2; -2; 3), AC (4; 0;

-6), AD (-7; -7; -7).

Вычислим смешанное произведение этих векторов:

2

2

3

2

3

2

2

( AB, AC, AD)

4

0

6

4

6

7

7

7

7

7

7

7

4(14

21)

6(

14

14)

4

35

6

28

140

168

308.

Тогда объем V тетраэдра будет равен одной шестой модуля смешанного произведения, т.е.

V

1

308

51

1

(ед. куб.).

6

3

Искомую длину высоты h вычислим используя формулу

V

1

Sh , где S-

площадь основания. Площадь S вычислим по

3

формуле

1

S

AB

AC

.

В нашем случае

2

i

j

k

2 3

2 3

2

2

AB AC =

2

2 3

i

j

k

12i 24 j 8k

4

0

6

0

6

4

6

4

0

и

1

1

1

14 .(ед.2)

S

122 242

82

784

28

2

2

2

Следовательно,

h

3V

3 154

11(лин. ед.).

S

3 14

Задания для решения:

17

1. Вычислить, какую работу производит сила f =(3; -2; -5), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(2; -3; 6)

в положение B(3; -2; -1).

2. Даны силы M(3; - 4; 2),

N(2; 3; - 5)

и

P(3; - 2; 4)

, приложенные к одной

точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из

положения М1(5; 3; -7) в положение М2(4; -1; -4).

3.

и

π/6. Зная, что

=6,

=5,

Векторы a

b образуют угол

a

b

вычислить |[ a, b ]|.

4.

Даны:

=10,

a

b

=2 и a

• b =12. Вычислить |[ a, b ]|.

5.

Даны:

=3,

a

b

=26 и |[ a, b ]|=72. Вычислить a

• b .

6.

Сила P =(2; -4; 5) к точке М (4; -2; 3). Определить момент этой силы

относительно точки А (3; 2; - 1).

7.

Сила P =(2; 2; 9) приложена к точке A(4; 2; -3).Определить величину и

направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С (2; 4; 0).

8. Даны три силы M =(2; -1; -3),

N

=(3; 2; -1) и

P =(-4; 1; 3),

приложенные к точке С(-1; 4; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки

D(2; 3; -1).

9.

Даны вершины треугольника А (1;-1; 2), (5; -6; 2) и С(1; 3; -1).

Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

10. Даны векторы a (1; -1; 3) ,

b

(-2; 2;1) , c

(3; - 2; 5) . Вычислить abc

11.

Установить,

компланарны

ли

векторы

a , b , c

если a (2; 3; -1) ,

(1; 9;11) ;

b (1; -1; 3) , c

12.Доказать, что точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(- 1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

13.Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

А ( 2 ; - 1 ; 1 ) , В ( 5 ; 5 ; 4 ) , С ( 3 ; 2 ; - 1 ) и D (4: 1 : 3 ) .

14. Объем тетраэдра V=5, его вершины находятся в точках A(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.

18

Тема 1.6 Прямая линия на плоскости. Задачи на составление уравнений прямых на плоскости и взаимное расположение прямых на плоскости.

Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Линии второго порядка

Уравнение

Общее уравнение

Уравнение прямой в

Каноническое

прямой,

прямой

отрезках

уравнение прямой

проходящей через

y

y

y

данную точку

перпендикулярно

данному вектору

А(0;b)

y

b

B(а;0)

x

x

x

a

x x0

y y0

l :Ax By C 0

l :

x y

1

l :

m

n

a

b

x

l : A(x x0 ) B(y y0 ) 0

Параметрические

Уравнение прямой,

Уравнение прямой с

Уравнение прямой,

уравнения прямой

проходящей через

угловым

проходящей через две

y

данную точку в

коэффициентом

точки

данном

y

А(х1;y1) и B(x2;y2)

направлении

y

y

M(x;y)

N(0;b)

α

x

x

N(0;b)

Рисунок 2

α

y

k

x

b , где

x

x

x0

m t

x

Рисунок 3

l :

, t R

Рисунок 1

k

tg

– угловой

y y0

n t

x x1

y y1

y

y0

k (x

x0 )

коэффициент

l :

x2

x1

y2

y1

Образцы решения задач:

ПРИМЕР. Даны две точки М (2; 3) и N (–1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно отрезку MN . РЕШЕНИЕ:

Найдем координаты вектора MN :

19

MN = (хN – xM; yN – yM) = ( –1–2; 0 –3) = (–3; –3).

По условию вектор MN является нормальным вектором искомой прямой. Составим равнение прямой, проходящей через данную точку М (2; 3) с

данным нормальным вектором MN = ( –3; –3) :

–3 (х – 2) –3 (у –3) = 0 или х + у – 5 = 0 – уравнение искомой прямой.

ПРИМЕР. Определить параметры k и b прямых: 2х + 5у – 10 = 0; 3у + 7 = 0; 4х – 9у = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разрешим первое уравнение относительно у, получим:

y

2

x

10

или y

2

x 2 .

5

5

5

Сравнивая это уравнение с уравнением y

k x b , находим k

2

, b 2 .

1

5

1

Разрешив два других уравнения относительно у, получим:

y

7

, откуда k

0, b

7

;

2

3

2

3

y

4

x , откуда

k

4

, b

0 .

3

9

9

3

ПРИМЕР. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямыми:

7х + 2у – 14 = 0; 2х – 3у – 6 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разделим первое уравнение на 14, а второе на 6 и перенесем свободные члены в правые части. Сравнивая полученные уравнения с уравнением в

отрезках на осях

x

y

1

, находим соответственно:

a

b

x

y

1,

a1

2, b1

7 ;

2

7

x

y

1,

a2

3, b2

2 .

3

2

ПРИМЕР. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (–2, 3) и параллельной биссектрисе второго координатного угла.

РЕШЕНИЕ:

Искомая прямая, как и биссектриса второго координатного угла, образует с

положительным направлением оси Ох угол

1350 , поэтому k

tg1350

1.

Так

как

точка

М

дана,

то

x1

2, y1

3.

Тогда

уравнение y

y0 k (x

x0 ) при k

1, x1

2, y1

3 принимает вид

y

3 1(x

( 1)), y

3

x 2

20

Смотрите также файлы