ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2025
Просмотров: 863
Скачиваний: 0
Образцы решения задач:
, образующий с осью Оu угол 1 = 1200, и вектор |
||||||||||||
ПРИМЕР. Дан вектор a |
||||||||||||
образующий с той же осью угол |
2 = 600. Найти проекцию суммы |
|||||||||||
a |
+ b + |
|||||||||||
где c |
= 2 b , на ось Оu, если известно, что a |
= 8, b = 6. |
||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||
1 = 8 cos 1200 = 8 |
1 |
|||||||||||
прOu a = |
a |
cos |
( |
) = –4; |
||||||||
2 |
||||||||||||
2 = 6 cos 600 = 6 |
1 |
|||||||||||
прOu b = |
b |
cos |
= 3. |
|||||||||
2 |
||||||||||||
прOu c |
= прOu(2 b ) = 2 прOu b = 2 3 = 6. Значит, |
|||||||||||
прOu ( a |
+ b |
+ c ) = прOu a |
+ прOu b + прOu c = –4 + 3 + 6 = 5. |
|||||||||
b ,
c ,
a |
|||||||||||||||
ПРИМЕР. В некотором базисе даны векторы |
(–2, 1, 3) и b (3, –1, 2). |
||||||||||||||
Вычислить координаты векторов c = 2 a |
|||||||||||||||
+ 3 b и d |
= 3 a – 4 b . |
||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||
Вычислим координаты векторов 2 a , 3 b , 3 a , и 4 b |
|||||||||||||||
2 a = (2 (–2), 2 1, 2 3) = (–4, 2, 6); |
|||||||||||||||
3 b = (3 3, 3 (–1), 3 2) = (9, –3, 6); |
|||||||||||||||
3 a = (3 (–2), 3 1, 3 3) = (–6, 3, 9); |
|||||||||||||||
4 b = (4 3, 4(–1), 4 2) = (12, –4, 8). |
|||||||||||||||
Вычислим теперь координаты c |
и d |
||||||||||||||
c= (–4 + 9, 2 + (–3), 6 + 6) = (5, –1, 12) ;
d= (–6 – 12, 3 – (–4), 9 – 8) = (–18, 7, 1).
ПРИМЕР. Найти координаты начала вектора a (1; 3; –7), если его конец
совпадает с точкой B(2, –5, 1).
РЕШЕНИЕ: Пусть начало вектора a есть точка A(x1, y1, z1). По формуле (2) получаем (1; 3; –7) = (2 –x1, –5 – y1, 1 – z1). Откуда находим координаты
точки A: 2 –x1 = 1, –5 – y1 = 3, 1 – z1 = –7, т.е. x1 = 1, y1 = –8, z1 = 8.
Итак, начало вектора есть точка A(1, –8, 8).
ПРИМЕР. |
||||||||
Пусть a = 5 i |
+ 3 j – 2 k , b = 4 i + |
j + 7 k . Вычислить a • b . |
||||||
РЕШЕНИЕ:
a • b = 5 4+3 1+(–2) 7=20+3–14=9.
Из определения скалярного произведения следует, что
x1 x2 |
y1 y2 |
z1 z2 |
||||||||||||||
a b |
||||||||||||||||
cos = |
||||||||||||||||
2 |
2 |
z1 |
2 |
x1 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||
a |
b |
x1 |
y1 |
y1 |
z1 |
|||||||||||
11 |
||||||||||||||||
Эта формула позволяет вычислить угол между двумя векторами, заданными своими координатами.
ПРИМЕР. Вычислить угол между векторами a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= (2; - 3; 0) и b = (4; 2; -1) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: Находим вначале |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a • b = 2 4 |
3 2 0 ( 1) 8 6 0 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим теперь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
22 |
( 3)2 |
02 |
4 9 |
13 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
b |
42 |
22 |
( 1)2 |
16 4 1 |
21 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда cos( a , |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b )= |
, |
arccos |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
21 |
273 |
273 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Кроме широкого применения скалярного произведения в самой математике оно используется в физике, например, для вычисления работы. Известно, что работа А вычисляется по формуле
A F |
s , где F -вектор силы, s -вектор пути. |
||||||||||||
ПРИМЕР Даны три силы: F1 |
(2; 5;1) , |
F2 (1;2; 6) , |
F3 ( 4; 3;3) , |
||||||||||
приложенные |
в одной точке. |
Вычислить |
работу, |
произведенную |
|||||||||
равнодействующей силой по перемещению материальной точки |
|||||||||||||
прямолинейно от точки М (4; 2; -8) до точки N (3; -2; -5). |
|||||||||||||
РЕШЕНИЕ: Обозначим равнодействующую заданных трех сил символом F |
|||||||||||||
и найдем координаты этого вектора из равенства F |
F1 |
F2 |
F3 |
. Получаем |
|||||||||
F 2 1 4; 5 2 |
3;1 |
6 |
3 или F |
1; |
6; |
2 . |
|||||||
1; |
4;3) . |
||||||||||||
Путь s = MN . Аналогично, как и для F |
имеем s ( |
||||||||||||
1 |
1 |
6 |
4 |
2 |
3 |
1 |
24 |
6 |
19 (ед. |
||||
Тогда A= F |
s |
||||||||||||
работы).
Скалярное произведение можно использовать и в экономике.
ПРИМЕР. Бизнесмен имеет в каждом из трех районов города по 20 компьютерных клубов. Стоимость одного часа работы компьютеров различна в зависимости от их марки и приведена в следующей таблице для одного клуба.
Количество |
10 |
20 |
15 |
|||
компьютеров a |
||||||
Стоимость |
||||||
одного часа |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
|||
работы (усл. ед) |
||||||
b |
||||||
12 |
||||||
Какую выручку имеет бизнесмен за один час работы всех компьютерных клубов?
РЕШЕНИЕ:
Вычислим выручку от работы одного компьютерного клуба. Эта выручка численно равна скалярному произведению векторов вида
a (10;20;15) и b (0,5;0,6;0,4) , т.е.
a • b =10 0,5 20 0,6 150,4 5 12 6 23 (усл. ед.).
Т.к. клубов в каждом районе по 20, а районов три, то общая выручка составит: 3 20 23 1320(усл. ед.) за один час работы всех клубов города.
Задания для решения:
1. Вычислить модуль вектора a = (6; 3; –2).
= 13. |
||
2. Путь a = (4; –12; z). Вычислить z, если |
a |
3.Даны точки A(3; –1; 2) и B(–1; 2; 1) . Найти координаты векторов AB
иBA .
4. |
Найти координаты точки N, |
с |
которой |
совпадает |
конец вектора |
||||||||||||||||||||||
a = (3; –1; 4), если его начало совпадает с точкой М(1; 2; –3). |
|||||||||||||||||||||||||||
Найти координаты начала вектора |
= |
(2; –3; –1), |
если его конец |
||||||||||||||||||||||||
5. |
a |
||||||||||||||||||||||||||
совпадает с точкой (1; –1; 2). |
= 450, |
= 600, |
= 1200. |
||||||||||||||||||||||||
6. |
Дан |
модуль |
вектора |
a |
= |
2 |
и |
углы |
|||||||||||||||||||
Вычислить проекции вектора a на координатные оси. |
|||||||||||||||||||||||||||
7. |
Пусть |
||||||||||||||||||||||||||
а |
b |
||||||||||||||||||||||||||
Построить |
каждый из следующих |
векторов |
|||||||||||||||||||||||||
1) a |
+ b ; 2) |
a – b ; 3) b |
– a |
; 4) – a |
– b . |
||||||||||||||||||||||
По |
данным |
векторам |
и |
построить |
каждый |
из |
следующих |
||||||||||||||||||||
8. |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
векторов 1) 3 a ; 2) – |
b ; 3) 2 a + |
b ; 4) |
a – 3 b . |
||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
9. |
Даны два вектора a |
= (3;–2;6) и b = (–2;1;0). Вычислить проекции на |
|||||||||||||||||||||||||
; |
|||||||||||||||||||||||||||
координатные оси следующих векторов: 1) a |
+ |
b ; |
2) a – |
b |
3) 2 a ; 4) – |
||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||
b ; 5) 2 a |
+ 3 b ; 6) |
a |
– b . |
||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
10. Проверить коллинеарность векторов |
= (–6;3;–9). |
||||||||||||||||||||||||||
a |
= (2;–1;3) и b |
||||||||||||||||||||||||||
Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или в противоположные стороны. |
|||||||||
11. |
При |
каких |
значениях , |
векторы |
|||||
a |
= –2 i |
– 3 j – |
k и |
||||||
b = |
i |
– –6 j |
+ 2 k |
коллинеарны? |
|||||
13 |
|||||||||
12. Вычислить модули суммы и разности |
векторов |
b = (-1;1;–4). |
|
13. Вычислить косинус угла, образованного |
векторами |
a = (3;–5;8)
a =(2; -4; 4)
и
и
b =(-3; 2; 6).
14. Даны вершины треугольника А(-1; -2; 4), В(4; -2; 0) и С(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В.
15. |
Даны вершины треугольника А(3; 2; -3), В(5; 1; 1) и С(1; -2; 1). |
|
Определить его внешний угол при вершине А. |
||
16. |
||
Вычислить проекцию вектора a |
(5; 2; 5) на ось вектора b (2; -1; 2) . |
|
Тема 1.5 Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление и приложения.
Векторное произведение двух векторов
Определение. Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор c , для которого:
1) c a b sin ( a , b );
2)c перпендикулярен плоскости, в которой можно расположить a и b ;
3)из конца вектора c кратчайший поворот от a к b виден как поворот против часовой стрелки.
Пусть даны два вектора:
а |
а |
б) |
|||||||||||||||
b |
а |
||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||
Свойства векторного произведения двух векторов a и b , |
|||||||||||||||||
1) |
a |
b |
b |
a ; |
|||||||||||||
0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов a |
|||||||||||||||||
2) |
a |
b |
|||||||||||||||
или b равен 0 или они коллинеарны; |
|||||||||||||||||
R ; |
|||||||||||||||||
3) |
a |
b |
a |
b |
(a b ) , здесь |
||||||||||||
4) (a b ) c a c b c .
Если два вектора заданы своими координатами в ортонормированном |
||||||||||||||||
базисе, т.е. a = x1 i |
+ y1 j |
+ z1 k , b = x2 i |
+ y2 j |
+ z2 k , то |
||||||||||||
i |
j |
k |
||||||||||||||
a b |
x1 |
y1 |
z1 |
. |
||||||||||||
x2 |
y2 |
z2 |
||||||||||||||
14 |
||||||||||||||||
В частности, из определения векторного произведения видно, что модуль a b численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, а площадь треугольника – половине этого модуля. Другими словами, справедливы следующие формулы:
1 |
|||||||||||
S |
a b |
и S |
a b |
. |
|||||||
2 |
|||||||||||
Смешанное произведение трех векторов
Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b , c называется число, которое получается при скалярном произведении векторов a b и c .
Оно обозначается a b c . Иногда используются и другие обозначения, например, a b c или ( a , b , c ).
Из приведенного определения смешанного произведения трех векторов вытекают следующие свойства:
1) a b c 0 тогда и только тогда, когда a , b , c компланарны. Отметим, что это свойство часто используется как условие компланарности трех векторов;
2) a b |
c a |
b |
c ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3) a b |
= b |
a = |
a b = – b a |
= – |
b a = – a |
b . |
|||||||||||||||||||||||||||||
c |
c |
c |
c |
c |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть заданы три вектора: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = x1 i |
+ y1 j + z1 k , b = x2 i |
+ y2 j + z2 k , |
= x3 i + y3 |
j + z3 k . Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 y1 z1 a b c x2 y2 z2 .
x3 y3 z3
x1 y1 z1
Свойство 1 можно записать в виде: x2 y2 z2 0 .
x3 y3 z3
Из определения смешанного произведения трех векторов следует, что его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-
сомножителях, т.е. V= a b c .
c b
а
Образцы решения задач:
15