Файл: 72.pdf

Вместо электрического можно использовать магнитный вектор Герца Γm , который также удовлетворяет уравнению (3.6). Связь этого вектора с электромагнитным полем ЛП получим из выражений (3.7), (3.8), применив свойство перестановочной двойственности уравнений электродинамики:

удовлетворяла соотношениям (3.12) и (3.13), метрические коэффициенты используемой системы координат должны быть связанными следующим соотношениям:

Системы координат, для которых выполняются условия (3.14), называют разделяющимися. К системам такого типа относится, в частности, обобщенно цилиндрическая и сферическая системы координат.

80

Если известно, что электромагнитное поле не зависит от одной из координат, например, x3 ( / x3 = 0), условия (3.14) можно ослабить. В этом случае достаточно потребовать, чтобы

В разделяющейся системе координат всегда можно подобрать функцию e, одновременно удовлетворяющую соотношениям (3.12) и (3.13).

Таким образом, любое электромагнитное поле свободных волн может быть описано с помощью двух скалярных функций — проекций вектора Γe на две координатные оси.

Изложенное справедливо и для магнитного вектора Герца Γm . Поэтому, введя функцию m, удовлетворяющую уравнениям (3.12) и (3.13), можно определить поле в ЛП с помощью двух проекций магнитного вектора Герца на оси координат. Существует, однако, еще одна возможность. Из выражений (3.7) и (3.9) следует, что векторы Герца связаны между собой соотношением

проекций электрического и магнитного векторов Герца на одно и то же направление — координатную ось x3, которую называют продольной в отличие от поперечных осей координат x1, x2. Так как в разделяющейся

одному и тому же однородному скалярному уравнению Гельмгольца

поле H-типа. Из уравнений (3.8) и (3.9) следует, что поле E-типа не

81

имеет продольной составляющей вектора H, а в поле H-типа отсутствует продольная составляющая вектора E1. В общем случае электромагнитное поле в ЛП представляется суперпозицией Е- и Н- полей (волн). Уравнение (3.17) в разделяющейся системе координат имеет вид

Отметим, что, в отличие от (3.17) это двухмерное уравнение.

Таким образом, в разделяющихся системах координат краевая задача о свободных волнах сводится к решению двух уравнений типа (3.18) для проекций электрического и магнитного векторов Герца на ось x3. Отметим, что в этих уравнениях неизвестные функции разделены и их связь возможна только через граничные условия. Наличие или отсутствие этой связи определяется формой граничной поверхности. Если указанная связь отсутствует, уравнения (3.18) или (3.19) для электрического и магнитного векторов Герца можно решать по отдельности, что значительно упрощает их решение.

Используем для решения уравнения (3.18) метод разделения переменных Фурье. Для этого представим проекцию вектора Герца в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от поперечных координат х1, х2, а другая — только от продольной координаты x3:

Нетрудно показать, что такое представление возможно, если уравнение граничных поверхностей имеют вид

1 В зарубежной литературе используются обозначения TM (Transverse magnetic) для поля E-типа и

TE (Transverse Electric) для поля H-типа.

82

Для доказательства этого утверждения предположим, что граничная поверхность определяется уравнением более общего вида f(x1, x3) = 0,

Первое слагаемое левой части зависит только от поперечных координат, а второе — только от продольной координаты x3. Правая часть (3.23) от координат не зависит. Очевидно, что равенство левой и правой части при любых значениях координат может выполняться, только если каждое из слагаемых не зависит от координат, т. е. если

83