Файл: 72.pdf

"поперечный" оператор Лапласа, k 2 и k||2 — не зависящие от координат константы, связанные с волновым числом соотношением (3.24), штрихи означают дифференцирование по z. Отметим, что всем перечисленным выше условиям удовлетворяют обобщенно цилиндрическая (M = 1) и обобщенно сферическая (M = r) системы координат.

Соотношение (3.24) называют характеристическим уравнением

ЛП, а входящие в него величины k и k|| — поперечным и продольным волновыми числами. параметр k|| называют также постоянной распространения, а k — критическим волновым числом. Функцию называют мембранной функцией, поскольку она удовлетворяет уравнению мембраны (двумерному уравнению Гельмгольца) (3.25).

Общее решение дифференциального уравнения (3.26) в обобщенной цилиндрической системе координат (g3 = 1, M = 1) имеет

что позволяет написать следующее выражение для мгновенных значений вектора Герца:

z (x1, x2 , z,t) Am (x1, x2 ) cos( t k z A ) Bm (x1, x2 ) cos( t k z B ). (3.28)

Таким образом, электромагнитное поле в ЛП есть суперпозиция падающей и отраженной плоских неоднородных волн, имеющих одинаковое распределение электромагнитного поля в поперечном сечении линии и одинаковые (с точностью до знака) постоянные распространения k||. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением падающей волны.

Из характеристического уравнения (3.24) следует, что если k и

84

Следовательно, в ЛП распространяется затухающая волна, скорость изменения амплитуды которой определяется мнимой частью, а фазы — действительной частью постоянной распространения. Поэтому величину называют постоянной затухания, а — постоянной фазы (фазовой постоянной) волны.

3.4. Дисперсия в линиях передачи

Выражение (3.30), определяющее поле падающей волны в продольно однородной ЛП аналогично по форме выражению (3.11), что позволяет воспользоваться для вычисления фазовой и групповой

Учитывая, что с первыми дифференциалами можно обращаться как с дробями, найдем

Отсюда

где u = c/n — скорость света в среде, заполняющей линию передачи.

85

Как следует из этого выражения, если показатель преломления среды и поперечное волновое число не зависят от k, фазовая и групповая скорости связаны соотношением vpvg = u2.

Из выражения (3.33) следует, что дисперсия в линии передачи наблюдается в тех случаях, когда скорость света в среде u = c/n (т. е. показатель преломления n) зависит от частоты и (или) волна неоднородна ( const и, согласно (3.25), k = 0). Неоднородность волны возникает при искажении ее поля телами, образующими линию передачи. Если, однако, функция принадлежит к классу гармонических, т. е. является решением уравнения Лапласа = 0, k = 0 и дисперсия при n = const отсутствует.

Выражения (3.33) и (3.34) неудобны для анализа зависимостей фазаовой и групповой скорости от частоты, так как показатель преломления, входящий в волновое число в качестве сомножителя, сам может достаточно сложным образом зависеть от частоты (см. раздел 2.4.5). Чтобы упростить анализ, удобнее оперировать с замедлениями фазовой и групповой скоростей np и ng и волновым числом в свободном пространстве k0 = /c = 2 c/ ( — длина волны в свободном пространстве). Очевидно, что

Соотношение (3.35) есть дисперсионное уравнение линии передачи.

Введем длину волны в линии передачи

g = /vp = 2 / ,

критическую длину волны

c = 2 n/k

и критическую частоту

c = 2 c/ c = k c/n; fc = c/2 .

Используя эти выражения, можно преобразовать формулы (3.35) и (3.36):

86

Последнее выражение есть аналог формулы Рэлея (3.28) для волн в линии передачи. Из формулы (3.37) следует соотношение между длинами волн в ЛП и заполняющей ее среде:

передачи, полагая коэффициент преломления среды n не зависящим от частоты, как это обычно имеет место в микроволновом диапазоне. Предположим сначала, что критическое волновое число k = 0. В этом случае k = n , np = n. Соответствующие дисперсионные характеристики

отсутствует, фазовая и групповая скорости равны скорости света, крутизна ДХ = 0.

Рис. 3.7. Дисперсионные характеристики линии передачи.

Пусть теперь k 2 = const > 0. Так как dk /dk0 = 0, из формул (3.37) и (3.38) следует:

87

Соответствующие ДХ для n = 1 показаны на рис. 3.6 (кривые 2). Отметим, что в данном случае vpvg = u2. На малых длинах волн(в области высоких частот) фазовая и групповая скорости стремятся к скорости света в среде, заполняющей ЛП. При этом крутизна ДХ незначительна и уменьшается с ростом частоты. Когда длина волны, увеличиваясь, стремится к критической, фазовая скорость неограниченно возрастает, а групповая скорость стремится к нулю. Крутизна ДХ по мере увеличения длины волны увеличивается и вблизи ее критического значения стремится к бесконечности. В этих условиях понятие групповой скорости теряет физический смысл. Таким образом, распространение волн в ЛП возможно только на частотах, больших критической частоты (на длинах волн, меньших критической длины волны).

Рассмотрим, наконец, случай, когда критическое волновое число зависит от частоты. Положим k = ns(k0), где s — известная функция частоты (волнового числа в свободном пространстве). подставив в выражение (3.33) значение k , получим

Заметим, что если s — мнимое число, замедление фазовой скорости оказывается больше, чем показатель преломления среды. В линии передачи в этом случае распространяется медленная волна, так как ее фазовая скорость меньше скорости света в среде. Таким образом, доказана принципиальная возможность существования медленных волн в линии передачи. Неравенство k 2 < 0 следует рассматривать как необходимое условие существования этих волн.

Подставив выражение (3.42) в формулу (3.34), найдем:

Соответствующие дисперсионные характеристики обозначены на рис. 3.6 цифрой 3. Отметим, что медленная волна может иметь отличную от нуля частоту отсечки (кривые 4). Вблизи нее медленная волна превращается в быструю.

88