Файл: Введение в радиооптику.pdf

Введение в радиооптику

ЭМП в точке Р для монохроматической волны циклической частоты ω = 2πν описывается скалярной функцией U(Р,t), которую в случае линейно поляризованных волн можно полагать совпадающей с напряженностью ЭП и МП

U(Р,t) = U(P)cos[2πνt + ϕ(P)],

где U(P) и ϕ(P) − соответственно амплитуда и фаза волны в точке Р; ν − частота.

Используя комплексные обозначения, последнее выражение перепишем в следующем виде

U(Р,t) = Re[U(P)exp(−i2πνt)],

где U(Р) = U(P)exp(−iϕ(P)), комплексная амплитуда, a Re − символ действительной части функции, заключенной в квадратных скобках.

Здесь используется запись временной зависимости в виде exp(−i2πνt), а не exp(i2πνt) (как, например, в [4, 8]) и поэтому запись фазового множителя расходящейся сферической волны имеет вид exp[i(kr − 2πνt)]. В результате широко используемые в дальнейшем операторы пространственных преобразований имеют обычный, принятый для пространственных (как, впрочем, и временных) функций вид преобразования Фурье

{g(x, y)} = G(νx ,νy ) = ∫ ∞∫g(x, y)exp[−i2π(νx x +νy y)]dxdy, (1.4)

−∞

где {g(x, y)} − символ Фурье-преобразования; G(νx,νy) = {g(x, y)} − пространственный Фурье-образ (спектр Фурье, спектральная плотность) функции g(x, y); νx, νy − пространственные частоты.

Соответственно обратное преобразование Фурье-функции G(νx,νy) обозначается как {g(x, y)} и определяется выражением

−1{G(νx ,νy )}=g(x, y) =∫ ∞∫G(νx ,νy )exp[i2π(νx x +νy y)]dνxdνy . (1.5)

−∞

Подставляя в (1.3) вместо U(Р,t) комплексное значение U(P)exp(−i2πνt), получаем, что комплексная амплитуда U(P) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

где k = 2πν/c = 2π/λ − волновое число.

Теорема Грина. Приведем формулировку теоремы Грина, являющуюся во многих отношениях основным звеном скалярной теории дифракции [8].

Пусть U(P) и G(Р) − две произвольные комплексные функции координат (x,y,z), a S − замкнутая поверхность, ограничивающая объем V

9

Введение в радиооптику

волну единичной амплитуды, распространяющуюся из точки Р0 (так называемую функцию Грина свободного пространства [4, 8]). Таким образом, для функции G в произвольной точке Р1 имеем

G(P1) = exp(ikr)/r, (1.8)

где r − расстояние между точками Р и Р0.

При этом, как известно [8], функция G удовлетворяет неоднородному волновому уравнению

где δ(r) − дельта-функция.

Согласно условиям теоремы Грина функция G, ее первая и вторая производные должны быть непрерывны в объеме V, ограниченном поверхностью S. Такое требование, как нетрудно видеть из (1.8), выполняется всюду, за исключением точки Р0, где функция G обращается в бесконечность. Поэтому для того, чтобы исключить точку разрыва, окружим P0 небольшой сферической поверхностью S0 радиусом r0. Применим теорему Грина для области V0, ограниченной поверхностью SΣ = S + +S0 (рис. 1.3).

Левая часть (1.7) формулы Грина с учетом того, что функции U и G удовлетворяют волновым уравнениям (1.6), (1.9), будет

∫(G 2 U − U 2G)dV = −∫(GUk2 − UGk2 )dV ≡ 0.

∫(G∂U / ∂n − U∂G / ∂n)dS = 0

SΣ

или

где cos(n, r0) − косинус угла между направлением внешней к единичной нормали n и единичным вектором r0, соединяющим точки P0 и Р1 (см. рис. 1.3); учтено также представление grad G в сферической системе координат.

Для случая, когда точка Р1 лежит на поверхности S0, n = − r0, cos(n,r0) = −l, и для (1.11), (1.12) имеем

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Если R0 стремится к нулю, то в силу непрерывности функции U

Подставляя этот результат в (2.10), получаем

U(P0 ) = 0,25 / π∫(∂U / ∂n[exp(ikr) / r] − U∂ / ∂n[exp(ikr) / r]). (1.14)

S

Выражение (1.14) есть интегральное представление Кирхгофа (интеграл Кирхгофа), позволяющее выразить поле в произвольной точке Р0 через «граничные значения» поля на любой замкнутой поверхности, окружающей эту точку.

1.4 Дифракция на плоском экране с отверстием

Учитывая изложенное выше рассмотрим одну из встречающихся в радиооптике задач − дифракцию на отверстие в бесконечном идеально проводящем (непрозрачном) экране. Предполагается, что на экран с отверстием падает слева электромагнитная волна (ЭМВ). Она полностью отразится от экрана, за исключением отверстия Σ, через которое поле проникает в область за экраном, дифрагируя на ее краях. Таким образом, за экраном образуется дифрагированное поле, которое и необходимо определить в каждой точке Р0 этого бесконечного полупространства (рис. 1.4).

Рисунок 1.4 − К пояснению о дифракции на плоском экране

Формула Кирхгофа. Воспользуемся интегральным представлением Кирхгофа (1.14), выбрав соответствующим образом замкнутую поверхность S. Последняя состоит из двух частей (рис. 1.4): плоской по-

12

Введение в радиооптику

верхности S1, лежащей сразу за экраном и замыкающей ее полусферической поверхности S2 радиусом R → ∞ с центром в рассматриваемой точке

P0.

Функции U и G уменьшаются пропорционально 1/R, вследствие чего подынтегральное выражение в (1.14) будет в конечном итоге стремиться к нулю не медленнее 1/R2. Площадь интегрирования по S2 возрастает пропорционально R2, однако, если предположить существование сколь угодно малых потерь в среде, то при R → ∞ интегралом по поверхности S2 можно пренебречь.

Исследуя этот вопрос более детально, видим, что (1.13) на поверхности S2

где Ω − телесный угол с вершиной в точке P0, стягиваемый поверхностью

S2.

Величина |RG| равномерно ограничена на поверхности S2, поэтому полный интеграл по S2, будет стремиться к нулю при R → ∞, при условии, что

Это требование называется условием излучением Зоммерфельда. Легко убедиться, что условию излучения удовлетворяют решения (1.4), имеющие при R → ∞ вид расходящейся сферической волны

U(R) → U(θ, ϕ)exp(ikR)/R, где θ, ϕ − сферические координаты. Так как ЭМП, падающее на отверстие, можно представить в виде линейной комбинации сферических волн, то требование (1.17) будет удовлетворяться, и, следовательно, интеграл по S2 не будет давать вклада в общий интеграл. Заметим, что при замене exp(ikr) на exp(−ikr) в (1.8) определяем (учитывая временную зависимость в виде exp(−iωt)) так называемую сходящуюся сферическую волну (приходящую из бесконечности), лишенную физического содержания и как следствие не удовлетво-

ряющую условию (1.17) [4]. Итак, для рассматриваемой задачи

U(P0 ) = 0,25π−1 ∫(G∂U / ∂n − U∂G / ∂n)dS,

S2

где S, n показаны на рис. 1.4.

13