Файл: Введение в радиооптику.pdf

Введение в радиооптику

U(x, y,z) 0,5kexp(ikz)exp[0,5ik(x2 +y2 )/ z]/iπz×

Прежде чем перейти к определению передаточной функции слоя пространства для общего случая (1.22) и приближения Френеля (1.32), приведем основные сведения по плоским и сферическим волнам.

Плоские волны, распространяющиеся в пространстве под различными углами, выполняют роль базисных функций в представлении пространственных сигналов − аналогично временным гармоникам при разложении сигналов, меняющихся во времени. Сферические волны позволяют наглядно интерпретировать импульсные отклики слоя пространства.

Плоские и сферические волны. Комплексная амплитуда

U(x,y,z), описывающая любую из компонент U(x,y,z)= =Re[U(x,y,z)exp(−i2πν)] ЭМП, удовлетворяет волновому уравнению (1.6).

Наиболее простым решением этого уравнения является плоская

где U0 = const − амплитуда; k = − волновой вектоp, задающий направление распространения волны, в пространстве (рис. 1.7); kx = kcosα, ky =

=kcosβ, kz = kcosγ (cosα, cosβ, cosγ − направляющие косинусы вектора k, k = 2π/λ = 2πν/c); r = x0x +y0y + z0z − радиус-вектор точки, принадлежащей фронту плоской волны).

Рисунок 1.7 − Плоская ЭМВ

Раскрывая в (1.6) оператор Лапласа 2 в декартовой системе координат и подставляя (1.35), получаем следующую связь:

19

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Поверхностьравных фазопределяется из соотношения xkx + уky + +zkz = c = const, которое задает уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки c/kx, c/ky, c/kz. Из полного комплексного представле-

ния плоской волны U(x,y,z,t) = U0exp[i(kxx + kyy + kzz) − ωt] следует, что с течением времени поверхность равных фаз перемещается параллельно самой себе, причем направление распространения ЭМВ определяется нормалью к волновой поверхности, которая, как известно, совпадает с grad c (c − константа, введенная выше и рассматриваемая как функция

x,y,z ). Поскольку gradc = x0∂c/∂x + y0∂c/∂y + z0∂c/∂z = x0kx + y0ky + z0kz, grad c = k, т.е. направление распространения действительно совпадает с

направлением волнового вектора.

Рассмотрим теперь сферические волны. Расписывая оператор Лапласа в (1.6) в сферической системе координат (r,θ,ϕ), получаем сле-

Поверхность равных фаз определяется из равенства kr=const=c следовательно, фронт волны − сфера r=const. Направление распростране-

ния волны определяется вектором grad c (x,y,z) = grad (kr) = kgrad(r). Так как r = (x2 + y2 + z2)0,5, то k grad(r) = k(x0x +y0y + z0z)/r = kr/r, т. е. волна распространяется вдоль радиуса-вектора r. Подставляя r = (x2 + y2 + z2)0,5

Так называемое параксиальное приближение следует из (1.38) в случае, когда z велико, а x и у малы. При этом в соответствии с (1.23), (1.24) имеем

Нетрудно видеть, что импульсный отклик свободного пространства, в приближении Френеля hϕ(х,у) (1.32), представляет собой сферическую волну в параксиальном приближении.

Определим теперь передаточной функции слоя пространства

Н(νх,νу).

Передаточная функция слоя пространства. Для определения передаточной функции слоя пространства можно использовать два подхода. Первый связан с понятием "угловой спектр плоских волн" и позволяет шире раскрыть физическое содержание процессов преобразования поля в слое пространства. Его здесь применим для определения передаточной функции слоя пространства Н(νх,νу) в общем случае скалярной теории дифракции (1.22), (1.31). Второй подход основан на использова-

20

Введение в радиооптику

нии теоремы свертки, правила дискретизации [4] и непосредственного применения преобразования Фурье к импульсным откликам hs (1.31) и hϕ (1.32). Проиллюстрируем этот подход для нахождения передаточной функции слоя пространства в области Френеля Нϕ(νх,νу).

Для нахождения Нϕ(νх,νу) запишем волновое уравнение (1.6) в декартовой системе координат:

Для решения уравнения (1.40) используем двумерное преобразование Фурье. Прямое преобразование (1.4), примененное к функции U(х,у,z), дает двумерную спектральную плотность

а обратное Фурье-преобразование (1.5) позволяет найти по известной спектральной плотности функцию координат

Чтобы использовать эти преобразования, умножим (1.40) на exp[−2iπ(νхx + νуу)] и проинтегрируем по х и у в бесконечных пределах. Учитывая, что в силу свойств Фурье-преобразования

получаем следующее дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет спектральная плотность

Решением этого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами является

где С1 и С2 – постоянные интегрирования (они не зависят от z, но могут зависеть от частот νх и νу), определяемые из граничных условий.

21

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Первый член в (1.44) соответствует расходящейся волне (временная зависимость exp(−2iπνt)), а второй – сходящейся, поэтому С2 = 0. Постоянная С1(νх,νу) находится из следующих соображений. Так как нам известно поле во входной плоскости при z = 0 – U(x,y,0), то, следовательно, можно найти его двумерную спектральную плотность

G(νx ,νy ,0) = {U0 (x, y,0)}= ∞∫∫U0 (x, y,0)exp[−2iπ(νx x+νy y)dxdy. (1.45)

−∞

Из выражения (1.44) вытекает, что при z = 0 С1(νх,νу) = G(νх,νу,0). Таким образом,

G(νx ,νy , z) = G(νx ,νy ,0) exp{ikz[1 − (λνx )2 − (λνy )2 ]0,5 }. (1.46)

Из формулы (1.46) следует, что для определения спектральной плотности выходного сигнала G(νх,νу,z) нужно спектральную плотность входного сигнала G(νх,νу,0) умножить на функцию

которую в этом случае необходимо рассматривать как передаточную функцию слоя пространства (см. рис. 1.6). Применяя к (1.45) обратное Фурье-преобразование (1.5), получаем выходной сигнал [4]

×exp[i2π(νx x+νy y)]dνxdνy.

Итак, чтобы найти поле в произвольной точке (x,y,z) по заданному распределению поля в плоскости z = 0, нужно, во-первых, определить двумерную спектральную плотность заданного поля (по формуле (1.45)); во-вторых, умножить ее на коэффициент передачи слоя пространства (1.47); в-третьих, от полученной функции взять обратное Фурьепреобразование (1.42). Этот подход полностью аналогичен расчету реакции на выходе частотного фильтра, что является следствием инвариантности слоя пространства относительно сдвига по координатам х и у.

Как видно из формулы (1.47), коэффициент передачи Нϕ(νх,νу) слоя пространства является величиной комплексной, поэтому может быть представлен в виде

Нs(νх,νу) = Нs(νх,νу) exp iϕ(νх,νу), (1.49)

где Нs − амплитудночастотная, а ϕ − фазочастотная характеристики. В

области пространственных частот (λνх)2 + (λνу)2 = 1, определяемой кру-

гом с радиусом, равным 1, Нs(νх,νу) = l; ϕ(νх,νу) = kz[1 − (λνх)2 + +(λνу)2]0,5, а в области частот, лежащей вне этого круга

Нs(νх,νу) = ехр{− kz[(λνх)2 + (λνу)2 − 1]0,5}; ϕ(νх,νу) = 0.

22