Файл: Введение в радиооптику.pdf

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Далее при вычислении выражения для U(Р0) в рамках интегрального представления Кирхгофа принимаем, что:

−На отверстии Σ распределения поля и его производной ∂U/∂n имеют точно такие же значение, какие они имели бы в отсутствие экрана.

−На той части поверхности, которая лежит в области геометрической тени экрана, распределение поля U и ∂U/∂n тождественно равны нулю.

Таким образом, последнее выражение принимает вид

где интегрирование ведется только по поверхности отверстия Σ, а функция G определена выражением (1.8).

Хотя формула (1.18) существенно упрощает расчет поля в произвольной точке Р0 полупространства за экраном, однако в (1.18) содержатся физические несоответствия и математическая неточность.

Действительно, в соответствии с известными свойствами дифференциальных уравнений значения U во всех точках области однозначно определяются заданием на поверхности либо функции U (задача Дирихле), либо ее нормальной производной ∂U/∂n (задача Неймана), т.е. граничные значения U и ∂U/∂n, которые не могут выбираться произвольным образом, независимо друг от друга.

Полагая далее U и ∂U/∂n равными нулю на части плоской поверхности S1 (кроме отверстия), имеем в соответствии с теоремой теории потенциала, что они должны быть равными нулю на всей замкнутой поверхности (S1 + S2), т.е. и на отверстии, а это противоречит физической реальности.

Наконец, условие, что U и ∂U/∂n на отверстии Σ совпадают со значениями в этом же месте невозмущенной волны, можно принять лишь в случае, если D/λ >> 1 (D − линейные размеры препятствия, λ − длина волны). Об этом условии как основной предпосылке приближенной теории дифракции уже упоминалось выше [4, 8].

Формула Кирхгофа-Зоммерфельда. Одно из противоречий тео-

рии Кирхгофа было устранено Зоммерфельдом (который исключил необходимость одновременного наложения граничных условий на поле U и его нормальную производную) за счет введения специальной функции

Р0 (рис. 1.5), и Р1.

14

Введение в радиооптику

Физически (1.19) означает, что функция G(P1) создается не только точечным источником, помещенным в точку Р0, но также и вторым

~

точечным источником, расположенным в точке P , которая представляет собой зеркальное отображение точки Р0 и лежит по другую сторону экрана.

Рисунок 1.5 − Схема для вывода формулы Кирхгофа−Зоммерфельда.

Соответственно

∂G/ ∂n =cos(n,r0 )exp(ikr)(ik −1/ r)/ r −cos(n,~r0 )exp(ik~r)(ik −1/ ~r)/ ~r.

Для точки Р1 на поверхности Sl имеем r =~r, cos(n,r0 ) =−cos(n,~r0 )

Выражение (1.21), полученное с учетом сделанных выше поправок, носит название формулы Кирхгофа-Зоммерфельда и является математической формулировкой принципа Гюйгенса-Френеля, согласно которому поле в любой точке наблюдения является результатом суперпозиции сферических волн exp(ikr)/r излучаемых элементарными источниками U(P1), распределенными на заданной поверхности Σ [4].

1.5 Дифракционная формула в приближениях Френеля и Фраунгофера

Полагая, что выполняются условия Кирхгофа, при которых было получено выражение (1.21) рассмотрим дифракцию монохроматической волны на экране с отверстием (рис. 1.6). Для удобства будем считать, что экран совмещен с системой координат (x0,y0,z0=0), а область наблюдения (x,y,z) с плоскостью, параллельной плоскости экрана x00z0 и расположенной на расстоянии z от нее (см.рис. 1.6 и 1.4). Тогда выражение (1.21) принимает вид

15

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

∞

U(x, y, z) =(iλ)−1 ∫U0 (x0 ,y0 , z0 )cosθzr exp(ikr) / r dx0dy0 , (1.22)

делы поставлены так как за пределами отверстия поле U0(x0,y0,0) равно нулю.

Приближение Френеля. Выражение (1.22) для дифракционного поля в области удаленной от экрана на расстояние, существенно превышающее максимальный размер апертуры Σ, значительно упрощается.

Так, если x – x0 ≤ z, y – y0 ≤ z, то полагая соsθzr ≈ 1 имеем ошибку менее 5 %, в случае если угол θzr < 18°. Эту область, вблизи оси 0z, представляющую наибольший интерес в радиооптикe называют параксиальной. Расстояние r в знаменателе подынтегрального выражения (1.22) заменяют на координату z (сделать такую же замену в экспоненте нельзя, так как возникающая при этом погрешность умножается на волновое

число k = 2π/λ (λ = λсвета ≈ 1 мкм) и возникают большие фазовые погрешности).

Рисунок 1.6 − Зоны дифракции Фраунгофера и Френеля

Для получения более точного приближения представим r в виде

Считая величину [(x – x0)2 + (y – y0)2]/z2 малой, разложим квадратный корень в степенной ряд, воспользовавшись представлением (1 + α)0,5 = 1 + +α/2 − α2/8 + ...; |α| << 1. Учитывая первые два члена, получим следующее приближение:

Выражение (1.25) позволяет по известному распределению поля в плоскости z = 0 рассчитать амплитуду волны в произвольной точке

16

Введение в радиооптику

пространства (x,y,z) и носит название формулы дифракции Френеля. Погрешность фазовой аппроксимации экспоненты в (1.22) с учетом (1.23) не превосходит величины k[(x – x0)2 + (y – y0)2]2/8z3 поскольку степенной ряд знакопеременный. Если предположить, что эта фазовая погрешность не превосходит величину 2π × 0,1 (критерий Рэлея), то приближение Френеля справедливо в зоне

z ≥ [(Ra – ρн)4/λ]1/3, (1.26)

где Ra, ρн – максимальный радиус апертуры Σ и области наблюдения в плоскости z соответственно (см. рис. 1.6); λ – длина ЭМВ.

Приближение Фраунгофера. В случае, когда размеры источника излучения Σ малы, а расстояние z велико, в квадратичном множителе в экспоненте выражения (1.22) можно пренебречь членами второго порядка малости относительно переменныхx0 иу0. Тогда [(x – x0)2 + (y –y0)2]/2z≈ ≈ (x2 + y2)/2z – (xx0 + yy0)/z, а выражение (1.25) для поля в произвольной точке принимает вид

Последнее выражение носит название формулы дифракции Фраунгофера. Определим область (Фраунгофера), в которой справедливо приближенное выражение (1.27). Используя критерий Рэлея, получаем, что допустимая погрешность по фазе будет 0,5kRa2/z ≤ 2π×0,1, где Ra

– максимальный радиус апертуры Σ (см. рис. 1.6), откуда 4Ra2/2z ≤ 0,8z. Полагая Da = 2Ra, заменяя коэффициент 0,8 на 1, окончательно запишем z ≥ Da2/λ. (1.28)

Для анализа выражений (1.28) и (1.26) перепишем их относительно размеров 2ρн областей Фраунгофера и Френеля (при заданных z и

λ), т.е.:

Так как z >> λ, то получаем, что область Френеля шире области Фраунгофера (см. рис. 1.6) [4, 8].

Для оценки расстояний z для формул дифракции Френеля и Фраунгофера положим, что в оптическом диапазоне волн λ = 1 мкм = 10–6 м, Da = 2Ra = 1 мм = 10–3м. Тогда дифракция Френеля будет выполняться на расстоянии z ≥ (Da4/λ)1/3 = 10–2 м = 1 см, а дифракция Фраунгофера – только на расстоянии z ≥ Da2/λ = 1 м. Если размер апертуры и области наблюдения увеличить в 10 раз и принять Da = 1 см, то эти расстояния

17

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

составят соответственно 20 см и 100 м. Из этого примера видно, что в оптическом диапазоне приближением Фраунгофера можно пользоваться только при больших расстояниях z, Для сантиметрового диапазона радиоволн возьмем Da = 1 см, λ = 3 см. Дифракция Френеля будет при z ≥ 10 м, а дифракция Фраунгофера при z ≥ 30 м.

1.6 Импульсный отклик и передаточная функция слоя пространства Импульсный отклик. Рассмотрим выражение (1.22), позволяющее по известному распределению поля во входной плоскости z = 0 (см.

рис. 1.6) рассчитать амплитуду волны в произвольной точке пространства (x,y,z). Поскольку cosθzr/r = z/r2, (1.22) имеет вид интеграла свертки [4], то импульсный отклик слоя пространства будет

hs = kz exp[ik(x2 + y2 + z2)0,5]/[2iπ(x2 + y2 + z2)]. (1.31)

Рассмотрим далее формулы дифракции Френеля (1.25) и Фраунгофера (1.27) с позиций теории линейных инвариантных пространственных систем. Сопоставление (1.25) с интегралом суперпозиции для инвариантной системы [4] показывает, что поля во входной и выходной плоскостях системы связаны между собой соотношением типа свертки

где hϕ = 0,5k exp(ikz)exp[0,5ik(x 2 + y2 )/z]/izπ − импульсный отклик свободного пространства в области Френеля.

−∞

Из сопоставления (1.33) с (1.4) видно, что с точностью до амплитудного и фазового множителей, которые не зависят от (х0,у0), поле U(x,y,z) в выходной плоскости можно найти как Фурье-образ функции U0 (x0 ,y0 )exp[0,5ik(x02 +y02 ) / z] относительно пространственных частот νx =

=x/λz, νy = y/λz.

Далее, из сравнения (1.4) и (1.27), следует, что с точностью до стоящего перед интегралом в (1.27) множителя распределение амплитуды ЭМП в зоне дифракции Фраунгофера представляет собой Фурье-образ распределения поля во входной плоскости z = 0 (см. рис. 1.6):

18