Файл: Тер.вер(решение задач).pdf

Задачи по теории вероятностей и математической статистике

1. Случайные события

Задача 1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными.

N = 20, n = 5, m = 4, k = 2.

Решение.

Имеем неупорядоченную выборку без повторений. По классической формуле искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов

Задача 2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий не качественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут не качественными.

n = 10, k = 4, m = 2.

Решение.

Имеем неупорядоченную выборку без повторений. По классической формуле искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов

Задача 3. На склад с трех предприятий поступает продукция первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% второсортных изделий, в продукции второго предприятия – 25%, в продукции третьего предприятия – 30%. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными два изделия.

Решение.

Обозначим события: A1 – изделие первого предприятия оказалось первосортным; A2 – изделие второго предприятия оказалось первосортным; A3 – изделие третьего предприятия оказалось первосортным.

Тогда вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными два изделия будет равна

P(A) = P( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) =

=P( A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =

=P( A1 )P(A2 )P(A3 ) + P( A1 )P(A2 )P( A3 ) + P(A1 )P( A2 )P( A3 ) =

=0,85 0,75 0,3 + 0,85 0,25 0,7 + 0,15 0,75 0,7 = 0,19125 + 0,14875 + 0,07875 = 0,4188.

Задача 4. В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течение смены для станков соответственно равна 0,1, 0,2 и 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают два станка.

Решение.

Обозначим события: A1 – первый станок в течение смены безотказно проработал; A2 – второй станок в течение смены безотказно проработал; A3 – третий станок в течение смены безотказно проработал.

Тогда вероятность того, что в течение смены безотказно проработают два станка будет равна

P(A) = P( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) =

=P( A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =

=P( A1 )P(A2 )P(A3 ) + P( A1 )P(A2 )P( A3 ) + P(A1 )P( A2 )P( A3 ) =

=0,9 0,8 0,15 + 0,9 0,2 0,85 + 0,1 0,8 0,85 = 0,108 + 0,153 + 0,068 = 0,329 .

Задача 5. Два производственных участка по выпуску однотипной продукции за смену выдали одинаковое количество изделий. Возможный процент брака на первом участке составляет 5%, на втором – 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа поступивших на склад, не соответствует установленным требованиям.

Решение.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа поступивших на склад, не соответствует установленным требованиям, равна

P(A) = P(H1 )P(A / H1 ) + P(H 2 )P( A / H 2 ) .

По условию задачи оба производственных участка за смену выдали одинаковое количество изделий, т.е. P(H1 ) = P(H 2 ) = 0,5 . Известны также условные вероятности

P(A / H1 ) = 0,05 , P(A / H 2 ) = 0,04 . Отсюда искомая вероятность равна

P(A) = 0,5 0,05 + 0,5 0,04 = 0,045 .

Задача 6. На склад поступило 1500 изделий с первой фабрики и 2000 изделий со второй. Известно, что средний процент нестандартных изделий среди продукции первой фабрики равен 3%, второй – равен 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.

Решение.

Вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным, равна

P(A) = P(H1 )P(A / H1 ) + P(H 2 )P( A / H 2 ) ,

где P(H1 ) , P(H 2 ) – вероятности гипотез, что наудачу взятое со склада изделие поступило с первой или второй фабрики, соответственно.

Задача 7. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу извлечены 2 шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

Решение.

Искомое событие A – «извлечены 2 шара разного цвета» означает, что извлечен один белый шар и один черный шар. Воспользуемся классической формулой. Учитывая, что выборка

– не упорядоченная и без повторений, имеем

Задача 8. В тире имеется пять винтовок, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Стрелок берет наудачу одну из винтовок. Найти вероятность попадания в цель.

Решение.

Воспользуемся формулой полной вероятности. Вероятность попадания в цель равна

5

P(A) = ∑P(Hi )P( A / Hi ) ,

i=1

где P(Hi) – вероятность выбора стрелком i-й винтовки, очевидно, что P(Hi) = 1/5, i = 1, … , 5; P(A/Hi) – вероятность попадания стрелком из i-й винтовки, i = 1, … , 5, эти вероятности заданы.

Отсюда имеем

Задача 9. Найти вероятность наступления события A ровно 3 раза в 5 независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 1/3.

Решение.

Воспользуемся формулой Бернулли. Искомая вероятность равна

Задача 10. Какова вероятность того, что пятизначное число состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4.

Решение.

Вероятность искомого события согласно классической формуле равна

P( A) = mn ,

где m – число благоприятных элементарных событий, n – общее число элементарных событий.

Определим число благоприятных элементарных событий. Очевидно, что на первом месте может быть любое из четырех чисел 1, 2, 3, 4. На втором месте может быть любое из оставшихся четырех чисел. На третьем месте может быть любое из оставшихся трех чисел. На четвертом месте может быть любое из оставшихся двух чисел. На пятом месте может быть оставшаяся последняя цифра. Поэтому число благоприятных элементарных событий равно

m = 4 4 3 2 1 .

Определим общее число элементарных событий. Очевидно, что на первом месте может быть любое из четырех чисел 1, 2, 3, 4. На втором, третьем, четвертом и пятом местах может быть любая из пяти цифр. Поэтому общее число элементарных событий равно

n = 4 54 .

Следовательно, искомая вероятность равна

Задача 11. Семь различных шаров произвольно раскладываются по семи различным коробкам. Какова вероятность того, что:

а) в каждой коробку будет по шару; б) ровно одна коробка окажется пустой.

Решение.

а) Вероятность искомого события согласно классической формуле равна

P( A) = mn ,

где m – число благоприятных элементарных событий, n – общее число элементарных событий. Так как по условию шары различны, то число благоприятных элементарных событий равно числу перестановок m = 7!. Общее число элементарных событий равно (выборка

упорядоченная с повторениями) n = 77 . Отсюда

б) Вероятность искомого события согласно классической формуле равна

P( A) = mn ,

где m – число благоприятных элементарных событий, n – общее число элементарных событий.