ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.09.2025
Просмотров: 937
Скачиваний: 0
Так как по условию шары различны и один ящик должен быть пустым, то число благоприятных элементарных событий равно
m = m1m2 m3 = 7 6 6!,
где m1 = 7 – число вариантов выбора одной пустой коробки из 7;
m2 = 6 – число вариантов размещения одного шара в одну из шести не пустых корзин; m3 = 6! – число перестановок шести оставшихся шаров по шести не пустым корзинам.
Общее число элементарных событий равно (выборка упорядоченная с повторениями) n = 77 . Отсюда
P(A) = |
m |
= |
7 6 6! |
= |
6 6! |
= |
4320 |
= 0,0367 . |
|||
n |
77 |
76 |
117649 |
||||||||
Задача 12. Сообщение передается одновременно по n каналам связи, причем для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз. При одной передаче сообщения (независимо от других) искажается с вероятностью p. Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами с вероятностью q, забитый канал не может передавать сообщения. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.
Решение.
Определим вероятность того, что произвольный канал связи передаст сообщение без искажений. Обозначим событие A – произвольный канал связи передаст сообщение с искажениями или не сможет передать сообщение. Тогда
P(A) = ( p + q − pq)k .
Поскольку адресат получит сообщение связи передаст сообщение без искажений. сообщение без искажений, равна
P(B) =1 −[P(A)]n =1 −( p + q − pq)nk .
без искажений, если хотя бы один из n каналов Тогда вероятность того, что адресат получит
Задача 13. Среди поступающих на склад деталей 30% из цеха 1, 70% − из цеха 2. Вероятность брака для цеха 1 равна 0,02, для цеха 2 – 0,03. Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того, что она изготовлена в цехе 1?
Решение.
Обозначим гипотезы: H1 – деталь поступила из цеха 1, H2 – деталь поступила из цеха 2.
Очевидно, что P(H1 ) = 0,7 , |
P(H1 ) = 0,3. Далее обозначим A – наудачу взятая деталь оказалась |
|||||||||||||
доброкачественной. |
По |
условию |
задачи |
имеем: |
P(A / H1 ) =1 − 0,02 = 0,98 , |
|||||||||
P(A / H 2 ) =1 − 0,03 = 0,97 . Тогда по формуле Байеса искомая вероятность равна |
||||||||||||||
P(H1 |
/ A) = |
P(H1 )P( A / H1 ) |
= |
P(H1 )P(A / H1 ) |
= |
|||||||||
P(H1 )P( A / H1 ) + P(H 2 )P( A / H 2 ) |
||||||||||||||
P( A) |
||||||||||||||
= |
0,7 0,98 |
= |
0,686 |
= |
0,686 |
= 0,7021. |
||||||||
0,7 |
0,98 + 0,3 0,97 |
0,686 + 0,291 |
||||||||||||
0,977 |
||||||||||||||
Задача 14. В тираже «Спортлото 6 из 49» участвует 10000000. Найти вероятность события A – хотя бы в одной из этих карточек зачеркнуты 6 выигрышных номеров.
Решение. |
||||||||||||||||||||||
Вероятность угадать в одном билете 6 цифр из 49 равна |
||||||||||||||||||||||
p = |
m |
= |
C 6 |
= |
6! 43! |
= |
6 |
5 |
4 3 |
2 |
= |
1 |
= |
1 |
. |
|||||||
6 |
||||||||||||||||||||||
n |
C496 |
49! |
49 |
48 |
47 |
46 |
45 44 |
49 |
47 |
46 |
3 |
44 |
13983816 |
|||||||||
Т.к. λ = np = 1000000013983816 = 0,7151 < 5 – мало, то вероятность того, что никто не угадает все 6 выигрышных номеров равна
P(m = 0) = λ0 e−λ = e−λ = e−0,7151 = 0,4891. 0!
Отсюда искомая вероятность равна
Имеем P(A) =1 − P(m = 0) =1 −0,4891 = 0,5109 .
Задача 15. В урне находится 12 шаров: 8 белых и 4 красных. Какова вероятность того, что выбранные наугад два шара будут одного цвета.
Решение.
Вероятность искомого события равна
P(A) = P( A1 ) + P( A2 ) ,
где P(A1) – вероятность того, что выбраны два белых шара; P(A2) – вероятность того, что выбраны два красных шара.
По классической формуле, считая выборки неупорядоченными и без повторений, имеем
P(A ) = |
C |
2 |
, P( A ) = |
C 2 |
. |
|||||||||||||||||||||
8 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||
C |
C 2 |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
12 |
12 |
|||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
||||||||||||||||||||||||||
P( A) = |
C 2 |
+C 2 |
8! |
4! |
2! 10! |
= |
28 |
+ 6 |
= |
34 |
= |
17 |
||||||||||||||
8 |
4 |
= |
+ |
. |
||||||||||||||||||||||
C 2 |
2! 6! |
2! 2! |
12! |
66 |
66 |
33 |
||||||||||||||||||||
12 |
||||||||||||||||||||||||||
Задача 16. В первом ящике находится 5 белых и 3 черных шара, а во втором – 3 белых и 5 черных. Из первого ящика перекладывают во второй наугад два шара, а затем берут из второго один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется черным.
Решение.
Переложить из второго ящика можно: 2 белых шара (гипотеза H1); 1 белый и 1черный шар (гипотеза H2); 2 черных шара (гипотеза H3).
Вероятность гипотезы H1 равна
P(H1 ) = |
C 2 |
= |
3! |
2! 6! |
= |
6 |
= |
3 |
. |
|||||
3 |
||||||||||||||
C82 |
2! 1! |
8! |
8 7 |
28 |
||||||||||
Вероятность гипотезы H3 равна |
||||||||||||||
P(H1 ) = |
C 2 |
= |
5! |
2! 6! |
= |
5 4 |
= |
10 |
. |
|||||
5 |
||||||||||||||
C82 |
2! 3! |
8! |
8 |
7 |
28 |
|||||||||
Отсюда вероятность гипотезы H2 равна
P(H 2 ) =1 − 283 − 1028 = 1528 .
Обозначим искомое событие A – «выбран черный шар». Определим по классической формуле условные вероятности:
P(A / H1 ) = 56 ; P(A / H 2 ) = 64 ; P(A / H3 ) = 63 .
Отсюда по формуле полной вероятности
3 |
3 |
5 |
10 |
4 |
15 |
3 |
15 + 40 + 45 |
100 |
|||||||||||
P(A) = ∑P(Hi )P( A / Hi ) = |
+ |
+ |
= |
= |
. |
||||||||||||||
28 |
6 |
28 |
6 |
28 |
6 |
28 6 |
168 |
||||||||||||
i=1 |
|||||||||||||||||||
Задача 17. Бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало четное число очков, если известно, что число выпавших очков меньше пяти?
Решение.
Рассмотрим возможные исходы. Выпасть может 1, 2, 3 или 4, т.е. всего четыре исхода. Благоприятных исходов всего два (выпадет 2 или 4). Отсюда по классической формуле вероятность искомого события равна
P( A) = mn = 24 = 12 .
Задача 19. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех группах. В первой группе из 30 студентов 8 выполнили работу на «отлично», во второй, где 28 студентов, – 6 «отличных» работ, в третьей, где 27 студентов, – 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая выбранная наудачу работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется «отличной».
Решение.
Имеем три гипотезы: H1 – выбрана работа из 1-й группы, H2 – выбрана работа из 1-й
группы, H3 – выбрана работа из 1-й группы. Очевидно, что |
||||||||||||||||||||||||||||
P(H1 ) = P(H 2 ) = P(H3 ) = |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим искомое событие A – выбрана работа, выполненная на «отлично». Определим |
||||||||||||||||||||||||||||
по классической формуле условные вероятности: |
||||||||||||||||||||||||||||
P(A / H1 ) = |
8 |
; P(A / H 2 ) |
= |
6 |
; P(A / H3 ) = |
9 |
. |
|||||||||||||||||||||
27 |
||||||||||||||||||||||||||||
30 |
28 |
|||||||||||||||||||||||||||
Отсюда по формуле полной вероятности |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
8 |
1 |
6 |
1 |
9 |
1 |
8 28 27 + 6 30 27 +9 30 28 |
||||||||||||||||||||
P(A) = ∑P(Hi )P(A / Hi ) |
= |
+ |
+ |
= |
= |
|||||||||||||||||||||||
30 |
3 |
28 |
30 28 27 |
|||||||||||||||||||||||||
i=1 |
3 |
3 |
27 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
19 |
≈ 0,271. |
|||||||||||||||||||||||||||
70 |
||||||||||||||||||||||||||||
Задача 20. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы одинаковы и равны 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент ответит: а) на все вопросы; б) по крайней мере, на два вопроса.
Решение.
а) Очевидно, что события A1, A2, A3 – ответы на 1-й, 2-й и 3-й вопросы не зависимы. Поэтому вероятность искомого события равна
P( A) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) = 0,9 0,9 0,8 = 0,648 .
б) Искомая вероятность равна
P(B) = P(B2 + B3 ) =[события B2 (студент ответит ровно на два вопроса) и B3 (студент ответит ровно на три вопроса) несовместны] = P(B2 ) + P(B3 ) .
P(B2 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =
=P(A1 )P(A2 )P(A3 ) + P( A1 )P(A2 )P( A3 ) + P(A1 )P( A2 )P( A3 ) =
=0,9 0,9 0,2 + 0,9 0,1 0,8 + 0,1 0,9 0,8 = 0,162 + 0,072 + 0,072 = 0,306 .
P(B3 ) = P( A) = 0,648 .
Отсюда
P(B) = P(B2 ) + P(B3 ) = 0,306 + 0,648 = 0,954 .
Задача 21. В правом и левом карманах имеются по три монетки в 10 коп и по четыре монетки в 5 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладывается 5 монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты достоинством в 10 коп.
Решение.
Вправом кармане после перекладывания в левый пяти монет могут остаться:
-две монеты в 10 коп, что соответствует случаю (гипотезе) H1 наличия в левом кармане четырех монет в 10 коп и восьми монет в 5 коп;
-по одной монете в 10 и 5 коп, что соответствует случаю (гипотезе) H2 наличия в левом кармане пяти монет в 10 коп и семи монет в 5 коп;
-две монеты в 5 коп, что соответствует случаю (гипотезе) H3 наличия в левом кармане шести монет в 10 коп и шести монет в 5 коп.
Пусть A – искомое событие (после перекладывания из левого кармана извлечена монета
достоинством в 10 коп).
Определим вероятности гипотез:
P(H1 ) = |
C1C 4 |
= |
3! 5! 2! |
= |
1 |
, |
|||||||||
3 4 |
|||||||||||||||
C75 |
2! 7! |
7 |
|||||||||||||
P(H 2 ) = |
C 2C 3 |
= |
3! 4! 5! 2! |
= |
4 |
, |
|||||||||
3 4 |
|||||||||||||||
C75 |
2! 3! 7! |
7 |
|||||||||||||
P(H3 ) = |
C3C 2 |
= |
4! 5! 2! |
= |
2 |
. |
|||||||||
3 4 |
|||||||||||||||
C75 |
2! 2! 7! |
7 |
|||||||||||||
Определим далее условные вероятности: