Файл: Тер.вер(решение задач).pdf

Задача 22. В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей установлено, что брак составляет в среднем 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было равно 60 шт.?

Решение.

Известно, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является

-единственное число k0 = [np + p], если число np + p не целое;

-два числа k0 = np + p и k0 = np + p − 1, если число np + p целое.

Согласно условию задачи k0 = 60 , p = 5% = 0,05 . Отсюда

np + p = (n +1) p = n20+1 = 60 ,

следовательно, изготовленных деталей нужно взять n = 60 20 −1 =1199 .

Задача 23. У фотолюбителя в коробке находится 5 одинаковых кассет с фотопленками, из которых 3 пленки уже отсняты, а две – чистые. Будучи не в состоянии установить, какие из них отсняты, он решает отобрать наугад две пленки, а остальные проявить. Какова вероятность того, что в отобранных пленках окажутся чистыми: а) обе пленки; б) хотя бы одна пленка?

Решение.

а) Вероятность искомого события равна:

P( A) = mn ,

где m – благоприятное число исходов, n – общее число исходов.

В данном случае имеем выборку неупорядоченную без повторений. Поэтому: m = C22 =1; n = C52 = 2!5!3! =10 .

Отсюда вероятность того, что обе отобранные пленки окажутся чистыми, равна:

Отсюда вероятность того, что из отобранных двух пленок окажется чистой хотя бы одна пленка, равна:

P(B) =1 − P(B) =1 − 0,3 = 0,4 .

Задача 24. Укупорка банок томатного сока производится двумя автоматами, продукция которых поступает на общий конвейер. Производительность второго автомата в 1,5 раза выше производительности первого. Доля банок с дефектами упаковки в среднем составляет 0,5% – у первого и 0,02% – у второго автомата. Какова вероятность того, что взятая наугад банка сока будет иметь дефекты упаковки?

Решение.

Обозначим искомое событие A – «взятая наугад банка сока будет иметь дефекты упаковки». Вероятность этого события по формуле полной вероятности равна:

i=1

где Hi – гипотезы, означающие: H1 – укупорка банки томатного сока произведена первым автоматом; H2 – укупорка банки томатного сока произведена вторым автоматом;

P( A \ Hi ) − условные вероятности события A при выполнении указанных гипотез.

Подставив равенство (3) в уравнение (2), получим 2,5P(H1 ) =1 , откуда получим

P(H1 ) = 21,5 = 0,4 .

Отсюда определим вероятность второй гипотезы

P(H 2 ) =1 − P(H1 ) =1 − 0,4 = 0,6 .

Подставив найденные вероятности в формулу (1), получим:

P( A) = 0,4 0,005 + 0,6 0,0002 = 0,00212 , или 0,212%.

Задача 25. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся белыми?

Решение.

Вероятность искомого события равна:

P( A) = mn ,

где m – благоприятное число исходов, n – общее число исходов.

В данном случае имеем выборку неупорядоченную без повторений. Поэтому: m = C32 = 23!!1! = 3 ;

n = C102 = 210! 8!! = 102 9 = 45 .

Отсюда вероятность того, что обе отобранные пленки окажутся чистыми, равна:

P(A) = mn = 453 = 151 .

Задача 26. Студент знает 25 вопросов из 35. Ему наудачу задали три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса? Задачу решить двумя способами – с помощью классического определения вероятности и с помощью алгебры событий.

Решение.

1) Решение с помощью классического определения вероятности. Вероятность искомого события равна:

P( A) = mn ,

где m – благоприятное число исходов, n – общее число исходов.

В данном случае имеем выборку неупорядоченную без повторений. Поэтому:

2) Решение с помощью алгебры событий.

Искомое событие A произойдет, если студент ответит правильно на первый вопрос, затем ответит правильно на второй вопрос и затем ответит правильно на третий вопрос. Отсюда

A = A1 A2 A3 ,

где Ai – событие «студент ответил правильно на i-й вопрос», i = 1, 2, 3.

Задача 27. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Решение.

В данном случае событие A (турист через час он вышел из леса) произошло. Поэтому используем формулу Байеса. Искомая вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса, равна

где Hi – гипотеза «турист пойдет по i-й дороге, i = 1, 2, 3, 4, 5. Очевидно, что все пять гипотез равновероятны, т.е.

P(H1 ) = P(H 2 ) = P(H3 ) = P(H 4 ) = P(H5 ) = 15 .

Значения условных вероятностей даны в условии задачи:

P(A / H1 ) = 0,6; P( A / H 2 ) = 0,3; P( A / H3 ) = 0,2; P(A / H 4 ) = P(A / H5 ) = 0,1.

Отсюда имеем:

Задача 28. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода из строя каждого холодильника в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует: 1) 4 холодильника; 2) не менее 2 холодильников; 3) не более 1 холодильника; 4) не менее 1 холодильника.

Решение.

Поскольку все холодильники имеют одинаковую вероятность выхода из строя в течение года p = 0,2 , то используем схему Бернулли.

1)Вероятность того, что в течение года ремонта потребуют 4 холодильника, равна

P5 (m = 4) = C54 p4 (1 − p) = 5 0,24 0,8 = 0,0064 .

2)Вероятность того, что в течение года ремонта потребуют не менее 2 холодильников,

равна

P5 (m ≥ 2) =1 − P5 (m < 2) =1 − P5 (m = 0) − P5 (m =1) = .

=1 −C50 p0 (1 − p)5 −C51 p1 (1 − p)4 =1 −1 0,20 0,85 −5 0,21 0,84 = 10000026272 = 0,2627 .

3)Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не более 1 холодильника, равна

P5 (m ≤1) =1 − P5 (m ≥ 2) =1 −0,2627 = 0,7373 .

4)Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не менее 1 холодильника,

равна

P5 (m ≥1) =1 − P5 (m <1) =1 − P5 (m = 0) =

=1 −C50 p0 (1 − p)5 =1 −1 0,20 0,85 = 10000067232 = 0,6723 .

Задача 29. Из шести букв М, А, Ш, И, Н, А выбираются одна за другой и приставляются друг к другу в порядке выбора четыре буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово: а) «ШИНА»; б) «МАША».

Решение.