ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.10.2025
Просмотров: 687
Скачиваний: 0
9
2.Свойства преобразования Лапласа
1. Линейность изображения (теорема сложения).
Если f i(p) + fi(t) , Re p > ai , i = 1,2,...,n , то
|
n |
|
n |
|
|
(p) = å ci |
|
i(p) + å ci fi(t), |
Re p > max ai, (6) |
f |
f |
|||
|
i=1 |
|
i=1 |
1≤i≤n |
где Ci — заданные постоянные числа (действительные или комплексные), ai — показатель степени роста функции fi(t) .
Доказательство. Действительно, так как существуют изображения функций fi(t) , то на основании известных свойств сходящихся несобственных интегралов с бесконечными пределами имеем:
∞
Z
f (p) = e−pt
0
!
n
å ci fi(t)
i=1
n |
∞ |
|||
Z |
||||
i=1 |
||||
dt = å ci |
e−pt fi(t)dt = |
|||
|
0 |
|
|
|
|
n |
|||
|
= å ci |
|
i(p), |
|
|
f |
|||
|
i=1 |
|||
что и доказывает сформулированное свойство.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Теорема подобия. Если f (t) + f (p) , Re p > a , тогда |
|
||||||||||
f (λt) + |
1 |
|
|
|
p |
, |
λ > 0, Re p > a. |
(7) |
|||
|
f |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
λ |
λ |
||||||||||
Доказательство. Действительно, имеем
www.mitht.ru/e-library
10
∞ |
|
1 |
∞ |
|
|
Z |
e−pt f (λt)dt = |
Z |
p |
(λt) f (λt)d(λt) = |
|
|
e−λ |
||||
λ |
0 |
0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Z |
p |
τ f (τ)dτ = |
1 |
|
|
|
|
= |
|
e−λ |
|
|
|
f |
||
|
λ |
λ |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3. Теорема запаздывания. Пусть f (p) + f (t) , Re p > a
на функция |
( f |
,(t |
|
|
< τ. |
|
|
|
fτ(t) = |
|
τ), t |
τ |
> |
0; |
|||
|
0 |
|
t |
τ, |
|
|||
|
|
|
− |
|
≥ |
|
|
|
Тогда
fτ(t) + f τ(p) = e−pτ f (p).
p
λ.
изада-
(8)
Доказательство. Имеем
|
∞ |
∞ |
|
τ(p) = Z e−pt fτ(t)dt = Z e−pt f (t −τ)dt. |
|
f |
||
0 |
τ |
|
Сделаем в последнем интеграле замену переменной, положив t −τ = ξ . Тогда
∞ ∞
Z Z
f τ(p) = e−p(ξ+τ) f (ξ)dξ = e−pτ e−pξ f (ξ)dξe−pτ f (p),
0 0
что и требовалось доказать.
4.Изображение производной. Если функция f 0(t) удовлетворяет условиям существования изображения и f (t) + f (p) , Re p > a , то
f 0(t) + p |
|
(p) − f (0), Re p > a. |
(9) |
f |
www.mitht.ru/e-library
11
Доказательство. Действительно, интегрируя по частям, получим
∞ |
|
|
∞ |
∞ |
|
|
||
f 0(t) + Z e−pt f |
|
|
|
|
|
|
|
|
0(t)dt = f (t)e−pt |
|
0 + p Z e−pt f (t)dt = |
||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p |
|
(p) |
|
f (0), |
|
|
|
f |
− |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и доказывает данное свойство.
5. Если функция f (n)(t) удовлетворяет условиям существования изображения и f (t) + f (p) , Re p > a , то
f (n) + pn f (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f 0(0) −...− f (n−1)(0). (10)
Формула (10) доказывается так же, как и (9), путем n - кратного по частям в интеграле
∞
Z
e−pt f (n)(t)dt.
0
Доказательство (10) мы предоставляем читателю.
6. Изображение интеграла. Пусть f (t) + f (p) , Re p > a . Тогда
ϕ(t) = Z |
t |
|
||||
1 |
|
|
|
|
||
f (τ)dτ + |
|
|
f (p), Re p > a. |
(11) |
||
p |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Легко видеть, что функция ϕ(t) , удовлетворяет условиям (1) и (2) существования изображения. Покажем, что ϕ(t) имеет тот же показатель степени роста, что и f (t) . Имеем
www.mitht.ru/e-library
12
|
ϕ(t) = |
|
|
≤ Zt |
|f (τ)| ≤ M Zt |
eaτdτ = |
|
Zt |
f (τ)dτ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
M0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
eat |
|
1 |
|
M |
eat |
|
|
ϕ(t) |
|
M |
eat , |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
− |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
≤ a |
|
≤ a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть показатель степени роста ϕ(t) равен показателю степени роста f (t) . Вычисляя теперь изображение функции ϕ(t) по формуле (1), получим
∞ t |
|
ZZ
ϕ(t) |
+ |
|
e−pt |
f (τ)dτ |
|
dt. |
|
0 |
0 |
|
|
Изменяя в интеграле порядок интегрирования имеем далее
∞ |
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
ϕ(t) + Z |
f (τ)dτ Z e−pt dt = |
1 |
Z e−pτ f (τ)dτ = |
1 |
|
|
|
|
f (p), |
||||||
|
|
|
|||||
p |
p |
||||||
0 |
τ |
0 |
|
|
|
|
|
что и доказывает справедливость (11).
7. Изображение свертки (теорема Бореля). Сверткой функции f1(t) и f2(t) (иногда обозначается f1(t) f2(t) ) называется функция ϕ(t) , определенная соотношением
t |
f1(τ) f2(t −τ)dτ = Z |
t |
|
ϕ(t) = Z |
f1(t −τ) f2(τ)dτ. |
(12) |
|
0 |
0 |
|
|
В справедливости последнего равенства легко убедиться, сделав в первом интеграле замену переменной интегрирования t −τ = ξ .
www.mitht.ru/e-library