ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.10.2025
Просмотров: 693
Скачиваний: 0
13
Для функции ϕ(t) , определенной (12), справедливо следующее свойство:
Если f1(t) + f 1(p) , Re p > a1 ; f2(t) + f 2(p) , Re p > a2 ;то
ϕ(t) = Z |
t |
||||
f1(τ) f2(t −τ)dτ + |
|
1(p) |
|
2(p), Re p > max{a1,a2}. |
|
f |
f |
||||
0 |
(13) |
||||
|
|||||
Доказательство. Покажем, что свертка функций f1(t) и f2(t) с ограниченной степенью роста также является функцией с ограниченной степенью роста. Действительно,
|
t |
f1(τ) f2(t |
|
τ)dτ |
≤ Z |
t |
f1(τ) f2(t |
|
τ) dτ = |
|
|
|
|||||
Z |
|
− |
|
| |
|
|
− |
|
| |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
a1τ |
a2 |
(t τ) |
dτ = |
|
|
|
= Z | f1(τ)|| f2(t −τ)|dτ ≤ M1M2 Z |
e |
|
− |
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M M2 |
|
|
|
|
|
2M1M2 |
||||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
ea1t −ea2t ≤ |
|
eat , |
|||||||
|
|
|
|
|
a1 |
−a2 |
|a1 −a2| |
||||||||||
где a = max{a1,a2}.
Легко видеть, что ϕ(t) удовлетворяет и остальным условиям существования изображения. Для вычисления изображения свертки воспользуемся формулой (1) и изменим порядок интегрирования:
∞t
ZZ
ϕ(t) + e−pt dt f1(τ) f2(t −τ)dτ =
0 0
∞ |
∞ |
= Z |
f1(τ)dτ Z e−pt f2(t −τ)dt. |
0 |
τ |
www.mitht.ru/e-library
14
Сделав замену переменных t −τ = ξ во внутреннем интервале, окончательно получим
t |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
ϕ(t) = Z |
f1(τ) f2(t −τ)dτ + Z |
f1(τ)dτ Z |
f2(ξ)dξ = |
||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1(p) |
|
2(p). |
|
|
|
f |
f |
|||
8.Дифференцирование изображения. Пусть f (p) + f (t) и выполняется условие Re p > a . Тогда
|
0(p) |
t f (t), Re p > a. |
(14) |
f |
|||
|
|
+ − |
|
Не останавливаясь на строгом обосновании (14), которое можно найти в [7], продифференцируем формально (1) по параметру p . В результате получим
∞
Z
f 0(p) = − e−pt t f (t)dt + −t f (t).
0
Так как умножение функции f (t) на любую степенную функцию tn , n N не меняет ее степени роста, то справедливо также следующее свойство, вытекающее из свойства 8.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Если f (p) + f (t) , Re p > a , то |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(n)(p) + (−1)ntn f (t). |
|
|
(15) |
|
|
|
|
f |
|
|
||
10. |
Интегрирование изображения. Если функция |
f (t) |
удо- |
|||||
t |
|
|||||||
влетворяет условиям существования изображения, причем
www.mitht.ru/e-library
15
f (t) + f (p) , Re p > a , то
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
f (t) |
+ Z |
e−pt |
f (t) |
dt = Z |
|
|
|
|||
f (q)dq. |
(16) |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
t |
t |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
Доказательство этого свойства можно найти в [7].
11.Теорема смещения. Если f (t) + f (p) , Re p > a , то для любого комплексного числа λ справедливо равенство
|
(p + λ) + e−λt f (t), Re p > a −Re λ. |
(17) |
f |
Доказательство. Действительно, функция ϕ(t) = e−λt f (t) , очевидно, удовлетворяет условиям существования изображения, которое по формуле (1) определено в области
Re p > a −Re λ и
∞
Z
e−λt f (t) + e−pt e−λt f (t)dt =
0
∞
Z
= e−(p+λ)t f (t)dt = f (p + λ), Re(p + λ) > a,
0
что и доказывает теорему смещения.
В конце данной разработки приведены таблица свойств изображений (табл. 1) и таблица изображений ряда элементарных функций (табл. 2), а также функций, наиболее часто встречающихся при решении краевых задач для уравнений теплопроводности и диффузии.
Решение исходной краевой задачи в пространстве изображений позволяет получить изображение ее решения. Для того,
www.mitht.ru/e-library
16
чтобы найти окончательно решение краевой задачи, необходимо уметь находить оригинал по данному изображению. В настоящее время имеются обширные таблицы изображений и оригиналов преобразования Лапласа и не менее часто используемого преобразования Лапласа-Карсона (5), например [8], что позволяет сравнительно легко получить решение поставленной задачи. В том случае, когда для полученного изображения в таблице нет соответствующего ему оригинала, необходимо воспользоваться формулой обращения преобразования Лапласа. Перейдем к рассмотрению этой формулы.
www.mitht.ru/e-library
17
3.Формула обращения
Прежде чем перейти к формуле обращения, рассмотрим функцию f (x) , определенную на всей числовой оси x , предполагая. что она может быть разложена в ряд Фурье на любом интервале (−l,l) и
что несобственный интеграл от абсолютной величины этой функ-
∞
ции |
|
|
R |
f (t) dt сходится. |
|
|
|
|
−∞
Рассмотрим сначала эту функцию на интервале (−l,l) . На основании сделанного предположения ее можно разложить на этом интервале в ряд Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ å an cos wnx + bn sin wnx, |
|||
|
|
f (x) = |
|
0 |
|||||||
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
где wn = |
πn |
, и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
l |
|
|
|
|||||
|
Z |
|
|
|
|
||||||
|
|
an = |
|
|
|
|
f (x) cos wnxdx, |
n = 0, 1, 2,... |
|||
|
|
|
l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
−l |
l |
|
|
|
||
1 |
Z |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
bn = |
|
|
|
f (x) sin wnxdx, |
n = 0, 1, 2,... |
||||
|
|
l |
|
|
|||||||
−l
Воспользуемся формулами Эйлера:
cos wnx = eiwnx + e−iwnx ,
2
sin wnx = eiwnx −e−iwnx .
2i
Тогда (18) можно представить в виде:
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
www.mitht.ru/e-library