Файл: 529.pdf

6 Дайте определение точечному, пробному, связанному,

свободному зарядам.

электростатического поля?

1ОПеречислите 4 основных свойства вектора напряженности. 11 Что такое силовые линии? Могут ли силовые линии

пересекаться?

12 Что такое поверхностная (объемная и линейная) плотность

связанных зарядов?

заряженной плоскости.

16 С помощью теоремы Гаусса получить значение вектора

напряженности поля для равномерно заряженного по объему

шара(внутри и снаружи).

17 С помощью теоремы Гаусса получить значение вектора

напряженности поля для равномерно заряженного по

поверхности полого шара(внутри и снаружи).

18 Является ли электростатическое поле потенциальным?

19 Как зависит работа по перемещению электрического заряда

в электростатическом поле от формы пуТи, по которому это

перемещение происходит?

20 Что такое потенциал?

21 Чему равен потенциал поля заряженной плоскости,

точечного заряда, заряженной нити и шара?

22 Что такое эквипотенциальная поверхность? Как

направлены силовые линии по отношению к этим

поверхностям?

23 Как напряженность и потенциал связаны между собой?

16

www.mitht.ru/e-library

24 Физический смысл градиента?

25 Что такое дивергенция?

26 Каков физический смысл ротора?

27 Найти напряженность поля Е, если <p=const'r, где r -

расстояние

28 Нарисовать силовые линии и эквипотенциальные

поверхности поля заряженной плоскости и заряженного шара.

29 Как выглядит график зависимости E(r), <p(r) для шара и

плоскости?

30 Определить поток вектора Е бесконечной заряженной плоскости: а) через поверхность круга радиуса R, вектор нормали которого образует с направлением вектора Е угол а, б) через поверхность полусферы радиуса R.

Библиографический список:

1.Савельев И.В. Курс физики. Т.2. М., Из-во «Лань», 2006,

гл.l, стр. 9 -42.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. М., Физматлит, 2005,

1'.3.

3.Калашников С.Г. «Электричество», М., Наука, 2004, стр.13

-77.

17

www.mitht.ru/e-library

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Применения теоремы Остроградского - Гаусса. Так как

всякий заряд можно представить как сумму бесконечно большого

числа бесконечно малых зарядов, которые можно считать

точечными, то теорема Остроградского - Гаусса справедлива по отношению к зарядам любой формы и размера. На этом основана

плодотворность ее применения.

Прежде чем рассмотреть применения теоремы Остроградского - Гаусса, введем понятие об объемной и поверхностной плотностях

зарядов.

Во многих задачах заряды оказываются распределенными в некотором объеме; в таких задачах существенно ввести в

рассмотрение объемную плотность распределения зарядов. Пусть

в некотором объеме !1V имеется заряд !1q. Тогда под средней

объемной WlOтностью заряда будем подразумевать физическую

величину, определяемую ОТ!lошением

I1V

Плотность р в данной точке определим как предел, к которому

стремится это отношение при стягивании объема !1V к нулю:

В некоторых случаях заряды располагаются по поверхности

тел, причем толщина слоя зарядов настолько мала, что ею можно

пренебречь. В таких случаях мы вводим понятие о nоверхност1l0Й

плотности зарядов.

18

www.mitht.ru/e-library

плотности зарядов. Пусть на некоторую поверхность ~S

приходится заряд ~q, тогда средняя поверхностная плотность

заряда а определится отношением:

.- tJ.q

Поверхностная плотность cr в данной точке будет равна пределу, к

которому стремится это отношение при стягивании поверхности

~S к нулю:

Определим теперь с помощью теоремы Остроградского - Гаусса

напряженность поля для ряда случаев.

1. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. Рассмотрим электростатическое поле создаваемое

бесконечной плоскостью, заряженной с плотностью +а,

постоянной во всех точках плоскости. По соображениям

симметрии можно считать, что линии напряженности

перпендикулярны к плоскости и направлены от нее. Чтобы в этом

убедиться, будем рассуждать от противного; предположим, что

-линии напряженности направлены под некоторым углом к

перпендикуляру к плоскости. Если бы линии напряженности были

направлены так, как это изображено на рис. 26 пунктиром, то это означало бы, что от верхней полуплоскости положительный заряд

отталкивается сильней, чем от нижней, что находится в

противоречии с НШllим предположением о бесконечности

плоскости и о постоянстве поверхностной плотности заряда на ней. Таким же рассуждением можно показать, что линии

напряженности не могут иметь никакого другого направления,

кроме нормального к поверхности.

19

www.mitht.ru/e-library

Рис. 1.

ЛИНИИ напряженности поля бесконечной плоскости.

Рассмотрим точку А, лежащую справа от плоскости. Напряженность в этой точке направлена вправо; это следует из

того, что она равна силе, действующей на единичный положительный заряд, который отталкивается от положительно

заряженной плоскости. Если мы возьмем точку В, расположенную симметрично с точкой А влево от плоскости, то повторением приведенных рассуждений убедимся, что в ней напряженность Е

направлена в противоположную сторону по сравнению с

направлением напряженности в точке А. Следовательно, линии напряженности будут прямыми, выходящими из плоскости и

перпе~;1:кней

Рис. 2.

к подсчету напряженности поля

оесконечной плоскости.

Определим величину напряженности в точке А, применяя теорему Остроградского - Гаусса. В качестве замкнутой поверхности

выберем цилиндрическую поверхность (рис. 27), построенную

следующим образом: берем произвольный участок S заряженной плоскости за среднее сечение цилиндра; боковую поверхность

цилиндра проводим параллельно линиям напряженности Оба основания цилиндра Sl и S2 проводим соответственно через точки

20

www.mitht.ru/e-library

А и В, параллельно плоскости. Тогда по соображения симметрии

можно считать, что напряженности постоянны во всех точках

каждого из оснований SI и S2 по численному значению равны друг

другу и равны искомой напряженности Е в точке А. Рассчитаем

поток напряженности через рассматриваемую цилиндрическую

поверхность. Поток через боковую поверхность равен нулю, так

как линии напряженности параллельны боковой поверхности.

Следовательно, полный поток N складывается из потоков N1 И N2

через основания цилиндра SI и S2. Оба эти потока положительны.

Так как поверхности SI и S2 перпендикулярны к линиям

напряженности, то потоки через них получаются умножением

величины напряженности на площадь основания. Таким образом

имеем:

N=N1+N2=E'SI+E'S2=2 ЕВ.

По теореме Остроградского - Гаусса полный поток должен равняться произведению 1/ео на заряд, заключенный внутри

поверхности. Следовательно,

2 ЕВ = cr S / ео

откуда искомая напряженность Е получается равной

Значение Е не зависит от расстояния точки А от плоскости То же относится и к точке В. Таким образом, мы получаем справа и слева

от UЛОСКОСТИ однородные поля. Если плоскость заряжена

отрицательно, то направление напряженности противоположно

-разобранному: линии будут входить в плоскость. Полученный результат только для бесконечной плоскости, так как только в таком случае могут быть использованы приведенные соображения

симметрии, однако приближенно он справедлив для пространства,

прилегающего к средней части Конечной плоскости, вдали от ее

краев.

21

www.mitht.ru/e-library

2. Поле двух бесконечных параллельных плоскостей,

+

Рис. 3.

Линии напряженности поля

двух параллельных плоскостей,

заряженных разноименными

зарядами с плотностями

+о" И -<J.

Решение можно получить непосредственно геометрическим

сложением полей двух плоскостей, заряженных разноименно. Из

рис. 3 видно, что напряженности полей обеих плоскостей между

плоскостями направлены в одну сторону следовательно, их

геометрическая сумма является их арифметической суммой.

Напряженность поля каждой плоскости, согласно предыдущему равна cr/2f,o, следовательно, полная напряженность между

Напряженности, создаваемые обеими плоскостями правее правой

левее левой плоскостей, направлены в противоположные стороны.

Следовательно, их геометрическая сумма равна разности их

численных значений; так как численное значение напряженности,

создаваемой каждой плоскостью, равно 21tcr, то результирующая

напряженность для точек вне плоскости равна нулю

Е=О. (4а)

3.Напряженность поля, создаваемоrо равномерно заряженной сферической поверхностью. Предположим, что сферическая

поверхность радиуса R заряжена положительным электричеством

и что поверхностная плотность заряда +о" постоянна во всех точках

поверхности. Общий заряд сферической поверхности обозначим через q. Задачу разобьем на две части: а) определение напряженности электростатического поля вне сферической поверхности, б) определение напряженности внутри сферической

поверхности.

22

www.mitht.ru/e-library

Рис. 4.

К определенЕПО напряженности

поля заряженной сферы.

Возьмем точку А, отстоящую от центра заряженной сферической

поверхности на расстоянииr r>R (рис. 29). Проведем через нее

мысленно сферическую поверхность S радиуса r с центром в

центре заряженной сферы. По соображениям симметрии ясно, что

напряженность будет численно равна во всех точках этой

поверхности. Также по соображениям симметрии ясно, что в каждой точке вектор напряженности должен быть направлен по

перпендикулярна к линиям напряженности, то полный поток через

нее получим, умножив напряженность Е на величину поверхности,

откуда полный поток равен Ео 4mJ.

По теореме Остроградского-- Гаусса имеем

Е ~'4Jff'2= ,. 4/Sо

т. е. напряженность, создаваемая равномерно заряженной

сферической поверхностью, вне нее такая же, как если бы весь

заряд нахQдuлся в ее центре.

Перейдем к точкам, лежащим внутри сферической поверхности.

Возьмем точку В (рис. 29), отстоящую от центра сферы на расстоянии r<R И проведем через эту точку сферическую поверхность S' с центром в центре заряженной сферы. Очевидно,

23

www.mitht.ru/e-library

что напряженности во всех точках этой поверхности будет

численно одинакова.

Так же, как и выше, по соображениям симметрии ясно, что напряженность (если она отлична от нуля) может иметь только

радиальное направление и, следовательно, перпендикулярна к

сферической поверхности S'. Применяя теорему Остроградского

- Гаусса к сферической поверхности S',получим

Е/'fш,2= О,

так как внутри поверхности S'заряд равен нулю; отсюда:

Следовательно, напряженность электростатического поля во

всех точках внутри равномерно заряженной сферической

поверхности равна нулю.

Можно показать (ер. § 132), что формулы (5) и (6) остаются справедливыми и для заряженного проводящего шара с зарядом q.

4. Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной

сферой. Возьмем сферу радиуса R, общий положительный заряд q которой распределен по объему сферы с постоянной плотностью

р- q - q

- v - 43 тcR3

Напряженность поля в произвольной точке А (рис. 29), находящейся вне заряженной сферы и отстоящей от центра сферы

на расстоянии r>R, очевидно, дается тем же выражением, что и напряженность от заряженной сферической поверхности:

q

Е=-- r 2

и направлена так же по продолжению радиуса, так как

соображения симметрии и расчет будут здесь те же. Таким

образом, равномерно заряженная сфера в точках вне ее создает

www.mitht.ru/e24-library