Задача 1

Рассмотреть систему двух уравнений

,,

и соответствующую ей возмущенную систему

,,.

Выписать решения этих систем, подсчитать погрешность возмущения правой части и соответствующую ей погрешность возмущения решения. Найти число обусловленности матрицы, составить с его помощью теоретическую оценку погрешности и сравнить результат с результатом, полученным непосредственно по известным решениям систем.

В данном случае определитель матрицы отличен от нуля

,

т. е. обе системы невырожденные. Система отличается от системы возмущением правой части

,,,,.

Решения систем и имеют вид:

,,,,.

При этом

,.

Мы видим, что небольшое относительное возмущение правой части привело к сильному возмущению решения: относительная погрешность решения равна единице. Этот результат означает, что исходная система плохо обусловлена. Чтобы убедиться в этом, подсчитаем число обусловленности матрицы , напишем с его помощью теоретическую оценку и сравним ее с фактическим результатом .

---

Выпишем линейное преобразование отвечающее матрице системы

при этом

.

Наложим ограничение

,

тогда в силу

, .

Если положить ,, то задача сведется к отысканию максимума выражения

,

зависящего только от одной переменной .

Переходя к тригонометрическим функциям двойного угла

,,,

сведем подрадикальное выражение к виду:

Для комбинации

, ,

где

, , ,

максимальное значение равно

.

Следовательно

.

С приемлемой точностью это число равно : .

Аналогичным образом находится норма обратной матрицы

, .

---

Таким образом, в данном примере

.

В результате теоретическая оценка принимает вид:

Она согласуется с результатом , который мы получили, непосредственно решая системы и .

В процессе решения задачи мы убедились в том, что подсчет числа обусловленности является сложной задачей, особенно с учетом того, что нужно вычислять норму не только прямой, но и обратной матрицы. Поэтому желательно получить какие-нибудь конструктивные оценки этой важнейшей характеристики системы.

---

4. Оценка числа обусловленности.

Для числа обусловленности матрицы справедливо неравенство

,

где исоответственно минимальное и максимальное по модулю значения характеристических чисел матрицы. Соотношение корректно, поскольку в силу невырожденности матрицы.

В самом деле пусть - собственный вектор линейного преобразования, связанного с матрицей, отвечающий:

,

тогда

,

и, следовательно, поскольку

.

Аналогичным образом для собственного вектора _,связанного с, имеем

или

.

Отсюда следует оценка

.

Перемножая два последних неравенства, придем к утверждению .

Если матрица симметричная , то все её характеристические значения вещественны, причем

и,

---

поэтому для таких матриц

.

Из полученной оценки для следуют два важных вывода:

1) ;

2) Число обусловленности тем больше, чем больше разброс характеристических чисел матрицы. Поэтому с увеличением размера матрицы, вообще говоря, её обусловленность имеет тенденцию к ухудшению.

Возвращаясь к рассмотренной выше задаче, без труда находим: ,и, следовательно, справедлива оценка снизу

,

причем точность этой оценки невысока, но порядок она передает правильно.

В заключение данного параграфа еще раз отметим, что для систем уравнений с большой размерностью "хорошая" обусловленность () является скорее исключением, чем правилом и обычно приходится иметь дело с плохо обусловленными матрицами (), причем получение оценки числа обусловленности вызывает большие трудности.

3. Итерационные методы.

   1. Построение итерационных последовательностей.

Мы видели, что процедура решения СЛАУ

с плохо обусловленной матрицей может приводить к существенным отклонениям получаемого ответа от точного решения при незначительных возмущениях правой части. Однако появление таких возмущений неизбежно, например, при преобразовании вектора правых частей в методе Гаусса из-за ошибок округления при выполнении арифметических операций. Чем выше порядок матрицы, тем больше может оказаться результирующая погрешность.

Этого недостатка лишены итерационные методы решения СЛАУ. При их применении ответ получается в процессе построения последовательных приближений (итераций) , сходящихся к решению системы в пространствес евклидовой нормой

---

Смотрите также файлы

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc