Достаточность. Расположим для определенности все характеристические значения матрицы в порядке убывания:

.

Поскольку по условию леммы , то в ортонормированном базисе из собственных векторов преобразования с матрицейдля любогоимеем

, , .

Поэтому, очевидно, что .

Лемма 2.

Пусть , и- упорядоченный набор характеристических чисел этой матрицы, тогда

.

Доказательство предлагается провести самостоятельно.

Лемма 3.

Если , то всегда найдется постоянное число, такое что

,

Доказательство.

Если , то достаточно положить. В общем случае напомним, что согласно

,

где , поэтому согласно предыдущей лемме

,

где - минимальное характеристическое число матрицы. Полагая, что, приходим к требуемому неравенству .

---

---

3. Достаточные условия сходимости итерационного процесса.

В этом разделе мы рассмотрим стационарный итерационный процесс , когда матрица и итерационный параметрне зависят от индекса, и докажем следующую теорему о достаточных условиях его сходимости.

Теорема Самарского

Пусть - самосопряженная положительно определенная матрица:

, ,

- положительно определенная матрица, - положительное число:

, .

Тогда при любом выборе нулевого приближения итерационный процесс, который определяется рекуррентной формулой, сходится к решению исходной системы .

Прежде, чем переходить к доказательству теоремы, обсудим более подробно главное ее требование – положительную определенность матрицы . Это требование можно переписать в виде:

,,.

т. е. оно, в частности, предполагает, что матрица является положительно определенной. Кроме того, неравенство определяет интервал, в котором может изменяться параметр:

.

---

После этих замечаний перейдем к доказательству теоремы. Выразим из соотношения через:

и подставим в рекуррентную формулу для итерационной последовательности . В результате получим:

.

Отличие итерационной формулы от заключается в том, что она является однородной.

Матрица - положительно определенная. Следовательно она невырожденная и имеет обратную. С ее помощью рекуррентное соотношение можно разрешить относительно:

,

где

, так что.

Умножая обе части равенства слева на матрицу , получим еще одно рекуррентное соотношение

.

Рассмотрим последовательность положительных функционалов:

.

Составим аналогичное выражение для и преобразуем его с помощью рекуррентных формул и :

Из самосопряженности матрицы и формулы следует

В результате формула принимает вид:

Таким образом, последовательность функционалов с учетом условия образует монотонно невозрастающую последовательность, ограниченную снизу нулем

---

.

Поэтому она сходится. Далее, согласно лемме 3

,

где - строго положительная константа. В результате, согласно и будем иметь

Из этого неравенства и сходимости последовательности функционалов следует, чтопри. В свою очередь, так что

Теорема доказана.

4. Метод простой итерации.

Такое название получил метод, при котором в качестве матрицы выбирается единичная матрица:, а итерационный параметрпредполагается независящим от номера итерации. Иными словами, метод простой итерации – это явный стационарный метод, когда очередная итерациявычисляется по рекуррентной формуле

Будем считать, что матрица удовлетворяет условию теоремы Самарского,, тогда формула , определяющая границу интервала сходимости по итерационному параметру, принимает вид

.

Пусть - ортонормированный базис собственных векторов оператора, соответствующего матрице. В силу положительной определенности все его собственные значения положительны. Будем считать их занумерованными в порядке убывания:

---

Смотрите также файлы

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc