Формулы и выделяют в остаточных членах главные слагаемые и, которые при возрастаниистремятся к нулю как. Важно подчеркнуть, что коэффициентыиотне зависят. Дополнительные слагаемыеиявляются бесконечно малыми более высокого порядка. Если ими пренебречь по сравнению с главными слагаемыми, то получатся простые асимптотические представления остаточных членов

и.

Их относительная точность возрастает при увеличении .

Теперь получим другие представления остаточных членов. Из курса математического анализа известно следующее утверждение.

Лемма.

Пусть функция непрерывна на отрезкеи пусть-некоторые точки этого отрезка. Тогда на отрезке найдется такая точка, что

,.

Иными словами, среднее арифметическое значений непрерывной функции в нескольких точках отрезка , равно ее значению в одной из точек этого отрезка.

Применяя это утверждение к суммам и , получим другое представление остаточных членов и:

---

,,

,.

Формулы и не позволяют вычислить остаточные члены: существование точек ина отрезкегарантировано, но их положение неизвестно. Однако эти формулы можно использовать для оценки остаточных членов. Пусть известно число, которое является мажорантой для второй производной функции:

,,

тогда равенства и можно заменить неравенствами:

,

.

При заданной точности они позволяют определить число узлов, которое нужно использовать при вычислении интеграла по рассматриваемым квадратурным формулам.

В случае, когда вторая производная функции является знакоопределенной на отрезке, формулы и позволяют определить знаки остаточных членов. При этом существенно то, что они оказываются противоположными. Пусть, например,, в этом случае,так что для интеграла получается двухсторонняя оценка

.

При отрицательной второй производной сохраняется двухсторонняя оценка, но знаки неравенств меняются на противоположные. Такие оценки очень удобны, поскольку позволяют легко контролировать точность вычислений: в случаеидают значение интеграла с недостатком и избытком с ошибкой, не превышающей, в противоположном случаеименяются ролями.

---

Заканчивая обсуждение методов прямоугольников и трапеций, сделаем следующее замечание. Формулы , , оценки , показывают, что в случае дважды непрерывно дифференцируемой подынтегральной функции остаточные члены иубывают как. Однако, если отказаться от этого требования гладкости, то данные результаты теряют силу. В этом случае для интегрируемых функций можно гарантировать стремление остаточных членов к нулю, но нельзя утверждать, что оно происходит со скоростью.

Можно поставить прямо противоположный вопрос. Нельзя ли, повышая требование гладкости подынтегральной функции, увеличить скорость сходимости методов? Ответ на него отрицательный. Предположение о существовании у функции четырех или шести производных не может изменить формул и , так что скорость убывания остаточных членов при возрастанииостанется прежней -. Поэтому методы прямоугольников и трапеций называют методами второго порядка точности, добавляя при этом – для дважды непрерывно дифференцируемых функций.

Задача 1.

Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций при интеграл

.

В данном случае

,

.

Зная точный ответ , найдем погрешности

и.

Вторая производная функции на отрезкеотрицательна, ее модуль не превышает единицы:. Мы видим, что знаки погрешностиисогласуются с формулами и . Они противоположны, так что для интеграласправедлива двусторонняя оценка, аналогичная , но другого знака:

---

.

Величина погрешностей удовлетворяет неравенствам и :

,.

Перейдем к обсуждению остаточного члена в методе Симпсона, которое проведем при предположении о четырехкратной непрерывной дифференцируемости подынтегральной функции. Напомним, что в методе Симпсона число точеквыбирается четным, так чтоявляется целым числом.

Рассмотрим отрезок двойной длины , расположенный между точками разбиения с четными номерами,. В курсе математического анализа выводится формула:

,

где . Существование такой точки гарантировано, но ее точное положение на отрезке неизвестно.

Суммируя равенства по , получим квадратурную формулу со следующим выражением для остаточного члена:

.

Из формулы , аналогичной формулам , , можно вывести различные представления остаточного члена и изучить его свойства.

Рассмотрим сумму

.

Функция предполагается непрерывной и, следовательно, интегрируемой на отрезке. С учетом этого сумму можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла. Отсюда следует вывод

.

---

Предельное равенство позволяет записать остаточный член квадратурной формулы Симпсона в виде

,

,

, при.

Эта формула, как и формулы , для методов прямоугольников и трапеций, выделяет в остаточном члене главное слагаемое, которое стремится к нулю как. Коэффициентне зависит от. Дополнительное слагаемоеявляется бесконечно малой более высокого порядка. Если им пренебречь, то получится асимптотическое представление остаточного члена

.

Его относительная точность возрастает с увеличением .

Другое представление остаточного члена можно вывести с помощью формулы . Она позволяет записать формулу в виде

,

где - какая-то точка отрезка. Вычислить погрешность по формуле нельзя, поскольку положение точкинеизвестно, но можно ее оценить. Пусть, тогда

.

Данная оценка позволяет определить, с каким нужно проводить вычисления, чтобы погрешность не превышала заданной точности. Кроме того, если четвертая производная функцииявляется знакоопределенной, то формула дает знак погрешности, что также может оказаться полезным при организации вычислений.

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~3.doc

• BOOK_P~2.doc

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc