Файл: Matrici.doc

() третью строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем

Умножение матрицы на число

-при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на число

ПРИМЕР:

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице A, если - в результате умножения получается единичная матрица

!!! Обратная матрица существует, если исходная матрица невырожденная, т.е. . Обратную матрицу можно определить только для квадратных матриц.

Алгоритм поиска обратной матрицы для матрицы

Пусть

---

-Формула для поиска обратной матрицы, где

- определитель матрицы A

- алгебраические дополнения элементов матрицы A

Они ищутся следующим образом:

Как запомнить формулу для обратной матрицы:

т.е. в исходной матрице надо поменять местами элементы на главной диагонали, а у двух оставшихся элементов изменить знак на противоположный

Найдем матрицу обратную к матрице (алгоритм описан выше)

= > => обратная матрица существует

Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы

элементы на главной диаг. переставили местами,

У оставшихся элементов поменяли знаки

---

Матричные уравнения:

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из 5 уравнений ( - неизвестные, остальные коэффициенты – известные числа, цель найти неизвестные )

скалярная форма записи

Используя матрицу , матрицу-вектор B=

и матрицу-вектор ,

можем записать систему уравнений в матричной форме :

Или в сокращённой форме

Если обе части скалярного уравнения домножить на число (это число обратное к – их произведение равно 1) то имеем

Возникает вопрос : как решать матричное уравнение (будем использовать метод решения основанный на умножении на обратную матрицу - она является аналогом обратного числа в матричном случае, т.к. единичной матрице

- произведение двух матриц равно третьей; A, B – известные матрицы,

неизвестная матрица – её надо найти

Домножим обе части уравнения на (обратную матрицу к матрице A) слева

[!!! Это можно делать только в случае если существует (т.е. ) – аналогично со скалярным уравнением (см. выше)].

---

т.к.

т.к. ( => перемножив и B найдём решение X

Пример 1 (на метод обратной матрицы):

- матричное уравнение

Найдем матрицу обратную к матрице A (алгоритм описан выше)

(см. Алгоритм перемножения матриц)

распишем подробно, как производится умножение:

Проверка (надо подставить полученную матрицу и проверить, что действительно в результате умножения получается матрица B)

- убедиться самим, перемножив матрицы.

Пример 2 (на метод обратной матрицы):

Дано :

- система в скалярном виде. Найти решение системы методом обратной матрицы и сделать проверку, решив систему методом Крамера

Запишем систему в матричном виде:

, где - матрица системы, - столбец свободных коэффициентов,

---

- столбец неизвестных

- матрица обратима (т.е. обратная матрица существует)

-обратная матрица ищется по алгоритму описанному выше (проверить самим)

- формула для поиска решения методом обратной матрицы

- решение системы

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Задача 1.

Предприятие производит продукцию трёх видов и использует сырьё двух типов. Норма затрат сырья на единицу продукции каждого типа задана матрицей

-норма затрат сырья i-го типа (кол-во единиц) на единицу продукции j-го типа

Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей- строкой

- стоимость единицы сырья j-го типа

- получим матрицу-строку стоимости единицы продукции каждого типа.

Обозначим полученную матрицу буквой C

Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого типа, 200 единиц продукции второго типа и 150 единиц продукции третьего типа.

Введём матрицу-вектор

, который отражает необходимое количество продукции каждого типа

полные затраты рассчитаны

Задача 2.

---