Файл: Методичке_Миэм.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (0,86Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.01.2026

Просмотров: 969

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-38-

2.6. Треугольное распределение

Это распределение характеризует ограниченную область значений случайных величин (tн, tк), где tн и tк – границы области возможных значений случайных величин.

Рассмотрим для треугольного распределения ( -распределение):

1.Графики плотности распределения ω(t) и интенсивности отказов

λ(t) (рис. 2.7.а);

2.График функции надежности p(t) (рис. 2.7.б);

Рис. 2.7. Графики треугольного распределения:

а) плотности распределения ω(t) и интенсивности отказов λ(t); б) функции надежности p(t).

Обозначим значение плотности распределения в точке моды через

ω(t м) = h,

тогда

1 h(tк −tм ) =1.

В этом случае плотность распределения ω(t) можно записать в виде

следующих формул:

2(t −tн )

при tн ≤ t ≤ tм,

(tк −tн )(tм −tн )

ω(t) =

2(tк −t)

при

tм ≤ t ≤ tк .

(tк −tн )(tк −tм )

(2.20)

Функция надежности p(t) определяется как:

(t −tн )2

−

при

tн ≤ t ≤ tм,

(tк −tн )(tм −tн )

p(t) =

(tк

−t)

при

tм ≤ t ≤ tк .

(tк

−tн )(tк

−t

м )

(2.21)

Интенсивность отказов λ(t) при этом равна:

2(t −tн )

при tн ≤ t ≤ tм,

−t

)(t

−t

)

−(t −t

)

λ(t) =

при

tм ≤ t ≤ tк .

−t

(2.22)

tк

-39-

Во многих случаях при расчете надежности ТС удобно использовать в качестве параметров -распределения скорости изменения плотности распределения γ:

γ1 =

при

н ≤ t ≤ t

tм −tн

(tк −tн )(tм −tн )

при

≤ t ≤ t

tк −tм

(tк −tн )(t

к −tм )

(2.23)

Медиана tме

-распределения может быть найдена из уравнения:

p(tме ) = 1.

В результате решения этого уравнения получим:

tме = tк −

2(tк −tн )(tк −tм ).

(2.24)

Среднее время наработки на отказ Tср:

Tср = ∫к tω(t)dt = 1 (tн +tм +tк ).

tн

(2.25)

Перейдем

теперь

нормированному

-распределению.

Для этого

применим следующую подстановку:

J =

−tн

к −tн

При

t = tн Jм = 0,

при t = tк Jк

= 0.

Обозначим:

Jм =

−t

;

Jме =

ме

−t

; Tу

Tср −tн

tк −tн

После преобразований с учетом (2.24) и (2.25) получим:

Jме =1− 21 2(1−Jм ),

отсюда Tу = 31 (1+ Jм ).

Функция надежности в этом случае может быть вспомогательную функцию Φ (J) следующим образом:

(2.26)

выражена через

p(t) =1−Ф (J),							(2.27)
	J 2			при 0 ≤ J ≤ Jм,


	J	м
	Ф (J) =	м			(J −Jм )(2 −J −Jм )
			+		(J −Jм )(2 −J −Jм )	при	Jм ≤ J ≤1.
	Jм
где	Jм				1−Jм
где					1−Jм		(2.28)

Функция Φ (J) из выражения (2.28) – нормированная функция, в которой

J =	t	−tн	.
	t	к −tн

Значения функции Φ (J) определяется обычно по таблицам, приведенным в литературе по теории надежности. Для этого, задаваясь t, по

-40-

известным tн, tм, tк вычисляются J и Jм, а по ним определяются значения функции Φ (J) (рис. 2.8).

Рис. 2.6. Значение нормированной функции -распределения Φ (J).

2.7. Сумма (суперпозиция) распределений

При априорном анализе надежности ТС для получения теоретического распределения, близкого к экспериментальному, иногда применяют следующий прием.

Плотность распределения наработки до отказа считается равной сумме:

ω(t) = c1ω1(t) +c2ω2 (t),	(2.29)
где:
ω1(t) и ω2(t) – соответственно,	теоретические распределения

определенного вида,

c1 и c2 – коэффициенты веса, учитывающие влияние различных слагаемых, причем c1+c2=1.

Пример. Рассмотрим суперпозицию двух показательных распределений:

ω(t) = c1λ1e−λ1t +c2 λ2e−λ2t .

Функция надежности для этого случая имеет вид:

p(t) = c1e−λ1t +c2e−λ2t .

Интенсивность отказов на основании (1.8) равна:

	ω(t)		c λ e−λ1t +c	λ e−λ2t
λ(t) =		=	1 1	2 2	.
λ(t) =	p(t)	=	c1e−λ1t +c2e−λ2t		.
	p(t)		c1e−λ1t +c2e−λ2t

При малых t значения e–λ1t и e–λ2t близки к 1 и λ(t)≈с1λ1+с2λ2 (рис. 2.9).

При t→∞ члены, содержащие e–λ2t малы и λ(t)→λ1.

-41-

Рис. 2.9. График λ(t) для суммы двух показательных распределений при

λ2 > λ1.

Средняя наработка на отказ:

Tср = сλ1 + сλ2 .

1 2

2.8. Нормальное и усеченное нормальное распределения

Для «стареющих» элементов в качестве распределения интервала БР наряду с распределением Вейбулла при δ>1 используют нормальное распределение.

Плотность распределения наработки до отказа при нормальном распределении имеет вид (рис. 2.10):

	1				(t −T	)2
ω(t) =	1			−	ср
ω(t) =	2πσ	2	exp	−	2	.	(2.30)
	2πσ				2σT		(2.30)

Это распределение зависит от двух параметров: среднего значения Tср и и дисперсии σT2 времени безотказной работы.

Рис. 2.10. Плотность распределения наработки до отказа для нормального распределения.

-42-

Функция надежности в этом случае равна:

(τ−T

τ−T

∞

−

ср

∞

−

ср

τ −Tср

2σ2

p(t) = ∫ω(τ)dτ = ∫

dτ =

∫

2πσT2

2π t −Tср

σT

1∞ −x2

=2π t −∫Tсрe 2 dx.

σT

(2.31)

Вероятность отказа на интервале (0,t) (функция ненадежности) равна:

				t −Tср				x2
		1			σ
q(t) =1− p(t) =					∫T		e−
								2	dx,
		2π			−∞			(2.32)
t −T		ср

т.е. q(t) = F	σT		,
								(2.33)
	1	x			u2
где F(x) =		∫e−
					2	du.
	2π −∞							(2.34)

Выражение (2.34) – это интеграл Лапласа, таблицы которого приводятся во всех математических справочниках и литературе по теории вероятности.

Недостаток рассмотренной модели очевиден и связан с тем, что функция плотности распределения (2.30) не является односторонней, т.е. она отлична от 0 при t<0.

Этот недостаток несущественен, если Tср>>σT, т.к. в этом случае значение функции плотности распределения ω(t) при t<0 мало и кривой распределения при отрицательных значениях t можно пренебречь.

Однако если условие Tср>>σT не выполняется, то использование нормального распределения может привести к заметным погрешностям. Поэтому эту модель несколько модифицируют. Кривую распределения ω(t) (рис. 2.10) сдвигают несколько вправо, а оставшуюся левую часть кривой распределения при t<0 отсекают (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Усеченное нормальное распределение.

Смотрите также файлы

Методичка-Правоведение.doc

методичка по метрологии 2012.pdf

Методические указания РГУ.pdf

менеджмент.doc

материалы по правоведению для заочников.doc

Файл: Методичке_Миэм.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно