Файл: Методичке_Миэм.pdf

Дисперсия времени БР для распределения Вейбулла с учетом (1.11):

Таким образом, ИО – λ(t) при δ<1 монотонно убывает, при δ=1 – λ=const, а при δ>1 – λ(t) монотонно возрастает (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Распределение Вейбулла для ω(t) и λ(t).

Пример. Определим среднюю наработку Tср и интенсивность отказов λ(t) для ТС, время БР которой подчиняется закону Вейбулла с параметрами δ=1,5; λ=10–4 1/ч за время работы t=100 ч.

Решение.

Для определения значения Tср воспользуемся выражением (2.3) для распределения Вейбулла:

1

Tср = λ−δ Г(1+ δ1) = (10−4 )−0,67 Г(1,67).

Найдя по таблицам значение гамма-функции Г(1,67)=0,9033 и произведя несложные вычисления, получим:

Tср≈418 ч.

Подставляя в формулу (2.5) параметры распределения Вейбулла δ и λ, определим интенсивность отказов ТС за время t=100 ч:

λ(100) = λ δ (100)δ−1 =1,5 10−3 1/ч.

2.3. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение (ЭР) является частным случаем распределения Вейбулла при δ=1. При этом:

Из выражения (2.5) следует, что при δ=1 ИО λ(t)≡λ.

Поэтому экспоненциальный закон определяется одним параметром λ, представляющим собой постоянную интенсивность отказов.

Здесь верно и обратное утверждение: если ИО постоянна, то вероятность БР, как функция времени, подчиняется экспоненциальному закону. Следовательно, нормальная эксплуатация устройств характеризуется ЭР интервала БР.

Среднее время БР – Tср при экспоненциальном законе распределения равно величине, обратной ИО – 1/λ, т.е.:

Выражение (2.7) является частным случаем (2.3) при δ=1, т.к. Г(2)=1. Заменяя в выражении (2.6) λ на 1/Tср, получим:

p(Тср ) = e−1 0,368.

Плотность распределения наработки на отказ для ЭР соответственно равна:

эксплуатации до наступления старения может оказаться меньше среднего времени БР – Tср. Поэтому необходимо учитывать, что интервал времени, на котором можно пользоваться экспоненциальной моделью, бывает даже меньше, чем Tср.

Вычислим дисперсию времени БР для экспоненциального закона:

λt =x; t =xλ

Рис. 2.4. Экспоненциальное распределение вероятности БР.

-35-

Замечание:

Таким образом, дисперсия времени БР:

Найдем условную вероятность того, что для экспоненциальной модели устройство проработает безотказно на интервале времени t, после того как оно безотказно проработало на интервале τ.

В этом случае имеем:

Отсюда следует важный вывод: для экспоненциального закона распределения вероятности БР распределение времени БР не зависит от того, сколько времени оно проработало до начала отсчета от момента первого включения. Другие распределения этого свойства не имеют (т.к. у других распределений λ≠const, а зависит от времени).

Модель ЭР широко используется для априорного анализа надежности. При априорном анализе надежности необходимо провести проверку соответствия экспоненциальной модели результатам испытаний.

Пример. Наработка ТС до отказа описывается экспоненциальным распределением с параметром λ=10–4 1/ч. Определить p(t) и ω(t) системы за время работы t=2000 ч, а также среднюю наработку Tср.

Решение.

Согласно (2.6) получаем:

p(2000) = e−10−4 2000 = 0,819.

Согласно (2.8) имеем:

ω(t) =10−4 e−10−4 2000 = 8,19 10−6 1/ ч.

На основании (2.7) средняя наработка на отказ:

Tср = 1λ =104 ч.

2.4. Распределение Релея

При распределении Релея вероятность безотказной работы на интервале

(0,t) равна (рис 2.5.а):

является модой этого распределения.

Мода непрерывного распределения есть точка максимума плотности распределения вероятности ω(t). Мода дискретного распределения есть такое спектральное значение ξm, при котором предшествующие и последующие спектральные значения имеют вероятности, меньшие, чем p(ξm).

Плотность распределения наработки на отказ равна (рис. 2.5.б):

Интенсивность отказов равна (рис. 2.5.в):

Рис. 2.5. Распределение Релея.

2.5. Гамма-распределение

При Гамма-распределении (ГР) плотность распределения наработки на отказ равна:

где Г(r) – полная гамма-функция.

В теории надежности ГР обычно используется при целом значении r. Если r=1, то ГР вырождается в экспоненциальное распределение. Если r –

целое число > 1, то ГР является распределением суммы независимых

-37-

случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром:

λ0 = T1 .

ср0

Гамма-распределение при целом значении r иногда называют

распределением Эрланга.

Для такого распределения вероятность БР на интервале (0,t) равна (рис.

2.6.а):

Плотность распределения наработки на отказ в этом случае (рис. 2.6.б):

Интенсивность отказов равна (рис. 2.6.в):

Среднее время БР и дисперсия времени БР соответственно равны:

При больших r – ГР сходится к нормальному закону с параметрами:

Рис. 2.6. Графики Гамма-распределения:

а) функции надежности; б) плотности распределения наработки на отказ; в) интенсивности отказов.

Примером использования ГР является резервная система, состоящая из r одинаковых элементов. При этом под нагрузкой находится один элемент. Остальные элементы поочередно автоматически включаются в работу после отказа работающего элемента. При экспоненциальном распределении наработки до отказа элементов суммарная наработка будет подчиняться Гамма-распределению.