Файл: Принятие управленческого решения как организационный процесс (Понятие и процесс разработки управленческого решения).pdf

Затем рассчитаем «платежную» матрицу игры, которую правильней обозначить матрицей эффектов, представленной в таблице 2.

Таблица 5.

Матрица эффектов

Решение планового органа	Состояние природы
	В1	В2	В3
А1	83	28	-27
А2	18	18	18

Где А = {А1, А2} – множество решений планирующего органа;

А1 - соответствует решению о проведении НИОКР;

А2 - соответствует решению об отказе от НИОКР;

В = {В1, В2, В3} - множество состояний «природы», олицетворяющее неопределенность ситуации,

В1 - проведение НИОКР потребует 5 лет;

В2 - проведение НИОКР потребует 10 лет;

В3 - проведение НИОКР потребует 15 лет.

Рассматриваемая задача решается методами математической теории игр с использованием «платежной» матрицы (матрицы эффектов, либо матрицы потерь) и выбранных критериев принятия решения поэтапно:

- в условиях полной неопределенности;

- в условиях частичной неопределенности;

- в условиях эксперимента, предшествующего принятию решения;

- с применением аппарата решающих функций и использованием функции риска.

1. Решение задачи.
   1. Критерий принятия решений в условиях полной неопределенности.

Критерий Уолда

Решение планового органа	Минимум выигрыша
А1	-27
А2	18*

Еу = max_imin_je_ij

Еу = max{-27,18} = 18 → А2

Максимаксный критерий

Решение планового органа	Максимум выигрыша
А1	83*
А2	18

Ем = max_imax_je_ij

Ем = max{83,18} = 83 → А1

Критерий Гурвича

Решение планового органа	Степень оптимизма α
	0	0,2	0,3	0,4	0,4091	0,6	0,8	1,0
А1	-27	-5	6	17	18*	39*	61*	83*
А2	18*	18*	18*	18*	18*	18	18	18

---

Ег = max_i[α·max_je_ij + (1 – α)·min_je_ij]

Степень оптимизма для равноэффективных решений:

α·83 + (1 – α)·(-27) = α·18 + (1 – α)·18,

откуда α = 9/22 ≈ 0,4091

Ег(α=0) = max{-27,18} = 18 → А1

Ег(α=0,2) = max{-5,18} = 18 → А1

Ег(α=0,3) = max{6,18} = 18 → А1

Ег(α=0,4) = max{17,18} = 18 → А1

Ег(α=0,4091) = max{18,18} = 18 → А1 или А2

Ег(α=0,6) = max{39,18} = 39 → А2

Ег(α=0,8) = max{61,18} = 61 → А2

Ег(α=1,0) = max{83,18} = 83 → А2

Критерий Сэвиджа

Решение планового органа	Состояние природы			Максимум сожаления
	В1	В2	В3
А1	0	0	45	45*
А2	65	10	0	65

Ес = min_imax_j (max_j^*e_ij - e_ij)

Ес = min{45,65} = 45 → А1

Критерий Лапласа

Решение планового органа	Равновероятный выигрыш
А1	28*
А2	18

Ел = max_iΣ ⁿ_{j = 1}(e_ij / n)

Ел = max{28,18} = 28 → А1

• 1. Критерий принятия решений в условиях частичной определенности

Условия частичной определенности предполагают, что распределение вероятностей состояний «природы» p(b_j) известно и статически устойчиво. В соответствии с исходными данными это распределение имеет вид:

p(b₁) = 0,25 p(b₂) = 0,35 p(b₃) = 0,40

Критерий Байеса-Лапласа

Решение планового органа	Математическое ожидание выигрыша
А1	19,75*
А2	18

Еб = max_iΣ ⁿ_{j = 1}(e_ij · p(b_j))

Ем = max{19,75,18} = 19,75 → А1

• 1. Принятие решений в статических играх с экспериментом

Принятию решения предшествует эксперимент. Допустим, что результаты эксперимента образуют множество X = {х1, x2, x3}, где исход эксперимента x1 означает, что проведение данной НИОКР потребует 5 лет, x2 –соответственно 10 лет и x3 – 15 лет. Как правило, такие результаты эксперимента носят не достоверный, а вероятностный характер. Это приводит к необходимости использования условных вероятностей р(xi/bj), которые показывают вероятность прихода к выводу xi, если на самом деле имеет место состояние «природы» b_j.

---

В соответствии с исходными данными условные вероятности р(xi/bj) исходов эксперимента:

p(x1/b1) = 0,05 р(x1/b2) = 0,15 р(х1/b3) = 0,55

p(x2/b1) = 0,80 р(x2/b2) = 0,15 р(х2/b3) = 0,05

p(x3/b1) = 0,10 р(x3/b2) = 0,75 р(х3/b3) = 0,25

Находим полные вероятности исходов эксперимента:

p(xi) = Σ p(xi/bj)·p(bj)

p(x1) = p(x1/b1)·p(b1) + p(x1/b2)·p(b2) + p(x1/b3)·p(b3)

p(x2) = p(x2/b1)·p(b1) + p(x2/b2)·p(b2) + p(x2/b3)·p(b3)

p(x3) = p(x3/b1)·p(b1) + p(x3/b2)·p(b2) + p(x3/b3)·p(b3)

p(x1) = 0,05·0,25 + 0,15·0,35 + 0,55·0,40 = 0,2850

p(x2) = 0,80·0,25 + 0,15·0,35 + 0,05·0,40 = 0,2725

p(x3) = 0,10·0,25 + 0,75·0,35 + 0,25·0,40 = 0,3875

Находим апостериорные вероятности состояния природы после того или иного исхода эксперимента (по формуле Байеса):

p(bj/xi) = p(xi/bj)·p(bj) / p(xi)

p(b1/x1) = p(x1/b1)·p(b1) / p(x1) = 0,05·0,25/ 0,2850 = 0,0439

p(b2/x1) = p(x1/b2)·p(b2) / p(x1) = 0,15·0,35/ 0,2850 = 0,1842

p(b3/x1) = p(x1/b3)·p(b3) / p(x1) = 0,55·0,40/ 0,2850 = 0,7719

p(b1/x2) = p(x2/b1)·p(b1) / p(x2) = 0,80·0,25/ 0,2725 = 0,7339

p(b2/x2) = p(x2/b2)·p(b2) / p(x2) = 0,15·0,35/ 0,2725 = 0,1927

p(b3/x2) = p(x2/b3)·p(b3) / p(x2) = 0,05·0,40/ 0,2725 = 0,0734

p(b1/x3) = p(x3/b1)·p(b1) / p(x3) = 0,10·0,25/ 0,3875 = 0,0645

p(b2/x3) = p(x3/b2)·p(b2) / p(x3) = 0,75·0,35/ 0,3875 = 0,6774

p(b3/x3) = p(x3/b3)·p(b3) / p(x3) = 0,25·0,40/ 0,3875 = 0,2581

Таким образом:

p(b1/x1) = 0,0439 p(b2/x1) = 0,1842 p(b3/x1) = 0,7719p(b1/x2) = 0,7339 p(b2/x2) = 0,1927 p(b3/x2) = 0,0734

p(b1/x3) = 0,0645 p(b2/x3) = 0,6774 p(b3/x3) = 0,2581

Находим по критерию Байеса-Лапласа (с учетом уже апостериорных вероятностей состояний «природы» p(bj/xi)) ожидаемые выигрыши для каждого исхода эксперимента:

Еб = max_iΣ ⁿ_{j = 1}(e_ij · p(b_j) · p(bj/xi))

Еб(x1) = max{83·0,0439 + 28·0,1842 - 27·0,7719; 18·0,0439 + 18·0,1842 + 18·0,7719} = max{-12,04; 18} = 18 → А2

Еб(x2) = max{83·0,7339 + 28·0,1927 - 27·0,0734; 18·0,7339 + 18·0,1927 + 18·0,0734} = max{64,3275; 18} = 64,3275 → А1

Еб(x3) = max{83·0,0645 + 28·0,6774 - 27·0,2581; 18·0,0645 + 18·0,6774 + 18·0,2581} = max{17,352; 18} = 18 → А2

Средний выигрыш при неизвестном заранее исходе эксперимента равен:

Еср = Σⁿ_i=1 Еб(xi)·p(xi)

Еср = 18·0,2850 + 64,3275·0,2725 + 18·0,3875 ≈ 29,634

При этом Еср = 29,634 > Е = 19,75; то есть средний выигрыш с экспериментом больше, чем выигрыш без эксперимента.

• 1. Принятие решений в статических играх в условиях риска.

В задаче без эксперимента решение (А1 или А2) принимается с использованием априорной информации о состояниях «природы». В задаче с экспериментом плановый орган принимает решение в зависимости от исхода эксперимента (x1, x2, x3). Чтобы формализовать эту задачу, можно заранее проанализировать все возможные исходы эксперимента и составить правило d, определяющее, какое решение следует принять при каждом из возможных исходов эксперимента. Это правило называется решающей функцией.

В рассматриваемом случае (для трёх возможных исходов эксперимента) решающую функцию можно записать в виде:

---

d_kls = d (х1, x2, х3) = (Аk Аl, Аs),

где Аk, Al, As - решения, которые следует принять при исходах эксперимента х1, х2, х3 соответственно. Так, решающая функция d112 означает, что соответствие исходов и решений имеет вид {x1 → А1, x2 → А1, x3 → А2}, то есть при оценке срока НИОКР в 5 или 10 лет принимается решение о разработке новой продукции А1, а в 15 лет решение об отказе от разработки новой продукции А2.

Множество решающих функций состоит из N = m^q элементов, где m - число возможных решений; q — число возможных исходов эксперимента.

В нашем случае m = 2; q = 3; N = m^q =2³ = 8.

Таблица 6.

Множество решающих функций

Результаты эксперимента	d111	d112	d121	d122	d211	d212	d221	d222
X1	A1	A1	A1	A1	A2	A2	A2	A2
X2	A1	A1	A2	A2	A1	A1	A2	A2
X3	A1	A2	A1	A2	A1	A2	A1	A2

Из всего множества решающих функций необходимо выбрать такую, которая позволит принимать наиболее выгодные решения. Но для этого надо уметь оценивать сами решающие функции, что может быть сделано при помощи функции риска.

Функцией риска r(bj, d_kls) называются средние потери, которые несёт плановый орган при данном состоянии природы и выбранной решающей функции. Число значений функции риска равно N·n, где n — число состояний природы. В нашем случае N = 8, n = 3, тогда 8·3 = 24.

Усреднение потерь ведётся по вероятностям исходов эксперимента при данном состоянии природы. В нашем случае:

r(bj, d_kls) = П(bj, A_k)·p(x1/bj) + П(bj, A_l)·p(x2/bj) + П(bj, A_s)·p(x3/bj)

или r(bj, d_kls) = П_jk·p(x1/bj) + П_jl·p(x2/bj) + П_js·p(x3/bj)

где П_jk, П_jl, П_js - элементы матрицы потерь, которые получаются из матрицы эффектов путём умножения её элементов на (-1). Отрицательные элементы Пi, матрицы потерь означают получение экономического эффекта.

Таблица 7.

Матрица потерь

Состояние природы	Решение планового органа
	А1	А2
В1	-83	-18
В2	-28	-18
В3	27	-18

---

Таблица 8.

Значения функции риска

Состояние природы	d111	d112	d121	d122	d211	d212	d221	d222
В1	-78,85	-72,35	-26,85	-20,35	-75,6	-69,1	-23,6	-17,1
В2	-29,4	-21,9	-27,9	-20,4	-27,9	-20,4	-26,4	-18,9
В3	22,95	11,7	20,7	9,45	-1,8	-13,05	-4,05	-15,3

Расчет значений функции риска

r(b1, d111) = -83·0,05 - 83·0,80 - 83·0,10 = -78,85

r(b1, d112) = -83·0,05 - 83·0,80 - 18·0,10 = -72,35

r(b1, d121) = -83·0,05 - 18·0,80 - 83·0,10 = -26,85

r(b1, d122) = -83·0,05 - 18·0,80 - 18·0,10 = -20,35

r(b1, d211) = -18·0,05 - 83·0,80 - 83·0,10 = -75,6

r(b1, d212) = -18·0,05 - 83·0,80 - 18·0,10 = -69,1

r(b1, d221) = -18·0,05 - 18·0,80 - 83·0,10 = -23,6

r(b1, d222) = -18·0,05 - 18·0,80 - 18·0,10 = -17,1

r(b2, d111) = -28·0,15 - 28·0,15 - 28·0,75 = -29,4

r(b2, d112) = -28·0,15 - 28·0,15 - 18·0,75 = -21,9

r(b2, d121) = -28·0,15 - 18·0,15 - 28·0,75 = -27,9

r(b2, d122) = -28·0,15 - 18·0,15 - 18·0,75 = -20,4

r(b2, d211) = -18·0,15 - 28·0,15 - 28·0,75 = -27,9

r(b2, d212) = -18·0,15 - 28·0,15 - 18·0,75 = -20,4

r(b2, d221) = -18·0,15 - 18·0,15 - 28·0,75 = -26,4

r(b2, d222) = -18·0,15 - 18·0,15 - 18·0,75 = -18,9

r(b3, d111) = 27·0,55 + 27·0,05 + 27·0,25 = 22,95

r(b3, d112) = 27·0,55 + 27·0,05 - 18·0,25 = 11,7

r(b3, d121) = 27·0,55 - 18·0,05 + 27·0,25 = 20,7

r(b3, d122) = 27·0,55 - 18·0,05 - 18·0,25 = 9,45

r(b3, d211) = -18·0,55 + 27·0,05 + 27·0,25 = -1,8

r(b3, d212) = -18·0,55 + 27·0,05 - 18·0,25 = -13,05

r(b3, d221) = -18·0,55 -18 ·0,05 + 27·0,25 = -4,05

r(b3, d222) = -18·0,55 - 18·0,05 - 18·0,25 = -15,3

Наилучшей решающей функцией будет та, которая обеспечивает минимум так называемому байесовскому риску, рассчитываемому по формуле:

r(d_kls) = r(b1, d_kls)·p(b1) + r(b2, d_kls)·p(b2) + r(b3, d_kls)·p(b3)

Определим байесовские риски для каждой из решающих функций:

r(d111) = -78,85·0,25 - 29,4·0,35 + 22,95·0,40 = -20,82

r(d112) = -72,35·0,25 - 21,9·0,35 + 11,7·0,40 = -21,07

r(d121) = -26,85·0,25 - 27,9·0,35 + 20,7·0,40 = -8,20

r(d122) = -20,35·0,25 - 20,4·0,35 + 9,45·0,40 = -8,45

r(d211) = -75,6·0,25 - 27,9·0,35 - 1,8·0,40 = -29,39

r(d212) = -69,1·0,25 - 20,4·0,35 - 13,05·0,40 = -29,64

r(d221) = -23,6·0,25 - 26,4·0,35 - 4,05·0,40 = -16,76

r(d222) = -17,1·0,25 - 18,9·0,35 - 15,3·0,40 = -17,01

Байесовские риски для различных решающих функций:

Решающая функция	d111	d112	d121	d122	d211	d212	d221	d222
Байесовский риск	-20,82	-21,07	-8,20	-8,45	-29,39	-29,64	-16,76	-17,01

---