Файл: Семестровая работа. Теория пластических деформаций.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.06.2019
Просмотров: 463
Скачиваний: 3
2. Основные теории пластичности
2.1. Теория малых упруго-пластических деформаций
В деформационной теории пластичности устанавливается связь между деформациями н напряжениями. Ранее было показано, что уравнения пластического состояния по теории течения можно интегрировать лишь для вполне определенного способа нагружения или деформирования. Но можно указать и целый ряд способов нагружения, для которых эти уравнения интегрируются. Это простые нагружения. Критерия простого нагружения примем в виде:
,
где — компоненты девхатора напряжений,
φ — переменный скалярный параметр,
— постоянный девиатор.
Простое нагружение возможно лишь при небольших деформациях. При больших конечных деформациях простое нагружение в общем случае неосуществимо, поэтому деформационную теорию пластичности называют еще теорией малых упруго-пластических деформаций. В связи с этим воспользуемся формулами теории бесконечно малых деформаций.
Допустим, что упрочнение является изотропным, а деформации согласно складываются из упругих и пластических деформаций, т. е.:
Примем далее, что относительное изменение объема и среднее напряжение σ связаны между собой такой же зависимостью, как н при упругой деформации:
Пусть, наконец, напряжения и упругие деформации связаны между собой законом Гука:
А в прямоугольной декартовой системе координат:
В соответствии с уравнением (15) объемная деформация равна:
где - упругая объёмная деформация;
– пластическая объемная деформация.
Заменим в уравнение по формулам уравнения. Получим . Сравнивая с уравнением выше, находим, что:
Т.е. пластическая объемная деформация равна нулю. Следовательно, девиатор пластических деформация и тензор пластических деформация совпадают. Поэтому компоненты девиатора пластических деформаций равны компонентам тензора пластических деформаций, т.е.:
Примем энергетическое условие пластичности Губера-Мизеса, а в качестве меры упрочнения примем интенсивность деформаций εи. Тогда справедлива гипотеза «единой кривой» .
Связь между деформациями и напряжениями по деформационной теории пластичности.
Выразив деформации через компоненты соответствующих девиаторов, получим . По формуле =0 получим . Тогда:
Заменив согласно уравнению , а выражением . Получим, заменяя на основании
Интенсивность деформаций εи выразим через компоненты девиатора деформаций:
Заменяя eij, получим что[1]:
т.е. интенсивность деформаций равна сумме интенсивностей упругих и пластических деформаций.
Заменяя получим:
Выразим среднюю деформацию. Получим уравнение состояния пластически деформируемой среды по деформационной теории, называемые соотношениями Г. Генки:
или в прямоугольной декартовой системе координат
Заменим согласно K = E/3, а . После простых алгебраических преобразований получим соотношения Генки-Ильюшина:
По внешнему виду эти уравнения похожи на уравнения обобщенного закона Гука. Но, в отличии от последних, они являются нелинейными. Можно показать, что уравнения деформационной теории по существу являются уравнениями нелинейно-упругой среды, у которой связь между σи и εи такая же, как у пластической среды при непрерывном нагружении.
2.2. Теория пластического течения (теория течения).
Основные предпосылки. В основе уравнений состояния пластически деформируемой сплошной среды лежат условия пластичности, условия упрочнения н ассоциированный закон течения. В теории пластического течения устанавливается связь между приращениями деформаций dεij приращениями напряжений dσij и напряжениями σij.
Пусть упрочнение является изотропным, а приращения деформаций dεij складываются из приращений упругих dεеij и пластических dεрij деформаций, т. е.:
Примем далее, что относительное изменение объема θ и среднее напряжение σ связаны между собой такой же зависимостью, как и при упругой деформации:
где К = Е/[3 (1-2µ) ] - объемный модуль упругости. Пусть, наконец, приращения напряжений dσij и упругих деформаций dεеij, связаны между собой законом Гука:
а в системе координат общего вида
В соответствие с уравнением приращение объемной деформации равно:
где dθe – приращение упругой объемной деформации, dθр- приращение пластической объемной деформации. Заменим в уравнении Получим dθ = dθe+ dθр = dσ/K + dθр. Находим, что:
т.е. приращение пластической объемной деформации равно нулю. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций и тензор приращений пластических деформаций совпадают.
Условия пластичности и упрочнения. В качестве условия пластичности fs(σij) =0 примем энергетическое условие пластичности, по которому наступление пластического состояния определяется только вторым инвариантом девиатора напряжений. Тогда:
В качестве параметра упрочнения q выберем параметр Удквиста. При этом:
т.е. интенсивность напряжений σи является функцией параметра Удквиста, не зависящий от вида напряженного состояния.
Связь между приращениями пластических деформаций и напряжениями. Заменим σи, получим выражение пластического потенциала через напряжения в прямоугольной декартовой системе координат:
Тогда найдем, учитывая, что ,
В левых частях этих равенств стоят компоненты девиатора приращений пластических деформаций Dpdε, а в правых – умноженные на 3dλ компоненты девиатора напряжений Dσ. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций пропорционален девиатору напряжений. Обозначая коэффициент пропорциональности через dλ, получим:
Dpdε= dλ· Dσ,
или в координатной форме в прямоугольной декартовой системе координат:
а в произвольной системе координат:
Найдем dλ. Запишем формулу для интенсивности приращений пластических деформаций в прямоугольной декартовой системе координат:
Подставим сюда выражение и после простых преобразований получим:
.
Список используемой литературы
1. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. – М.: Металлургия, 1977. – 322 с.
2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. – 420 с.
3. Водопьянов В.И., Савкин А.Н., Кондрашев О.В. Краткий курс сопротивления материалов. – Волгоград.: РПК «Политехник», 2006, стр.15-25.
4. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением.-М.: Металлургия, 1978. - 360с.
5. Столярчук А.С. Курс лекций