МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет технологии конструкционных материалов

Кафедра «Технология материалов»

Семестровая работа

По дисциплине: «Теория обработки металлов давлением»

На тему: «Теория пластических деформаций»

---

---

1. Условия пластичности

1.1 Условия перехода твёрдого тела в пластическое состояние

При линейном напряженном состоянии (например, при растяжении образца) пластическая деформация начнётся тогда, когда нормальное напряжение достигнет предела текучести, т.е. σ₁ = σ_т.

В теории обработки металлов давлением предел текучести есть истинное нормальное напряжение, т.е. усилие, отнесенное к площади сечения образца в данный момент и приводящее его в пластическое состояние в процессе однородного линейного растяжения при данной температуре с определённой скоростью и степенью деформации.

В процессе деформации предел текучести изменяется, поэтому σ_т в теории пластичности (ТП) следует отличать от σ_т, применяемого в теории упругости (ТУ), сопротивлении материалов и материаловедении.

При объёмном напряженном состоянии должно быть определённое соотношение между сопротивлением деформации σ_т и главными нормальными напряжениями для того, чтобы тело деформировалось пластически. Для объёмной задачи количество возможных комбинаций таких соотношений бесчисленно, а их совокупность в системе координат σ₁, σ₂, σ₃ образуют поверхность пластичности, которая определяется функцией:

f_т (σ₁, σ₂, σ₃) = 0

В теории обработки металлов давлением поверхность пластичности строится на основании двух условий пластичности:

- Условие пластичности Треска – Сен-Венана (условие постоянства максимально касательных напряжений);

- Условие пластичности Губера – Мизеса (условие постоянства удельной энергии формообразования).

1.2 Условие пластичности Треска – Сен-Венана

При линейном напряжённом состоянии, например при растяжении стержня, на площадках, наклонённых к оси стержня, появляются касательные напряжения:

τ = sin2α,

где α – угол между осью стержня и нормалью к площадке.

При этом образуются линии текучести, которые называются линиями Чернова – Людерса:

Рисунок 1. – Образование линий Чернова – Людерса.

Эти линии направлены под углом 45̊ к оси расширения (в данном примере) или к оси сжатия. Исходя из этого, можно считать, что касательное напряжение достигнет максимального значения при α = 45̊, и тогда твёрдое тело переходит в пластическое состояние:

τ_max = = = k = τ_s

где k – пластическая постоянная, равная текучести при чистом сдвиге (τ_s).

(k определяет максимальное значение, которое может достигнуть главное касательное напряжение при наступлении пластической деформации).

Если в уравнение главных касательных напряжений подставить k, то получают систему уравнений для условия пластичности Треска – Сен-Венана для объёмной задачи:

Знак равенства может быть только в одном из трёх уравнений. Т.к. напряжение σ_s всегда положительно, а одновременное равенство всех трёх главных касательных напряжений одной и той же положительной величиной невозможно, поэтому не будет выполняться условие:

---

τ₁₂ + τ₂₃ + τ₃₁ = 0

Как следует из системы уравнений для условия пластичности Треска – Сен-Венана для объёмной задачи, равенство достигается последующим уравнением, представляющим собой разность наибольшего и наименьшего значения напряжения, следовательно, пластическое состояние наступает, если одна из разностей двух главных нормальных напряжений становится равной напряжению текучести вне зависимости от двух других.

Условие пластичности Треска – Сен-Венана можно представить в виде главных касательных напряжений:

Пластическое состояние наступает, если какое-либо одно касательно напряжение достигает максимальной величины, равной половине напряжений текучести σ_s или напряжению текучести при чистом сдвиге.

Рисунок 2. – Призма текучести Треска – Сен-Венана.

Геометрический смысл условия пластичности Треска – Сен-Венана состоит в том, что в координатах главной нормали напряжения определяют правильную шестигранную призму с гидростатической осью σ₁ = σ₂ = σ₃. Гидростатическая ось является нормалью к девиаторной плоскости, проходящей через начало координат. Поверхность призмы является поверхностью пластичности. Все точки внутри объёма призмы находятся в упругом напряжённом состоянии.

Рисунок 3. – Проекция призмы на девиаторную плоскость.

Ребра призмы отсекают на каждой из осей отрезок, равный напряжению σ_s при линейном напряженном состоянии. При плоском напряженном состоянии σ₂ = 0 и система уравнений будет выглядеть:

Это уравнение определяет прямые, образующие шестиугольный контур пластичности для плоского напряженного состояния.

При плоском деформированном состоянии условие пластичности Треска – Сен-Венана имеет вид:

|σ₃ – σ₁| = 2k = σ_т

---

1.3 Условие пластичности Губера – Мизеса

Условие пластичности Губера – Мизеса было предложено в 1904 году и окончательно сформулировано в 1943 году, и оно, в отличие от призмы пластичности Треска – Сен-Венана, учитывает влияние третьего главного нормального напряжения, в следствие чего более точно описывает переход металла из упругого состояния в пластическое и звучит как:

«Любая элементарная частица металлического тела переходит из упругого состояния в пластическое, когда интенсивность напряжения достигает величины, равной напряжению текучести при линейно пластическом напряженном состоянии в соответствии с температурным скоростным условиями деформирования и степени деформации».

В момент наступления пластического состояния интенсивность напряжения σ_i становится равной истинному пределу текучести:

Условие пластичности Губера – Мизеса можно выразить через октаэдрические касательные напряжения:

Геометрический смысл условия пластичности Губера – Мизеса

В системе координат уравнение:

представляет собой поверхность бесконечно длинного цилиндра с радиусом, описанный вокруг шестигранной призмы Треска-Сен-Венана.Ось цилиндра проходит через начало координат и равнонаклонена к осям, то есть, ее уравнение , а угол наклона .

Поверхность цилиндра является предельной поверхности пластичности. Окружности, получаемые сечением цилиндра плоскости перпендикулярной к его оси определяет шаровой тензор, то есть напряженое состояние с постоянным средним напряжением. Эти плоскости определяются уравнениями:

,

где - расстояние от начала координат.

Плоскость, проходящая через начало координат при, определяет напряжение состояния, как чисто девиаторное. Образующие цилиндра являются геометрическим местом точек с постоянной разностью трех главных нормальных напряжений, то есть с одинаковым девиатором. Рассмотрим условие пластичности при плоском напряженном состоянии (рисунок 3).

С учетом :

Выражение является уравнением эллипса с центром в начале координат и с осями наклонённых под углом к осям координат. Точки на предельном контуре пластичности с начальными координатами:

.

соответствует также и плоскому деформированному состоянию, поскольку одно из напряжений с этими координатами равно полусумме двух других (включая )

Рисунок 4. – Предельный контур пластичности при плоском напряженном состоянии (вписанный шестигранник – условие пластичности Треска – Сен – Венана; эллипс – условие пластичности Губера – Мизеса).

Малая ось эллипса равна радиусу цилиндра. Из этого рисунка 3 следует, что при плоском напряженном и плоско деформированном состоянии не одну из главных нормальных напряжений не может быть большей величины:

Для плоско деформированного состояния получим:

или

Таким образом, величина пластической постоянной, равная напряжению текучести при чистом сдвиге, изменяется в пределах в зависимости от условия пластичности.

---