Файл: Курсовая работа. Исследование релейной следящей системы.docx
ВУЗ: Российский университет дружбы народов
Категория: Курсовая работа
Дисциплина: Теория автоматического управления
Добавлен: 23.10.2018
Просмотров: 1450
Скачиваний: 22
Графический метод:
Построим переходную функцию для колебательного звена исходной системы, т.е. реакцию от действия единичной ступеньки на звено
Wл.колеб
Изображение переходнойфункции:
1
Tдвs1Tэs1
Wл W
1 1
s .колеб sTдвs1Tэs1 л
Следует отметить, что, хотя выражение дляH(s)совпало с выражением для передаточной функции линейной части исходной системы,появление «S»в знаменателе обусловлено принципиально иными причинами. В данном случае это не интегратор, а следствие воздействия на звено единичной ступеньки.
Представим выражение для H(s) в виде суммы простых дробей с неизвестными множителями А, В, С, крторые затем найдем методом неопределенных коэффициентов:
HsA B C
s Tдвs1 Tэs1.
С помощью системы MathCad получаем разложение переходной функции на слагаемые.
A:= 1
Tдв
B:=
C:=
Tэ
1
Tдв
TэTдв
1
Tэ
При таких значениях переменных переходная функция:
1
H(s) :=
Tдв Tэ
s Tэ Tдв
T
1(Tдвs1)
1(Tэs1)
T э
Аппроксимируем полученную переходную функцию переходной функцией
h1t
апериодического звена первого порядка с запаздыванием на время.Для этого строим график переходной функцииh{t)и проводим касательную к кривой в точке перегиба. Этапрямая будет в то же время являться касательной кh1tв точке(,0) .
Аналитический метод:
Найдем параметры аппроксимирующей функции аналитическим путем. Для этого вычислим вторую производнуюh(t), которая, как известно, в точке перегиба равна нулю, а затем, зная координаты точки перегиба, найдем коэффициенты в уравнении касательной. В свою очередь, зная уравнение касательной, можно определить точные параметры апериодического звена, тогда как графическим методом это можно сделать лишь приближенно.
Соответствующая изображению переходная функция имеет вид.
t
t
h(t) :=
Tдвe
Tдв
-
Tэe
Tэ
1
TэTдв
Определим производную переходной функции:
t
t
e
dh(t) :=
Tдв
-
e
Tэ
TэTдв
Теперь определим вторую производную переходной функции:
t
t
d2h(t):=
Tдв
e
Tдв
Tэ
e
Tэ
.
Далее приравняем полученное выражение к нулю и, получим решение уравнения
h&t0.Такимрешениембудеткоординататочкиперегибаtп.
Tэ
T
TдвTэдв
tп:=
TэTдв
Определим коэффициенты в уравнении касательной у= kt + b:
Тогда параметры аппроксимирующей переходной функции:
1 1 b
п
htпtпh&tп
Tэквk
h&t
= 0,316
k
h&tп
= 0,025.
Таким образом, получаем точные параметры передаточной функцииапериодического звена с чистымзапаздыванием:
Построение фазового портрета системы
После аппроксимации будем исследовать следующую систему: аппроксимированная линейная часть с приведённым нелинейным элементом.
Линейная часть:
W
л sTэквs1
Наличие звена чистое запаздывание учтем поворотом линий переключения. Нелинейная часть математически описывается:
c,при
b,
0b,&0
c,при
b,
Введем фазовые координаты:
x1tyt,x2ty&t.
Тогда уравнения движения системы имеют вид:
x&1tx2t
Tэквx&2tx2y1t
Исключаем время из этой системы дифференциальных уравнений. В итоге получаем следующее уравнение фазовой траектории.
dx2
dx1
y1tx2
.
Значение
y1t
может быть одним из значений выхода реле.
1.y1t=с.
dx2
cx2
. Тогда
dxTэквx2ccdx
. Проинтегрировав указанное
dx1
Tэквx2
1 cx2 2
выражение, получим.
x1x2Tэквx2Tэквclnx2c
-
Const'.
2.y1t=-с.
dx2
cx2. Тогда
dxTэквx2ccdx
. Проинтегрировав указанное
dx1
Tэквx2
1 cx2 2
выражение, получим.
x1x2Tэквx2Tэквclnx2c
-
Const'''.
Используя уравнение обратной связи и условие нулевого управления, приводим значение выхода реле в зависимости от фазовых координат.
x1b,
c,при
bx
0,x0
1
c,при
1 2
x1b,
0xb,x0
1 2
Получаем на фазовой плоскости линии переключения.
Теперь учтем запаздывание. Когда фазовая траектория дойдет до линии переключения,из-зазапаздываниясистемапереключитсяпозжеиуспеетпройтизаэто
время путь
x2.Поэтому запаздывание учитывается наклоном линий переключения на
уголarctan.
На основе, полученной информации строим фазовый портрет системы.
Поскольку участки фазовых траекторий при
y1tc и
y1tc
имеют
одинаковую форму (но разное расположение относительно оси), а кроме того, соседние участки траекторий в каждой из этих областей обличаются лишь значением произвольной постоянной интегрирования, целесообразно при построении воспользоваться шаблоном.
Определение амплитуды и частотыавтоколебаний
Из фазового портрета системы видно, что одни траектории постепенно расходится, другие сходятся, при этом они стремятся к одной и той же замкнутой траектории, которая представляет собой предельный цикл, соответствующий автоколебаниям. По фазовому портрету можно приближенно определить этот предельный цикл и найти (приближенно) амплитуду автоколебаний.
Инженерный метод
С помощь фазового портрета определить частоту автоколебаний не удается. Время при построении фазовых траекторий было исключено из уравнений и явно в них не присутствует. Инженерный метод позволяет построить зависимость фазовой координаты от времени с помощью несложных математических преобразований.
Из определения скорости следует:
xdx1
Тогда
dt
1 dx
2 dt
x2x1 1
Проинтегрируем полученное выражение от точки А до точки В.
tB B 1
∫dt∫xxdx1tAtB
tA A2 1