Файл: Тема 12.doc

Откладываем найденные отрезки на осях координат (Рис.12.18) и строим нулевую линию.

Проанализируем поведение нулевой линии при внецентренном растяжении (сжатии):

1. Нулевая линия – прямая линия.

2. Нулевая линия не проходит через центр тяжести поперечного сечения.

3. Нулевая линия проходит через две четверти координат, ни одной из которых не принадлежит точка приложения силы (нулевая линия никогда не проходит через ту четверть, в которой лежит точка приложения силы).

Теперь, имея нулевую линию, проводим параллельно ей касательные к контуру сечения и находим наиболее напряженные точки В и С в растянутой и сжатой зонах сечения (Рис.12.18). Напряжения в этих точках и условия прочности имеют вид:

; (12.33)

. (12.34)

Координаты точек приложения силы и , а также координаты А и В, в которых определяются напряжения, проставляются в формулах (12.33) и (12.34) со своими знаками. Эпюра нормальных напряжений для рассматриваемого случая внецентренного растяжения приведена на рис.12.18.

Для прямоугольного сечения максимальные напряжения лежат в одной из угловых точек и условие прочности удобно использовать в таком виде:

. (12.35)

Выше был рассмотрен случай внецентренного растяжения. Полученные формулы (12.33)-(12.35) справедливы и для случая внецентренного сжатия при условии, если нет опасности возникновения продольного изгиба.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на внецентренное растяжение и сжатие.

Пример 12.6. Стержень прямоугольного профиля в точке А подвергается действию растягивающей силы силы кН (Рис.12.19). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении стержня.

Рис.12.19

Решение:

1. Определяем моменты инерции и квадраты радиусов инерции сечения относительно главных осей и :

см⁴; см⁴;

см²; см².

2. Определяем отрезки, определяемые нулевой линией на осях координат:

см; см.

3. Строим нулевую линию (Рис.12.19).

4. Наиболее удаленной от нулевой линии является точка А. Напряжения в этой точке будут наибольшими:

МПа.

Пример 12.7. В точках А двух коллонн приложены сжимающие силы (Рис.12.20). При этом в точке С обеих колонн сжимающие напряжения оказались одинаковыми. Сравнить напряжения в точках В обеих колонн.

Рис.12.20

Решение:

1. Обозначим высоту второй колонны буквой и, учитывая, что для второй колонны размер , вычислим для каждой колонны квадраты радиусов инерции сечений относительно оси .

Для первой (левой) колонны:

;

Для второй (правой) колонны:

.

2. Определяем напряжение в точке С для первой колонны:

. (а)

3. Определяем напряжение в точке С для второй колонны:

. (б)

---

4. По условию задачи нормальные напряжения в точке С для обеих колонн одинаковы, т.е. . Приравнивая выражения (а) и (б), выражаем силу через силу :

. (в)

5. Вычисляем нормальные напряжения в точке В сечения для первой колонны:

. (г)

5. Вычисляем нормальные напряжения в точке В сечения для второй колонны:

. (д)

6. Напряжение . Составим их отношение:

Таким образом, напряжение в первой колонне на 20% выше, чем во второй.

Пример 12.8. В точках А и В колонны прямоугольного сечения приложены одинаковые силы (Рис.12.21а). Как изменится наибольшее сжимающее напряжение в колонне, если одну из сил удалить?

Решение:

1. Найдем напряжения в колонне, когда действуют две симметрично расположенные силы (Рис.12.21,б). Такое приложение сил является центральным. В этом случае нормальные напряжения от сжатия найдем из формулы:

. (а)

Рис.12.21

В каждой точке поперечного сечения напряжения одинаковы. Эпюра нормальных напряжений приведена на рис.12.21в.

2. Удалим одну из сжимающих сил, например, силу, действующую в точке А. Оставшаяся сила , действующая в точке В сечения, вызовет внецентренное сжатие. Установим опасные точки сечения. С этой целью построим нулевую линию. Уравнение нулевой линии имеет вид:

.

Решая это уравнение относительно , получим:

.

Нулевая линия совпадает с левой кромкой сечения. Напряжения в точке С, принадлежащей этой кромке, равно нулю. Наибольшее сжимающее напряжение возникнет в точке D правой кромки сечения. Вычислим эти напряжения:

. (б)

На рис.12.21,г приведена эпюра распределения нормальных напряжений по площади сечения. Максимальные по величине напряжения возникают в точке D сечения.

3. Сравнивая напряжения в точке D с напряжениями , вызванными двумя одинаковыми симметрично расположенными силами (а), приходим к выводу, что на вопрос, изменится ли наибольшее сжимающее напряжение в колонне, если одну из сил удалить, можно ответить, что наибольшее нормальное сжимающее напряжение в сечении не изменится.

12.7. Понятие о ядре сечения

Рассмотрим некоторые характерные особенности, связанные с поведением нулевой линии при различных положениях силы (Рис.12.22). Если сила приложена в центре тяжести сечения при , то нулевая линия отсекает на оси отрезок, равный бесконечности:

.

Это означает, что нулевая линия будет параллельной оси .

Пусть сила перемещается по некоторой прямой , проходящей через центр тяжести сечения, но не совпадающей ни с одной из главных осей инерции, в этом случае нулевая линия будет перемещаться параллельно самой себе (Рис.12.22). Для доказательства запишем отношение отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:

---

.

Отсюда можно сделать вывод, что тангенс угла наклона нулевой линии не зависит от численного значения координат точки приложения силы, а зависит от их отношения.

Пусть теперь сила перемещается по оси от центра тяжести к краю сечения. В этом случае нулевая линия перемещается из бесконечности по направлению к сечению, оставаясь все время параллельной оси . На рис.12.22 показаны точки приложения силы 1,2,3,4. Нулевая линия при этом соответствеенно занимает положение I-I, II-II, III-III, IV-IV.

Пусть сила перемещается по некоторой прямой , проходящей через центр тяжести сечения, но не совпадающей ни с одной из главных осей инерции, в этом случае нулевая линия будет перемещаться параллельно самой себе.

Рассмотрим еще одну характерную особенность поведения нулевой линии. Пусть сила перемещается по некоторой прямой АВ, не проходящей через центр тяжести сечения (Рис.12.23). Для двух крайних случаев, когда сила приложена в точках А и В, нулевые линии параллельны соответствующим осям и .

Рис.12.22

Пусть эти линии пересекаются в некоторой точке D. Так как эта нулевая линия принадлежит двум нулевым линиям, то напряжения в ней от двух сил, одновременно приложенных в точках А и В, равны нулю. Приложим теперь силу в точке С, лежащей на прямой АВ (Рис.12.23). Эту силу можно разложить на две параллельные составляющие и , приложенных в точках А и В. От этих двух составляющих, а следовательно, и от их равнодействующих напряжения в точке D будут равны нулю. Так как точка С была взята произвольно, то при любом положении силы на прямой АВ напряжение в точке D равно нулю.

Рис.12.23

Отсюда можно сделать вывод, что при движении точки приложения силы по прямой АВ нулевая линия вращается вокруг точки D, занимая последовательно положения , , .

Рассмотрим случай внецентренного сжатия колонны произвольного поперечного сечения. Пусть сила перемещается от центра тяжести сечения по прямой ОА (Рис.12.24). Нулевая линия также перемещаться из бесконечности по направлению к центру тяжести сечения, оставаясь все время параллельной первоначальному своему положению.

Рис.12.24

В процессе своего перемещения нулевая линия коснется сечения в какой-либо точке и займет положение I-I. Этому положению нулевой линии на прямой ОА будет соответствовать точка №1, к которой будет приложена сила . Если силу передвинуть за точку №1 дальше от центра тяжести, то нулевая линия также переместится и пересечет сечение, разделив его на сжатую и растянутую зону. Таким образом, точка №1 лежит на границе области, за пределы которой нельзя перемещать силу, если мы не хотим, чтобы в поперечном сечении появились растягивающие напряжения.

---

Точно так же на прямых ОВ и ОС можно определить точки №2 и №3, обладающие теми же свойствами, что и точка №1. Касательные II-II и III-III являются нулевыми линиями для тех случаев, когда сила приложена в точках №2 и №3.

Если теперь мысленно провести бесконечное множество прямых, исходящих из точки О, и определить на них граничные точки, то геометрическое место этих точек образуют кривую, которая вокруг центра тяжести сечения очертит некоторую область, называемую ядром сечения, т.е. область, характерную тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака.

Очень важно заранее знать размеры ядра сечения и его форму для конструкций, изготовленных из материалов, плохо работающих на растяжение (камень, бетон, чугун и т.д.). Чтобы построить ядро сечения, необходимо рассмотреть всевозможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нулевыми линиями, найти по отношению к главным осям инерции сечения соответствующие координаты граничных точек ядра сечения, а затем по этим точкам очертить само ядро.

Пример 12.9. Построить ядро сечения для прямоугольного сечения со сторонами и (Рис.12.25,а).

Рис.12.25

Решение:

1. Зададим положение для нулевой линии I-I таким образом, чтобы нулевая линия коснулась сечения и совпала с его верхней кромкой. В этом случае, отрезок, который нулевая линия отсечет на оси , будет равен . Отрезок .

2. Из уравнения нулевой линии находим граничное положение точки приложения силы  координаты точки №1:

. . (а)

3. Зададим положение для нулевой линии II-II таким образом, чтобы нулевая линия коснулась сечения и совпала с его правой кромкой. В этом случае, отрезок, который нулевая линия отсечет на оси , будет равен . Отрезок .

4. Из уравнения нулевой линии находим граничное положение точки приложения силы  координаты точки №2:

. . (б)

5. Задавая подобным образом положение для нулевой линии III-III и IV-IV, найдем координаты точек №3 и №4:

. ; (в)

. . (г)

6. Откладываем найденные координаты от осей координат и строим точки №1, №2, №3 и №4. Чтобы установить, каким образом соединять точки №1, №2, №3 и №4, будем вращать нулевую линию, проходящую через точку А сечения, переводя ее из положения I-I в положение II-II. На основании доказанного выше в этом случае любая точка, лежащая на отрезке 1-2, будет перемещаться по прямой линии. Поэтому, завершая построение ядра сечения, соединяем точки приложения силы №1, №2, №3 и №4 прямыми линиями (Рис.12.25,а).

Ядро сечения для прямоугольного сечения представляет собой ромб. Такую же форму будет иметь ядро сечения для любой фигуры, которая имеет две оси симметрии и вписывается в прямоугольник, например, двутавр (Рис.12.25,б).

---

Для круглого сплошного сечения радиуса ввиду его полярной симметрии ядро сечения также имеет форму круга, радиус которого найдем из формулы:

. (12.36)

12.8. Изгиб с кручением

Различные детали машин, такие как распределительные валы, оси моторных вагонов электропоездов и трамваев, коленчатые валы, валы редукторов и т.д. испытывают одновременное действие изгиба и кручения. При этом давление зубьев на шестерни, натяжение ремней, собственный вес вала и шкивов вызывают в поперечных сечениях вала следующие внутренние силовые факторы: изгибающие моменты и , крутящий момент , поперечные силы . Влиянием поперечных сил при изгибе с кручением, как правило, пренебрегают. Таким образом, в любом поперечном сечении возникают нормальные напряжения от изгиба в одной или двух плоскостях и касательные напряжения от кручения.

Прежде, чем приступать к непосредственному расчету валов на изгиб с кручением, необходимо найти опасные сечения и установить вид нгапряженного состояния, возникающего в детали.

Рассмотрим ломаный стержень круглого поперечного сечения, защемленный на одном конце и свободный на другом (Рис.12.26а).

Рис.12.26

Расчетная схема ломаного стержня предсталена на рис.12.26,б.

Чтобы найти опасное сечение, разложим сложный вид сопротивления, каким является изгиб с кручением, на простые: плоский поперечный изгиб и кручение. Для этого приложим в точке В две равные по величине и противоположно направленные силы . Две из этих сил создадут пару сил с моментом . Таким образом, элемент ломаного стержня АВ испытывает плоский поперечный изгиб, а элемент ВС испытывает изгиб с кручением. Построим эпюры изгибающих и крутящих моментов для элемента стержня ВС (Рис.12.27,а).

Применяя принцип суперпозиции, нагрузим элемент ВС только силой (Рис.12.27,б) и построим эпюру изгибающих моментов от этой силы (Рис.12.27,в).

Нагрузим элемент ВС только внешним моментом (Рис.12.27г), вычислим крутящий момент и построим эпюру крутящих моментов (Рис.12.27,д).

Анализируя вид эпюр, представленных на рис.12.27,в и 12.27,д, приходим к выводу, что наиболее опасным является сечение С, так как в этом сечении возникает наибольший изгибающий момент и наибольший крутящий момент .

Рис.12.27

Найдем теперь опасные точки в сечении С (Рис.12.28,а). Для этого вычислим в опасном сечении максимальные нормальные напряжения от изгиба и наибольшие касательные напряжения от кручения и построим эпюры распределения нормальных (Рис.12.28,б) и касательных напряжений (Рис.12.28,в).

Рис.12.28

Опасными точками в сечении С являются точки D и К. При изгибе нормальные напряжения определяются по формуле (5.13):

.

Максимальные нормальные напряжения возникают в наиболее удаленных точках поперечного сечения. Такими точками являются точки D и К. Напряжения в этих точках найдем с использованием формулы (5.15):

---