ТЕМА 11

СДВИГ. КРУЧЕНИЕ

11.1. Понятие о сдвиге. Расчет на срез

Многие конструкции, соединительные элементы (болты и заклепки), сварные и клеевые соединения испытывают деформацию сдвига. Сдвиг относится к числу простых видов деформации, когда из шести компонентов главного вектора внутренних сил и главного момента лишь поперечные силы и не равны нулю. Используя полученные выше интегральные зависимости между напряжениями и внутренними силовыми факторами, установим связь между поперечными силами и касательными напряжениями при сдвиге:

;

.

Запишем формулы для напряжений, необходимые при расчете на срез элементов конструкций, имеющих форму бруса. Выполним это на примере резания ножницами полосы (Рис.11.1). Деформация сдвига в полосе вызывается внешними силами , приложенными на близком расстоянии друг от друга и действующими в противоположных направлениях. При этом в поперечном сечении полосы возникают касательные напряжения и поперечная сила как их интегральная сумма.

Рис.11.1

Поперечная сила в сечении . Опуская в дальнейшем индексы при и , получим интегральную связь между поперечной силой и касательными напряжениями в виде:

. (11.1)

Будем считать, что касательные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения полосы. Тогда из выражения (11.1) получим формулу для касательных напряжений в поперечном сечении:

. (11.2)

Принятое допущение о равномерном распределении касательных напряжений по площади поперечного сечения полосы весьма условно. Тем не менее, в инженерных расчетах этим допущением широко пользуются, например, при расчете болтовых, заклепочных и сварных соединений, шпонок, врубок и т.д.

При расчете на срез необходимо знать величину допускаемого напряжения . Экспериментально эту величину установить сложно, так как деформация сдвига часто сопровождается другими видами деформации, главным образом, изгибом. Поэтому мы установим величину , исследуя напряженное состояние, возникающее при чистом сдвиге.

11.2. Понятие о чистом сдвиге

Чистым сдвигом будем называть такой вид плоского напряженного и деформированного состояния, при котором на двух взаимно перпендикулярных площадках, ороиентированных определенным образом, действуют только касательные напряжения.

Этот вид напряженного состояния возникает в том случае, если на двух взаимно перпендикулярных площадках будут действовать главные напряжения, равные по величине и противоположные по знаку (Рис.11.2). В этом случае в площадках, наклоненных под углом 45⁰ к главным площадкам, будут действовать только касательные напряжения, величина которых будет равна величине главных нормальных напряжений.

---

Рис.11.2

Указанные площадки называют площадками чистого сдвига. Принимая эти площадки за исходные (Рис.11.3) и полагая в формулах (9.11) и (9.12) , , получим:

. (11.3)

. (11.4)

Рис.11.3

Формула (11.3) указывает, что обращается в ноль только на площадках чистого сдвига (при или ). На всех других площадках напряжения не равны нулю (Рис.11.4).

Рис.11.4

Интересно отметить следующую особенность нормальных напряжений при чистом сдвиге: на любых взаимно перпендикулярных площадках нормальные напряжения равны и противоположны по знаку ( ). Это следует из формулы (11.3): . Таким образом, при чистом сдвиге наблюдается своеобразный закон парности нормальных напряжений, по форме аналогичный закону парности касательных напряжений. Отсюда следует, что при чистом сдвиге главные напряжения удовлетворяют условию .

Как уже отмечалось выше в практических приложениях чистый сдвиг встечается крайне редко. Тем не менее, существует возможность исследовать деформацию чистого сдвига экспериментально. Типичным примером тела, во всех точках которого имеет место чистый сдвиг, является скручиваемая тонкостенная труба. Деформация кручения часто используется для экспериментального изучения работы материалов на сдвиг, так как практически не удается создать напряженное состояние чистого сдвига путем непосредственного приложения касательных напряжений к кромкам исследуемого тела.

11.3. Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге

Исследуем напряженное состояние при чистом сдвиге: определим величину экстремальных нормальных напряжений и их направление. Для этого воспользуемся полученными в теме №9 выражениями (9.19) для величин главных напряжений и (9.20) для определения их направления.

Подставляя в формулы (9.19) , , получим: . Откуда , .

Направление главного напряжения из формул (9.20):

, откуда ;

, откуда .

Для определения положения главных площадок найденные углы будем откладывать от положительного направления оси до нормали к ссответствующей площадке (Рис.11.5).

Рис.11.5

Таким образом, при чистом сдвиге главные напряжения – сжимающие и расиягивающие – равны между собой и численно равны экстремальным касательным напряжениям. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45⁰.

На рис.11.5 пунктиром показано ромб , в который превратился квадрат в результате деформации. Как видно из рис.11.5, изменились прямые углы элемента , изменили свою длину диагонали элемента : диагональ ас под действием растягивающих напряжений удлинилась, диагональ cd – укоротилась. Стороны же элемента не изменяют своей длины, так как на гранях элемента отсутствуют нормальные напряжения. Очевидно, объем элемента в процессе деформации не изменился.

---

Действительно, чистый сдвиг представляет собой единственный вид плоского напряженного состояния, при котором отсутствует изменение объема материала, а любой выделенный элемент меняет только форму. Чтобы это показать, вычислим с помощью формулы (9.82) относительное изменение объема при и :

.

Как и следовало ожидать, относительное изменение объема оказалось равным нулю.

10.4. Закон Гука при чистом сдвиге. Вывод зависимости между модулями упругости первого и второго рода

Рассмотрим деформацию элемента, ограниченного площадками чистого сдвига (Рис.11.6).

Рис.11.6

Величину называют абсолютным сдвигом. Из треугольника ; учитывая малость угла , можно принять , откуда следует:

. (11.5)

Величину в формуле (11.5) называют относительным сдвигом или углом сдвига.

Рассмотрим некоторые результаты экспериментальных исследований. Если скручивать тонкостенную трубу из пластичной стали, то между касательными напряжениями и углом сдвига можно обнаружить зависимость, график которой представляет собой так называемую диаграмму сдвига (Рис.11.7), напоминающую собой диаграмму напряжений при осевом растяжении. Здесь так же, как и на диаграмме напряжений при растяжении можно обнаружить такие характеристики прочности, как предел пропорциональности , предел текучести , предел прочности . Так же, как и при растяжении при постоянном напряжении наблюдается значительный рост сдвигов (текучесть при сдвиге), сменяющейся затем стадией упрочнения.

Рис.11.7

Из диаграммы сдвига следует, что в пределах упругости между относительным сдвигом и касательными напряжениями существует линейная зависимость, которая может быть выражена в форме закона Гука при сдвиге:

, (11.6)

где  модуль упругости при сдвиге или модуль упругости второго рода. Размерность модуля упругости (МПа). Для каждого материала модуль упругости имеет свое значение. Так, для стали МПа; для алюминия МПа. Величина модуля сдвига определяется экспериментально.

Расчеты показали, что для изотропных материалов между модулем сдвига и модулем упругости при растяжении существует зависимость. Найдем ее. Для этого рассмотрим деформацию элемента, испытывающего чистый сдвиг (Рис.11.6). Выразим длину диагонали АС через размер стороны элемента :

.

Абсолютное удлинение диагонали элемента , выраженное через абсолютный сдвиг , имеет вид:

.

Тогда относительное удлинение диагонали

.

Относительный сдвиг из закона Гука при чистом сдвиге (11.6) равен:

.

Подставляя значение относительного сдвига, выраженное, через величину касательных напряжений, в предыдущую формулу, получим:

---

. (11.7)

Для дальнейшего вывода воспользуемся обобщенным законом Гука (9.73). В соответствии с этим законом наибольшая относительная линейная деформация совпадает по направлению с главным напряжением , которое в свою очередь в рассматриваемом случае напряженного состояния действует вдоль диагонали АС. Следовательно, полученное удлинение (11.7) может быть вычислено как наибольшая деформация из обобщенного закона Гука при :

.

Учитывая, что при чистом сдвиге , а , получим выражение для в следующем виде:

. (11.8)

Из сравнения формул (11.7) и (11.8) найдем:

. (11.9)

Формула (11.9) показывает, что три упругие постоянные изотропного материала и связаны между собой. Найдя из опыта две из них, можно третью посчитать по формуле (11.9). Например, для стали при МПа и коэффициенте Пуассона значение модуля сдвига найдем из формулы (11.9):

МПа.

Это значение для модуля сдвига совпадает с экспериментальным значением.

Запишем выражение для абсолютного сдвига при чистом сдвиге. Обозначая площадь грани элемента (Рис.11.6) через , равнодействующую сдвигающую силу , получим:

, т.е. . (11.10)

Формула (11.10) выражает закон Гука при сдвиге в абсолютных величинах.

Произведение модуля сдвига на площадь в знаменателе формулы (11.10) называется жесткостью поперечного сечения при сдвиге.

10.5. Потенциальная энергия при чистом сдвиге

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига (Рис.11.9,а), работу совершает только касательная сила , приложенная к его верхней грани на перемещении .

Рис.11.8

Примем размер элемента, перпендикулярный рисунку, равным единице. Тогда сила . Работа этой силы по теореме Клапейрона (7.7) равна:

. (11.11)

Потенциальная энергия численно равняется работе внешних сил:

. (11.12)

Учитывая, что , , выражение для потенциальной энергии получим в виде:

. (11.13)

Выражение для удельной потенциальной энергии при чистом сдвиге получим, разделив полную потенциальную энергию (11.13) на объем элемента :

. (11.14)

Выражая удельную потенциальную энергию только через касательные напряжения с помощью закона Гука (11.7), получим:

. (11.15)

11.7. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге

При расчетах элементов конструкций, работающих на сдвиг и кручение, важно знать допускаемые касательные напряжения. Ранее было отмечено, что постановка эксперимента на чистый сдвиг осуществляется весьма сложно. В результате получить достоверные данные для опасных напряжений, а, следовательно, и для допускаемых напряжений, тоже сложно. Между тем, существует возможность найти допускаемые величины для касательных напряжений по допускаемым нормальным напряжениям , исследуя напряженное состояние при чистом сдвиге, с помощью теорий прочности.

---

Примем для чистого сдвига ; ; .

Условие прочности составим по второй, третьей и четвертой теориям:

1. По второй теории

. (11.16)

Подставляя значения главных напряжений, получим:

. (11.17)

Правая часть формулы (11.17) представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге:

(11.18)

Для металлов . Следовательно, по второй теории прочности

. (11.19)

2. По третьей теории прочности

или .

Откуда

. (11.20)

Допускаемое напряжение по третьей теории при чистом сдвиге

. (11.21)

3. По четвертой теории прочности

.

Подставляя значения главных напряжений, получим:

. (11.22)

Следовательно,

. (11.23)

Следует отметить, что для пластичных материалов при расчете заклепочных, болтовых, сварных соединений обычно используют допускаемое напряжений применяют формулу (11.23), полученную на основании четвертой теории прочности. Если в качестве допускаемого нормального напряжения принять МПа, то допускаемое касательное напряжение МПа. Обычно принимают МПа.

Условие прочности на срез имеет вид:

. (11.24)

11.8. Кручение. Крутящий момент. Эпюры крутящих моментов

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Все остальные внутренние усилия – нормальная и поперечная силы, изгибающи й момент при кручении отсутствуют. Кручение испытывают многие детали машин и сооружений: валы двигателей и станков, оси моторных вагонов и двигателей, элементы пространственных конструкций и т.д. Как показали исследования, характер деформации скручиваемого стержня зависит от формы его поперечного сечения. Особое место среди стержней, подвергаемых кручению, принадлежит стержням с круглым поперечным сечением. Такие стержни, испытывающие кручение, называют валами.

К скручиваемому стержню в разных его сечениях может быть приложено несколько внешних моментов. Рассмотрим случай, когда все внешние моменты взаимно уравновешены и действуют в плоскостях, прерпендикулярных оси стержня (Рис.11.9,а):

(11.25)

Рис.11.9

Для определения крутящего момента в каком-либо сечении стержня воспользуемся правилом, полученном при использовании метода сечений, изложенном в теме №1. На основании этого правила главный вектор и главный момент всех внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении на оставшуюся часть тела, равняются соответственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил, приложенных к отброшенной части тела.

Таким образом, чтобы определить крутящий момент , необходимо просуммировать все внешние моменты, действующие по одну сторону от рассматриваемого сечения. Слева от сечения III, в котором определяется крутящий момент, действуют внешние моменты и . Следовательно, крутящий момент в сечении III будет равен:

---