ТЕМА 12

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

12.1. Основные понятия и определения. Классификация видов сложного сопротивления

В предыдущих темах были изложены методы расчета элементов конструкций и деталей машин, которые испытывали один из простых видов деформации (осевое растяжение и сжатие, плокий поперечный изгиб, сдвиг или кручение). В каждом из этих простых видов деформации в поперечном сечении элемента действовал один внутренний силовой фактор – продольная сила при осевом растяжении или сжатии, поперечная сила  при сдвиге, крутящий момент  при кручении, изгибающий момент  при чистом изгибе. Исключение составил лишь плоский поперечный изгиб, так как в поперчных сечениях бруса при этом виде деформации имели место поперечная сила и изгибающий момент . Но, учитывая то, что касательные напряжения при плоском поперечном изгибе имеют обычно второстепенное значение, этот вид изгиба относят также к числу простых видов деформации.

На практике кроме простых видов деформации часто встречаются случаи, когда в результате действия нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно появляются несколько внутренних сил, влиянием которых нельзя пренебречь. В этом случае вид деформации, возникающий в брусе, называется сложным сопротивлением. К числу таких видов сложного сопротивления можно отнести следующие:

• пространственный и косой изгиб;

• изгиб с растяжением (сжатием);

• внецентренное растяжение или сжатие;

• изгиб с кручением;

• кручение с растяжением или сжатием.

Возможны и другие виды сложной деформации с более сложной комбинацией внутренних силовых факторов.

Принципиально нового задачи сложного сопротивления не вносят, так как совместное действие внутренних факторов приводит к напряженному состоянию, которое можно получить суммирований напряженных состояний, вызванным каждым видом простого нагружения в отдельности.

Принцип суперпозиции (суммирования действия сил) широко применяется в сопротивлении материалов, когда деформации малы и подчиняются закону Гука. Тем не менее, здесь не все так просто. Если пренебречь влиянием поперечных сил, то принцип простого суммирования действия сил может быть применен к таким из перечисленных выше видам сложного сопротивления, как пространственный изгиб, косой изгиб и изгиб с растяжением. К этим же видам сложного сопротивление можно отнести и внецентренное растяжение и сжатие. В то же время принцип суммирования действия сил неприменим к таким видам сложного сопротивления, как изгиб с кручением, кручение с растяжением или сжатием и вообще ко всем видам сложного сопротивления, при которых возникает сложное напряженное состояние. В связи с этим все виды сложного сопротивления следует разделить на те виды, при которых возникает линейное напряженное состояние, и, следовательно, применим принцип простого суммирования напряжений при составлении условий прочности, и те виды, при которых возникает сложное напряженное состояние, и при составлении условий прочности принцип простого суммирования напряжений неприменим, а для оценки прочности используют теории прочности.

---

Таким образом, все виды сложного сопротивления условно можно разделить на две группы:

• виды сложного сопротивления, при которых возникает линейное напряженнное состояние;

• виды сложного сопротивления, при которых возникает сложное напряженное состояние.

К первой группе видов сложного сопротивления могут быть отнесены, как уже отмечалось выше, пространственный и плоский косой изгиб, изгиб с растяжением, внецентренное растяжение или сжатие. Ко второй группе – изгиб с кручением, кручение с растяжением или сжатием, общий случай сложного сопротивления. У каждой из этих групп имеются свои подходы и своя методика расчета. Рассмотрим методики расчета элементов конструкций, испытывающих сложное сопротивление, относящиеся к разным группам по типу напряженного состояния.

12.2. Методика расчета на прочность при сложном сопротивлении первой группы

Рассмотрим фрагмент стержня, испытывающего действие внешних нагрузок, при которых в поперечном сечении возникают пять внутренних силовых факторов, исключая крутящий момент: . Влиянием поперечных сил будем пренебрегать. Тогда в поперечном сечении стержня останутся действовать только три внутренних силовых фактора (Рис.12.1).

Каждый из приведенных внутренних силовых факторов является интегральной суммой нормальных напряжений, возникающих в продольных волокнах стержня. Напряженное состояние, которое при этом возникнет, будет линейным. Следовательно, для определения расчетного напряжения можно использовать принцип простого суммирования нормальных напряжений.

Выберем произвольным образом точку К и вычислим в этой точке нормальные напряжения, пользуясь принципом суперпозиции:

, (12.1)

где: ; ; .

Подставляя значения напряжений в формулу (12.1), получим:

. (12.2)

Рис.12.1

Знак перед каждым из слагаемых в формуле (12.2) выбираем такой, какой бы имело нормальное напряжение для каждого из соответствующих простых видов деформации, т.е. из физических соображений. В качестве примера покажем знаки, которые бы имело нормальное напряжение в каждой из четвертей координат для случая, приведенного на рис.12.1 от каждого из простых видов деформации (Рис.12.2).

Рис.12.2

Таким образом, нормальные напряжения в точке К будут иметь такие знаки:

.

При определении максимальных напряжений нужно знать координаты точек, в которых эти напряжения возникают. Из формулы (12.2) следует, что наибольшие нормальные напряжения возникают в наиболее удаленных точках сечения от так называемой нулевой линии сечения. Нулевой линией будем называть геометрическое место точек, нормальное напряжение в которых равно нулю. При плоском поперечном изгибе положение нулевой (нейтральной) линии известно – эта линия проходит через центр тяжести сечения. Так ли это в общем случае сложного сопротивления? Чтобы это выяснить, вычислим в любой из точек нулевой линии нормальные напряжения, воспользовавшись формулой (12.2). В качестве координат произвольной точки нулевой линии возмем координаты и . Напряжения в такой точке будут равны:

---

. (12.3)

Уравнение (12.3) представляет собой уравнение нулевой линии. Знаки перед каждым из слагаемых выбираются такими, как если бы его (знак) имело нормальное напряжение для точки поперечного сечения, принадлежащей первому квадранту. В нашем случае (Рис.12.1) уравнение (12.3) принимает вид:

. (12.4)

Анализируя уравнение (12.4), можно сделать вывод, что нулевая линия является прямой линией, так как коордиты ее точек и входят в это уравнение в первой степени. Нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения, так как при координата . В дальнейшем при изучении отдельных видов сложного сопротивления мы отметим и некоторые другие особенности поведения нулевой линии.

Составим теперь уравнение прочности для общего случая сложного сопротивления (для первой группы). Максимальные напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Обозначим координаты одной из таких точек и . Тогда условие прочности будет иметь вид:

. (12.5)

В частном случае, если поперечное сечение имеет вид прямоугольника, опасными точками будут угловые точки сечения. В этом случае условие прочности имеет вид:

. (12.6)

На рис.12.3 показан один из вариантов распределения нормальных напряжений в общем случае (в рамках первой группы) сложного сопротивления для сечения прямоугольной формы.

Рис.12.3

Сфомулируем порядок расчета на прочность при сложном сопротивлении:

1. Раскладываем произвольную пространственную систему сил на составляющие, действующие в главных плоскостях инерции бруса.

2. Строим эпюры внутренних усилий в главных плоскостях инерции.

3. Определяем положение опасных сечений – тех сечений, в которых внутренние усилия одновременно велики.

4. Составляем уравнение нулевой линии (12.4) и строим ее для всех опасных сечений.

5. Определяем координаты опасных точек (наиболее удаленных от нулевой линии) для всех опасных сечений.

6. Вычисляем напряжения в опасных точках и проверяем прочность бруса по формуле (12.5).

Для частного случая, когда сечение имеет две оси симметрии и вписывается в прямоугольник так, что все вершины прямоугольника принадлежат сечению, опасная точка всегда лежит в одной из вершин и условие прочности приобретает вид (12.6). В этом случае можно не выполнять пункты №4 и №5.

Рассмотрим подробнее каждый из видов сложного напряжения первой группы.

12.3. Пространственный (сложный) изгиб

Пространственным изгибом называется такой вид сложного сопротивления, при котором в поперечном сечении бруса действуют только изгибающие моменты и . Полный изгибающий момент при этом действует ни в одной из главных плоскостей инерции. Продольная сила отсутствует. Пространственный или сложный изгиб часто называют неплоским изгибом, так как изогнутая ось стержня не является плоской кривой. Такой изгиб вызывается силами, действующими в разных плоскостях перепендикулярно оси балки (Рис.12.4).

---

Рис.12.4

Следуя порядку решения задач при сложном сопротивлении, изложенному выше, раскладываем пространственную систему сил, паредставленную на рис. 12.4, на две такие, чтобы каждая из них действовала в одной из главных плоскостей. В результате получаем два плоских поперечных изгиба – в вертикальной и горизонтальной плоскости. Из четырех внутренних силовых факторов, которые при этом возникают в поперечном сечении балки , будем учитывать влияние только изгибающих моментов . Строим эпюры , вызванных соответственно силами (Рис.12.4).

Анализируя эпюры изгибающих моментов, приходим к выводу, что опасным является сечение А, так как именно в этом сечении возникают наибольшие по величине изгибающие моменты и . Теперь необходимо установить опасные точки сечения А. Для этого построим нулевую линию. Уравнение нулевой линии с учетом правила знаков для членов, входящих в это уравнение, имеет вид:

. (12.7)

Здесь принят знак “” возле второго члена уравнения, так как напряжения в первой четверти, вызванные моментом , будут отрицательными.

Определим угол наклона нулевой линии с положительным направлением оси (Рис.12.6):

. (12.8)

Рис.12.5

Из уравнения (12.7) следует, что нулевая линия при пространственном изгибе является прямой линией и проходит через центр тяжести сечения.

Из рис.12.5 видно, что наибольшие напряжения возникнут в наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения №2 и №4. По величине нормальные напряжения в этих точках будут одинаковами, но по знаку отличаются: в точке №4 напряжения будут положительными, т.е. растягивающими, в точке №2 – отрицательными, т.е. сжимающими. Знаки этих напряжений были установлены из физических соображений.

Теперь, когда опасные точки установлены, вычислим максимальные напряжения в сечении А и проверим прочность балки с помощью выражения:

. (12.9)

Условие прочности (12.9) позволяет не только выполнить проверку прочности балки, но и подобрать размеры ее поперечного сечения, если задано соотношение сторон поперечного сечения.

12.4. Косой изгиб

Косым называется такой вид сложного сопротивления, при котором в поперечных сечениях балки возникают только изгибающие моменты и , но в отличие от пространственного изгиба все силы, приложенные к балке, действуют в одной (силовой) плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции. Этот вид изгиба наиболее часто встречается в практике, поэтому исследуем его подробнее.

Рассмотрим консольную балку, нагруженную силой , как показано на рис 12.6, и выполненную из изотропного материала.

Рис.12.6

Так же, как и при пространственном изгибе, при косом изгибе отсутствует продольная сила. Влиянием поперечных сил при расчете балки на прочность будем пренебрегать.

---

Расчетная схема балки, изображенной на рис.12.6, приведена на рис.12.7.

Рис.12.7

Разложим силу на вертикальную и горизонтальную составляющие и от каждой из этих составляющих построим эпюры изгибающих моментов и .

Вычислим составляющие полного изгибающего момента в сечении :

; .

Полный изгибающий момент в сечении равен

.

Таким образом, составляющие полного изгибающего момента можно выразить через полный момент следующим образом:

; . (12.10)

Из выражения (12.10) видно, что при косом изгибе нет необходимости раскладывать систему внешних сил на составляющие, так как эти составляющие полного изгибающего момента связаны друг с другом с помощью угла наклона следа силовой плоскости . В результате отпадает необходимость в построении эпюр составляющих и полного изгибающего момента. Достаточно построить эпюру полного изгибающего момента в силовой плоскости, а затем, воспользовавшись выражением (12.10), определить составляющие полного изгибающего момента в любом интересующем нас сечении балки. Полученный вывод существенно упрощает решение задач при косом изгибе.

Подставим значения составляющих полного изгибающего момента (12.10) в формулу для нормальных напряжений (12.2) при . Получим:

. (12.11)

Здесь знак “” возле полного изгибающего момента проставлен специально с той целью, чтобы автоматически получать правильный знак нормального напряжения в рассматриваемой точке поперечного сечения. Полный изгибающий момент и координаты точки и берутся со своими знаками при условии, что в первом квадранте знаки координат точки принимаются положительными.

Формула (12.11) была получена из рассмотрения частного случая косого изгиба балки, защемленной одним концом и нагруженной на другом сосредоточенной силой. Тем не менее, эта формула является общей формулой для вычисления напряжений при косом изгибе.

Опасным сечением, как и при пространственном изгибе в рассматриваемом случае (Рис.12.6), будет сечение А, так как в этом сечении возникает наибольший по величине полный изгибающий момент. Опасные точки сечения А определим, построив нулевую линию. Уравнение нулевой линии получим, вычислив с помощью формулы (12.11) нормальные напряжения в точке с координатами и , принадлежащей нулевой линии и приравняем найденные напряжения нулю. После несложных преобразований получим:

(12.12)

или

. (12.13)

Здесь  угол наклона нулевой линии к оси (Рис.12.8).

Рис.12.8

Исследуя уравнения (12.12) и (12.13), можно сделать некоторые выводы о поведении нулевой линии при косом изгибе:

1. Нулевая линия является прямой линией.

2. Нулевая линия проходит через центр тяжести поперечного сечения.

3. Нулевая линия пересекает те четверти координат, которые не пересекает след силовой плоскости.

4. Нулевая линия в общем случае не перпендикулярна следу силовой плоскости. В частном случае при равенстве моментов инерции и (круг, квадрат) , , угол является дополнением к углу . При этом . Из этого можно сделать вывод, что для сечений, у которых моменты инерции относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей равны ( ), косой изгиб не возникает.

5. Если , то угол раскрывается больше, чем прямой, нейтральная линия отклоняется к той оси, относительно которой момент инерции минимален.

---