В результаті землевпорядного обстеження в КСП виявлені площі земель, які можуть бути трансформовані в більш цінні угіддя (табл.1). Площу ріллі можливо трансформувати в сади і ріллю зрошувану, пасовища і болота доцільно трансформувати в ріллю богарну і культурні пасовища. За умов господарської діяльності площа садів не повинна перевищувати 200 га, а культурних пасовищ – 140 га.

В таблиці 1 вказано затрати на трансформацію 1 га в проектуємі угіддя: в числівнику – грошових ресурсів ( грн/га ), в знаменнику – затрат труда ( чол.-дн./га).

Таблиця 1.

Угіддя, які підлягають трансформації	Запроектовані угіддя				Площа угідь, придатних для трансформації, га
	сади	рілля зрошувана	рілля богарна	культурні пасовища
П ашня богарна	1100 160	660 110			933,0
Пасовища			2 0 2,8	2 20 7,5	178,0
Б олота			320 22	500 28	130,0
Вартість валової продукції з 1 га угідь, які проектуються	1253	1104	245	179

Господарство на проведення робіт, пов’язаних з трансформацією менш продуктивних угідь в більш продуктивні, може виділити 700000 грн. грошових ресурсів і 135000 чол.-дн. трудових ресурсів.

Знайти таке сполучення угідь, що проектуються, щоб при заданих ресурсах одержати максимальний вихід продукції в грошовому вираженні.

Порядок моделювання і рішення економіко-математичної задачі:

1. Невідомими в задачі позначимо:

х₁ – площа ріллі богарної, яка трансформується в сади;

х₂ – площа ріллі богарної, яка трансформується в ріллю зрошувану;

х₃ – площа пасовищ, яка трансформується в ріллю богарну;

х₄ – площа пасовищ, яка трансформується в культурні пасовища;

х₅ – площа боліт, яка трансформується в ріллю богарну;

х₆ – площа боліт, яка трансформується в культурні пасовища.

2. Ресурси позначимо:

в₁ – 933 га – площа ріллі богарної, яка може трансформуватись;

в₂ – 178 га – площа пасовищ, яка може бути трансформована;

в₃ – 130 га – площа боліт, виділена для цілей трансформації;

в₄ – 200 га – максимально допустима площа садів;

в₅ – 140 га – максимально допустима площа культурних пасовищ;

в₆ –700000 га – виділені грошові ресурси для цілей трансформації;

в₇ – 135000 га – виділені трудові ресурси для цілей трансформації.

3. Техніко-економічними коефіцієнтами в задачі позначимо:

а₁₁ = а₁₂ = 1 – одиниця вимірювання площі ріллі богарної для трансформації її в сади та в ріллю зрошувану;

а₂₃ = а₂₄ = 1 – одиниця вимірювання площі пасовищ, придатних для трансформації в ріллю богарну і культурні пасовища;

а₃₅ = а₃₆ = 1 – одиниця вимірювання площі боліт, придатних під ріллю богарну і культурні пасовища;

а₄₁=1 – одиниця вимірювання площі ріллі богарної для трансформації її в сади;

а₅₄ = а₅₆ = 1 – одиниця вимірювання площ пасовищ та боліт для трансформації в культурні пасовища;

а₆₁ – 1100 грн/га – витрати грошових ресурсів на трансформацію 1 га ріллі богарної в сади;

а₆₂ – 660 грн/га – витрати грошових ресурсів на трансформацію 1 га ріллі богарної в ріллю зрошувану;

а₆₃ – 20 грн/га – витрати грошових ресурсів на трансформацію 1 га пасовищ в ріллю богарну;

а₆₄ – 220 грн/га – витрати грошових ресурсів на трансформацію 1 га пасовищ в культурні пасовища;

а₆₅ – 320 грн/га – витрати грошових ресурсів на трансформацію 1 га боліт в ріллю богарну;

а₆₆ – 500 грн/га – витрати грошових ресурсів на трансформацію 1 га боліт в культурні пасовища.

Витрати трудових ресурсів на 1 га трансформації:

а₇₁–160 чол.-дн/га- ріллі богарної в сади;

а₇₂ – 110 чол.-дн/га – ріллі богарної в ріллю зрошувану;

а₇₃ – 2,8 чол.-дн/га – пасовищ в ріллю богарну;

а₇₄ – 7,5 чол.-дн/га – пасовищ в культурні пасовища;

а₇₅ – 22 чол.-дн/га – боліт в ріллю богарну;

а₇₆ – 28 чол.-дн/га – боліт в культурні пасовища.

5. Коефіцієнти при невідомих цільової функції позначають вихід валової продукції в грошовому вираженні з 1 га угідь, що проектуються:

с₁ – 1253 ц – вихід валової продукції з 1 га садів;

с₂ – 1104 ц – вихід валової продукції з 1 га ріллі зрошуваної;

с₃ , с₅ – 245 ц – вихід валової продукції з 1 га ріллі богарної;

с₄ , с₆ – 179 ц – вихід валової продукції з 1 га культурних пасовищ.

Запишемо економіко-математичну модель задачі в розгорнутому вигляді, згідно із прийнятими умовними позначеннями.

Знайти: Fmax = с₁х₁ + с₂х₂ + с₃х₃ + с₄х₄ + с₅х₅ + с₆х₆

при умовах:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ ≤ в₁

а₂₃х₃ + а₂₄х₄ ≤ в₂

а₃₅х₅ + а₃₆х₆ ≤ в₃

а₄₁х₁≤ в₄

а₅₄ х₄ + а₅₆х₆ ≤ в₅

а₆₁х₁ + а₆₂х₂ + а₆₃х₃ + а₆₄х₄ + а₆₅х₅ + а₆₆х₆ ≤ в₆

а₇₁х₁ + а₇₂х₂ + а₇₃х₃ + а₇₄х₄ + а₇₅х₅ + а₇₆х₆ ≤ в₇

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0; х₄ ≥ 0; х₅ ≥ 0; х₆ ≥ 0.

В загальному / скороченому / вигляді задача запишеться:

Знайти: F_max =

п ри умовах

( i = 1 )

( i = 2 )

( i = 3 )

( i = 4 )

( i = 5 )

( i = 6 )

( i = 7 )

x j ≥ 0 ( j = 1..6 )

В розгорнутий запис економіко-математичної моделі задачі підставляємо значення техніко-економічних коефіцієнтів і ресурсів.

Знайти: F_max = 1253x₁ + 1104x₂ + 245x₃ + 179x₄ + 245x₅ + 179x₆

при умовах:

x₁ + x₂ ≤ 900,0;

x₃ + x₄ ≤ 178,0;

x₅ + x₆ ≤ 130,0;

x₁ ≤ 200,0;

x₄ + x₆ ≤ 140,0;

1100x₁ + 660x₂ + 20x₃ + 220x₄ + 320x₅ + 500x₆ ≤ 661000;

160x₁ + 110x₂ + 2.8x₃ + 7.5x₄ + 22x₅ + 28x₆ ≤ 135000;

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0; x₃ ≥ 0; x₄ ≥ 0; x₅ ≥ 0; x₆ ≥ 0.

Щоб знайти економічний оптимум, потрібно вирішити цю систему нерівностей, для чого необхідно привести її до канонічного вигляду, де всі умови подаються у вигляді рівнянь. Для цього до лівих частин нерівностей додаються позитивні перемінні x_n+1, які називаються додатковими невідомими. В цільову функцію додаткові перемінні вводяться з нульовими коефіцієнтами.

Додаткові невідомі позначають:

x₇ – площа ріллі богарної, яка може бути не трансформована;

x₈ – площа пасовищ, яка може бути не трансформована;

x₉ – площа боліт, яка може бути не трансформована;

x₁₀ – площа садів, якої не вистачає до максимально допустимої площі цих садів в господарстві;

x₁₁ – площа культурних пасовищ, яких не вистачає до максимально допустимої площі цих пасовищ в господарстві;

x₁₂ – невикористані грошові ресурси, виділені для цілей трансформації;

x₁₃ – невикористані трудові ресурси, виділені для цілей трансформації.

Запишемо економіко-математичну модель задачі в канонічному вигляді:

F_max = 1253x₁ + 1104x₂ + 245x₃ + 179x₄ + 245x₅ + 179x₆ + + 0x₇ + 0x₈+ 0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ + 0x₁₂+ 0x₁₃;

при умовах:

x₁ + x₂ + x₇ = 933,0;

x₃ + x₄ + x₈ = 178,0;

x₅ + x₆ + x₉ = 130,0;

x₁ + x₁₀ = 200,0;

x₄ + x₆ + x₁₁ = 140,0;

1100x₁ + 660x₂ + 20x₃ + 220x₄ + 320x₅ + 500x₆ + x₁₂ = 700000;

160x₁ + 110x₂ + 2,8x₃ + 7,5x₄ + 22x₅ + 28x₆ + x₁₃ = 135000;

Для вирішення системи з метою знаходження оптимального плану необхідно знайти базисне рішення задачі. Для цього приймемо:

x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 0; x₅ = 0; x₆ = 0, тоді x₇ = 933,0;

x₈ = 178,0; x₉ = 130,0; x₁₀ = 200,0; x₁₁ = 140,0; x₁₂ = 700000;

x₁₃ = 135000.

В результаті одержали позитивне рішення, яке задовольняє системі рівнянь, тобто перше допустиме рішення, яке також називається початковим опорним планом. Перша прийнята програма приводить до нульового значення цільової функції, тому що при x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 0; x₅ = 0;

x₆ = 0; F_max = 0.

Отже, за початковий чи перший опорний план вибираємо таке рішення, при якому всі додаткові невідомі дорівнюють ресурсам (вони складають базисне рішення), а всі останні невідомі дорівнюють нулю. Іншими словами, можна сформулювати економічну суть першого опорного плану так: ресурси не використовуються, отже, вартість валової продукції дорівнює нулю (нічого не робимо - нічого не одержуємо).

Рішення задачі проводимо в симплексних таблицях (додаток №1) на основі таких перетворень. Заповнюємо першу симплексну таблицю: в стовпець і записуємо номер рівняння (обмеження ), наприклад,

1: в стовпець базисних невідомих по першому обмеженню - базисну невідому x₇ ; в стовпець с (оцінки цільової функції) записуємо коефіцієнт - цільової функції при невідомій x₇ ; він дорівнює 0. В стовпець Ві (стовпець ресурсів) записуємо величину ресурсу по першому обмеженню, він дорівнює 933,0. В стовпці х₁ , x₂ , … x₆ - записуємо коефіцієнти при основних невідомих, а в x₇ , x₈ … x₁₃ - коефіцієнти цільової функції. При рішенні задачі на тах вони записуються зі знаком мінус, а при рішенні на тіп - зі знаком плюс.

Таким чином ми склали перший опорний план. Задача вирішується на знаходження максимального значення цільової функції.

Згідно з алгоритмом симплексного методу наявність негативних коефіцієнтів в рядку т+1, цей індексний рядок вказує на можливість покращення плану. Оптимальним план буде в тому випадку, якщо в індексному рядку будуть позитивні величини або нулі. Отже, перший опорний план не оптимальний. Його треба покращувати.

Само рішення йде шляхом заміни базисних невідомих. Для цього необхідно визначити ключовий (генеральний) елемент. Він знаходиться на перехресті ключового (генерального) стовпця i ключового ( генерального) рядку. Ключовий стовпець визначаємо шляхом визначення в індексному рядку зі знаком мінус найбільшого по абсолютній величині коефіцієнта. В сімплексній табл. 1 ключовим стовпцем буде стовпець x₁ (коефiцiент дорівнює 1253).

Щоб вирішити питання про те, яку невідому вивести із базису( тобто визначити ключовий рядок), необхідно всі елементи стовпця ресурсів построчно розділити на відповідні позитивні коефіцієнти ключового стовпця. Результат записуємо по стовпцю, який називається стовпцем симплексних відносин.

Дозволяючий стовпець показує економічну доцільність ("вигідність") вводу перемінної в базис. В симплексній табл. 2 в рядку т + 1 число -1253.0 позначає вартість валової продукції, одержаної з 1 га садів.

Ключовий рядок вказує на саме вузьке місце в наявності ресурсів у виробництві. Якщо проаналізувати відношення ,

933,0 : 1 = 933,0 га

200,0 : 1 = 200,0 га

700000 : 1100 = 636,36 га

135000 : 160 = 843,75 га ,

то виявиться, що перший рядок: симплексне відношення рівно 933 га. Воно вказує на те, що ріллю богарну можна трансформувати в сади на площі 900 га. Четвертий рядок показує, що площа садів повинна бути не більше 200,0 га. Шостий рядок: це виділені грошові ресурси, яких достатньо на трансформацiю ріллі богарної в сади на площі 636,36 га. Сьомий рядок - кількість виділених трудових ресурсів достатньо на трансформацію ріллі богарної в сади площею в 843,75 га. Таким чином вузьким місцем в нашому плані є та умова, що площа садів не повинна бути більше 200,0 га.

Отже, із базису потрібно вивести x₁₀, а на його місце ввести x₁. Для цього складається інша симплексна таблиця або інший варіант плану. Перехід від однієї таблиці до іншої називається кроком або ітерацією. На кожному кроці (ітерації) в базис можна ввести тільки одну невідому і одну вивести.

В другій таблиці в рядку 4 замість x₁₀ в базис записується x₁ з оцінкою 1253 - останні базисні невідомі і їх оцінки не змінюються. Всі коефіцієнти другої симплексної таблиці розраховуються на основі першої. Перша симплексна таблиця є розрахунковою базою для другої, друга – для третьої і т.д., тобто наступна таблиця розраховується на основі попередньої.

Розрахунок і заповнення наступної таблиці завжди починають з дозволяю чого рядка. Коефіцієнти цього рядка i визначають шляхом ділення кожного коефіцієнта попередньої таблиці на дозволяючий (генеральний) елемент; результати записують в наступній таблиці.

В дозволяючому стовпці в наступній таблиці замість дозволяючого елемента ставиться одиниця, а на місце інших коефіцієнтів - нулі.

Всі останні коефіцієнти наступної таблиці розраховуються за правилом

" прямокутника ", включаючи індексний порядок і стовпець контролю:

aij . aℓk – aℓj . aik

aij = aℓk ;

де,

aij -- нове значення коефіцієнта, який знаходиться в і-му рядку і в j-му стовпці;

aij -- старе значення коефіцієнта;

aℓk – дозволяючий коефіцієнт;

aℓj -- коефіцієнт матриці, який знаходиться на перехресті ℓ -го стовпця

і ключового рядку;

aik -- коефіцієнт матриці, який знаходиться на перехресті і-го рядка

і дозволяючого стовпця.

Наприклад, замість коефіціента 933, який стоїть в першому рядку вільних членів в першій сімплексній таблиці, одержимо:

або замість коефіцієнта 700000 , який стоїть в шостому рядку вільних членів, в першій симплексній таблиці одержимо:

Значення цільової функції визначають за цим же правилом і записують, в клітинку, яка знаходиться на перехресті індексного рядка і стовпця в_i (ресурсів).

Для контролю вірності розрахунків використовуємо стовпці і контролю. В стовпці ∑aiј знаходимо сумарне значення всіх коефіцієнтів, починаючи зі стовпця ресурсів (в_i) і закінчуючи x₁₃ .

Контроль вірності коефіцієнтів в другій симплексній таблиці по першому рядку здійснюється за правилом "прямокутника”

Одержавши сумарне значення коефіцієнтів, по шостому рядку другої симплексної таблиці записуємо в стовпець ∑aiј. Значення обчислених коефіцієнтів по стовпцях ∑aiј і контролю співпадають, отже, обчислення коефіцієнтів дробленні вірно.

Значення цільової функції можна розрахувати іншим способом, як суму добутку коефіцієнтів стовпця оцінки цільової функції (c_ј) на відповідні коефіцієнти стовпця ресурсів (в_i ) даної таблиці:

0×733 + 0×178 + 0×130 + 1253×200,0 + 0×140 + 0×480000 + 0×103000 = 250600

Після складання другої симплексної таблиці перевіряють план на оптимальність. Наявність негативних величин в індексному рядку говорить про те, що рішення не оптимальне - його потрібно покращувати. Для цього повторюють раніше описані обчислення. Дана економіко-математична задача вирішувалася за допомогою Excel.

Вирішуємо задачу з допомогою Excel.

В ідкриваємо Excel (рис.1),

Рис.1 Загальний вигляд програми Excel

Після запуску робочого поля даної програми проводимо її налаштування, для цього натискаємо «Сервис → Надстройки» і отримаємо вікно (рис.2) з такою ж назвою, вибираємо «поиск решения» і для збереження натискаємо ОК.

Рис.2 Вікно «Надстройки» програми Excel

Після у меню «Сервіс» з'являється така операція як «Поиск решения». Перед початком обрахунку потрібно зробити матричний запис даної економіко-математичної задачі (табл.5) Таблиця 5

Добавляємо строчку значення невідомих після строки обмеження і попереду стовпця тип обмежень ставимо стовпець використання ресурсів. Для того щоб надалі вирахувати кожне значення обмеження, використовуємо команду «СУММПРОИЗВ»(рис.3), вводимо по рядках відповідні інтервали «невідомі» та «по площі ріллі богарної» з Х₁ по Х₆.

Рис.3 Аргументи функції

Для більш швидкого введення формули, значення першого рядку закріплюємо за допомогою символу «$», протягуємо дану формулу по стовбцю «використання ресурсів». Для розв’язання задачі натискаємо «Сервис → Поиск решения», зявляється вікно «Поиск решения» (рис.4). У вікні «Поиск решения» в графі «Изменяя ячейки» вводимо інтервал по строчці «Значение неизвестних» починаючи з Х1 по Х6. Вибираємо варіант прорахунку «Равной → максимальному значению». Далі за допомогою функції «Добавить» встановлюємо обмеження, в параметрах обираємо «Линейные». Після виконання всіх налаштувань натискаємо на клавішу «Выполнить».

Рис.4 Вікно «Поиск решения»

Після чого програма автоматично вираховує вірні результати в рядку «Значение неизвестных»

Основний варіант
Невідомі	№ обмежень	Р ріллі богарної, яка трансформується в сади	Р ріллі богарної, яка трансформується в Ріллю зрошувану	Р пасовищ, яка трансформується в ріллю богарну	Р пасовищ, яка трансформується в культурні пасовища	Р боліт, яка трансформується в ріллю богарну	Р боліт, яка трансформується в культурні пасовища	Значення ресурсів по розрахунках	Тип обмежень	ресурси
Обмеження		Х₁	X₂	Х₃	Х₄	Х₅	Х₆
Значення невідомих		88,772727	844,22727	178	0	130	0
По Р ріллі богарної	1	1	1					933		933
По Р пасовищ	2			1	1	0	0	178		178
По Р боліт	3			0	0	1	1	130		130
По Р садів, що проектуються	4	1	0	0	0	0	0	88,772727		200
По Р культурних Пасовищ, проектуються	5	0	0	0	1	0	1	0		140
По використанню грошових ресурсів	6	1100	660	20	220	320	500	700000		700000
По використанню трудових ресурсів	7	160	110	2,8	7,5	22	28	110427,04		135000
Вихід валової продукції	8	1253	1104	245	179	245	179	1118719,1

Висновок: В даній розрахунково-графічній роботі було вивчено методику вирахування симплексним таблиць, симплексний метод є універсальним бо дозволяється вирішення задач в яких умови можуть виражатися у різних одиницях виміру, а величина яку ми шукаємо вимірюється в потрібних одиницях виміру. Суть симплексного методу заключається в послідовному покращення опорного плану до отримання рішення. Також в ході розрахунково-графічної роботи було розглянуто методику обрахунку в програмі Ехсеl, з допомогою якої було вирахувано оптимальне рішення, встановлено, що максимальний вихід валової продукції ( F max = 1118719,1) буде, якщо трансформувати 933 га ріллі богарної в сади площею 88,77 га і ріллю зрошувану площею 844,23 га, а також 178 га пасовищ у ріллю богарну площею 178 га. І 130 га боліт в ріллю богарну площею 130 га. При такому співвідношенні всі ресурси будуть використовуватися, за винятком трудових ресурсів, частина яких (24572,96 люд/год) залишилася в надлишку.

Ми можемо прослідкувати залежність між зміною площі ріллі богарної і розміром валового збору у наступній таблиці ? (крок зміни площі = 3)

	Залежність цільової функції від площі ріллі богарної
	X1	X2	X3	X4	X5
Рілля богарна	933	936	939	942	945
Р садів	88,77	200	200	200	87,82
Р ріллі зрош.	844,23	628,84	628,84	654,01	857,18
Р ріллі богарної	187,0	112,74	112,74	178,0	178,0
Р культ. пас	0	65,26	65,26	0	0
Р ріллі богарної	130,0	92,48	92,48	112,25	106,56
Р культ. пас	0	37,52	37,52	17,75	0
Max	1118719,1	1013514	1013514	1046913	1126083

Список використаної літератури:

1. Методичні вказівки для виконання лабораторних робіт / для студентів зі спеціальності «Землевпорядкування» очної та заочної форми навчання. Економіко-математичні методи та моделювання в землеустрої – Статівка І.М., Червоний М.В., Бідило М.І.

2. Конспект лекцій з дисципліни ЕММ і моделювання в землеустрої – лектор Червоний М.В.