.

Следствие 5. Для целых значений и всех значения параметра справедлива формула

.

Пример 1. Для математического ожидания и дисперсии с.в. , на основании формул (12) – (15) выведем равенства:

1. .

2. =.

Применим формулу (12):

1. , т.е. .

2.

,

т.е. Получили известные нам результаты. Следовательно, с учётом с.к.о. эти параметры полностью определяют случайные величины, распределённые по нормальному закону.

Из рассмотренных примеров на предмет нахождения характеристических функций случайных величин (дискретных и непрерывных) непосредственно следует, что по законам распределения и функциям плотности, а следовательно, по функциям распределения с.в. всегда можно найти её характеристическую функцию.

Оказывается, имеет место и обратное предположение: а именно по характеристической функции однозначно определяется функция распределения. Рассмотрим ещё два утверждения, относящиеся к формулам «обращения и единственности».

Теорема 13.8 (формулы обращения). Справедливы следующие утверждения:

1. Если с.в. принимает целочисленные значения то

(20)

где мнимая единица, .

2. Если характеристическая функция случайной величины абсолютно интегрируема, то существует плотности распределения определяемая формулой

(21) .

Доказательство. Заметим, что для любого целого числа и вещественного имеют место равенства

(22)

Действительно, пусть любое вещественное число. Для равенство очевидно. При любом имеем

,

где мы воспользовались равенством

Используя наше равенство для случая , и согласно, определению характеристической функции с.в. с целыми значениями, получим (с учётом того, что для отрицательных индексов вероятности определены)

Тем самым первый пункт теоремы доказан. Перейдём к доказательству второго пункта.

Так как функция абсолютно интегрируема, то для любых с учётом формулы (22) имеем

(23) .

Используя определение характеристической функции (см. формулу (11 )), получим

(24)

(23) .

Используя определение характеристической функции (см. формулу (11 )), получим

(24)

На основании значения интеграла Дирихле (см. Лекции по математ. анализ Архипов и др. гл. 17. Лекция 20.)

,

где функция определяется равенствами:

Следовательно, получим равенства

.

Поэтому, по отдельности рассматривая случаи и

, получим

Пусть и точки непрерывности функции . Тогда при правая часть равенства (24)

стремится к равенству

Учитывая это равенство и на основании (23) и (24), имеем

(25) .

Поскольку функция распределения непрерывна слева, то с помощью предельного перехода из последовательности точек непрерывности и функции равенство (25) распространяется на произвольные точки и . Теперь из (25) по определению следует, что является плотностью функции распределении . В итоге, из равенства (23) получим предельное равенство.

---

В точках и непрерывности функции справедливо равенство

(26) .

Равенство (26) носит название «формулы обращения». Она используется для вывода весьма важного утверждения - теорема единственности.

Упражнение. Пусть натуральное число, целое число. Докажите, что

справедливы равенства

Теорема 13. 9 (единственности). Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией.

Доказательство. Действительно, из равенства (26) непосредственно следует, что в каждой точке непрерывности функции применима формула

.

В последнем интеграле предел относительно берётся относительно множеству точек являющихся точками непрерывности функции .

Рассмотрим некоторые примеры приложения последней теоремы.

Пример 2. Пусть независимые случайные величины и распределены по закону Пуассона, причём

.

Покажем, что с.в. распределена по закону Пуассона с параметром .

В теореме 13.6 мы показали, что (см. (18)) . Отсюда имеем

, .

В силу теоремы 13.6. характеристическая функция суммы с.в. равна

,

т.е. является характеристической функцией некоторого закона Пуассона. Согласно теореме 13.9 единственное распределение, имеющее своей характеристической функцией, есть закон Пуассона, для которой вероятность определена равенством

Замечание. Математиком Д. А. Райковым была доказана более глубокое (обратное) утверждение: если сумма двух независимых с.в. распределена по закону Пуассона, то каждое слагаемое также распределена по закону Пуассона, т.е. верно и обратное утверждение.

Пример 3. Если независимые с.в. и распределены по нормальному закону, то их

сумма также распределена нормально.

Действительно, если то соответствующие их характеристические функции определяются (см. (19)) равенствами

,

На основании теоремы 13.7 имеем

.

Это выражение является характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием и дисперсией . На основании теоремы единственности заключаем, что функция распределения с.в. нормальна.

В качество следующего примера без доказательства сформулируем ещё одно важное свойство характеристических функций.

Пример 4. Характеристическая функция вещественна тогда и только тогда, когда соответствующая ей функция распределения симметрична, другими словами, когда при любом функция распределения удовлетворяет равенству

Доказательство (см. [1], глава 7, параграф 33]).

Теория характеристических функций весьма интересная и имеет множество изящных применений в математике и её приложениях. Но мы этим ограничимся.

Тема14. Функции случайных величин

Часто возникают задачи, в которых по известному закону распределения (или числовым характеристикам) одной (или нескольких) случайной величины требуется определить распределение другой (или нескольких) с.в., функционально связанные между собой.

---

1. Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению с.в. по определённому правилу соответствует одно возможное значение с.в. то называют функцией случайного аргумента записывают

Пусть д.с.в. с возможными значениями с соответствующими вероятностями, Очевидно, что с.в. является также д.с.в. с возможными значениями вероятности которых равны соответственно

Отметим, что различным значениям с.в. могут соответствовать одинаковые значения с.в. В этом случае вероятности повторяющихся значений нужно складывать и это число будет вероятностью этой повторяющееся значения случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия функции определяется соответственно равенствами:

Пример 1. Задан закон распределения д.с.в. :

	-1	1	2
	0, 1	0,3	0,6

Найти если: 1) 2)

Решение. 1) Перечислим значения с.в. ; Отсюда получим соответствующие вероятности =0,6.

Найдём закон распределения функции :

Следовательно,

Для сравнения найдём

2) Найдём закон распределения

	8	12	14
	0, 1	0,3	0,6

Следовательно,

Задание. Найти

Пусть непрерывная с.в. с плотностью распределения , а с.в. есть функция от с.в. Найдём закон распределения с.в. .

Для дальнейшего будем считать функцию непрерывной, строго возрастающей и дифференцируемой в интервале (отрезок может быть вся числовая прямая ) всех возможных значений с.в.

Тогда существует функция обратная к функции (случайная точка лежит на графике кривой ).

Определим функцию распределения с.в. . Или можно пользоваться и другими обозначениями: .

(Рис. 46 из Письм. В графике нужно заменить на),

Поскольку событие эквивалентно событию , то

т.е.

.

Дифференцируя это равенство по , найдём плотность распределения с.в. :

т.е.

(1) .

Если функция в интервале строго убывает, то событие эквивалентно событию . Поэтому

.

Отсюда следует, что

(2)

Учитывая, что плотность распределения не может быть отрицательной, формулы (1) и (2) можно объединить в одну

(3)

Эта формула верна и для взаимно однозначных (для них существует обратная функция) кусочно монотонных функций Тот факт, что для счётного числа точек (концов интервалов монотонности) формулой (3) значение функции плотности не определяются, не является принципиальным. Плотности на выделенном счётном множестве можно придать любое значение, при этом функция распределения не изменится в силу свойства интеграла.

Пример 2. Найти плотность распределения функции при условии, что с.в. имеет плотность

Решение. Функция монотонно убывает в интервале Обратная функция есть

На основании формулы (3)получим:

Покажем на этом примере как выводится формула для плотности и функции распределения с.в.

---

Далее вычислим функцию плотности с.в. . Имеем по определению

,

Следовательно,

Замечание. Если функция немонотонна в интервале , то для нахождения функции плотности с.в. следует разбить интервал на участков монотонности, затем найти обратную функцию на каждом из них и воспользоваться формулой

(4)

Существует широкий класс функций не объязательно монотонных, для которых будет случайной величиной. К нему относятся, например, все непрерывные функции.

Если с.в. является непрерывной и и ё плотность распределения, то для нахождения числовых характеристик с.в. необязательно находить закон её распределения, можно воспользоваться формулами:

(5) .

Обсуждение общей проблемы выходит за рамки нашей книги (В общем случае к этим вопросам довольно плодотворно применяется теория суммируемых функций и интегралов Стилтьеса), и мы рекомендуем читателям обратиться к фундаменьтальным книгам (Например, В. Феллер ч.1и2. или Гнеденько Курс Т.В.).

В частности, отметим, что линейное преобразование не меняет характера распределения, т.е. из нормальной с.в. получается нормальная случайная величина, а из равномерной - получается равномерная. Рассмотрим пример на равномерное распределение.

Пример 3. Пусть с.в. имеет равномерное распределение в интервале

Найти математическое ожидание с.в.

1) найти плотность

2) не вычисляя функцию найти математическое ожидание с.в. .

Решение. 1) Легко заметить, что функция плотности с.в. определяется равенствами (воспользуемся свойством функции плотности)

В интервале функция не монотонна: в интервале

функция возрастает, в убывает. На первом участке обратная функция на втором На основании формулы (4) имеем

т.е.

Тогда

.

т.е. .

2) Воспользуемся непосредственно формулой (5)

,

т.е. , оба результата одинаковые.

Задание. 1. Вычислить дисперсию и стандарт с.в. .

Рассмотрим следующую классическую задачу.

Задача (обратное распределение Коши). Случайная величина имеет распределению Коши с плотностью распределения. Имеем

(см. пункт 7.4. пример 8.)

Вычислить плотность распределения обратной случайной величины

Решение. Функция не определена в нуле, убывает на интервалах имеет однозначную обратную функцию Применяя формулу ( ) получим

Следовательно, величина, обратная величине, распределённой по закону Коши, также имеет распределение Коши.

2. Функция двух случайных аргументов

При рассмотрении данного раздела в основном будем следовать книге [Письм. гл.4].

Для успешного решения ряда практических задач нужно знать закон распределения (или числовые характеристики) следующих случайных величин: и других.

Приведём общее определение функции для двух случайных величин.

Каждой паре с.в. ; по заданному правилу , ставим в соответствие вполне определённое значение с.в. то называется функцией двух случайных аргументов и , и обозначают в виде: .

---

Рассмотрим закон распределения с.в. , наиболее часто встречающийся на практике. Пусть система двух непрерывных с.в. имеет совместную плотность распределения . Тогда в соответствии со свойствами плотности двумерной с.в.

(см.11.6. равенство (11)) найдём функцию распределения с.в. .

.

Здесь множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют неравенству

(см.47.)

Рис. 47.(Письм)

Следовательно, имеем

.

Дифференцируя полученное равенство по переменной , входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получаем выражение для плотности распределения с.в. :

(6) .

Если с.в. и являются независимыми, то согласно равенству , то из(6) получим

(7) .

Закон распределения суммы независимых с.в. называется композицией или свёрткой законов распределения слагаемых. Для них принято специальное обозначение: ,

где знак свёртки, а формул (7) называют формулой свёртки или формулой композиции двух распределений. В равенстве (6) записав в виде , можно получить и другое представление для , а именно

,

и для независимых случайных величин и формулу (7) можно переписать в виде

(8) .

Аналогично решаются задачи нахождения законов распределения с.в. и других. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 4. Независимые с.в. и распределены равномерно и . Найти плотность распределения вероятностей с.в. (рис. 50)

Рис.50

Решение.По условию система случайных величин равномерно распределена в прямоугольнике , следовательно,

По условию с.в. и являются независимыми, то , и

где площадь области части прямоугольника, лежащей ниже прямой : т.е.

1. если то

2. если , то (так как );

3. если , то

4. если , то

5. если , то .

Итак,

Проверим контроль:

.

Полученную плотность распределения можно найти другим способом, используя формулу (7), т.е. на основании равенства

.

Имеем

.

Функция под знаком интеграла отлична от нуля лишь в случаях

(9)

Решение системы зависит от значения .

1. Если то система не имеет решений, так как отрезки и не пересекаются. Следовательно, и

2. Если то система (9) эквивалентна неравенству , поэтому

3. Если то система (9) эквивалентна неравенству , поэтому

4. Если то система (9) эквивалентна неравенству , поэтому

5. Если то система (9) не имеет решений, поэтому

Таким образом, на основании 1.-5. получим

Задание. Изобразите на отрезках прямых линий (на разных параллельных линиях) интервалы изменения переменных и заштриховывая их в каждом из пяти случае.

Пример 5. Совместное распределение с.в. и задано плотностью распределения вероятностей

(10)

Найти функцию распределения и с помощью дифференцирования плотность распределения вероятностей с.в. .

Решение. Сначала найдём функцию распределения с.в. , а затем вычислим её производную . В соответствии с формулой (11) пункта 11.6 имеем

---

Смотрите также файлы

• Экономика. Учебное пособие 2011.doc

• Мет.Проект.АТП.doc

• Фотограмметрия. Ответы на вопросы 1-33.doc

• Инд.зад.7 ФНП.doc

• Инд.зад.4 Пределы полное.doc