ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2019
Просмотров: 883
Скачиваний: 3
(46)
где
определяется из равенства (45), т.е. из
функционального уравнения
(47)
.
При заданном
по таблице функции Лапласа находим
аргумент
.
Заметим, что из равенства (44) непосредственно
следует: с увеличением объёма выборки
число
убывает
и, значит, точность оценки увеличивается.
Увеличение надёжности
влечёт за собой уменьшение точности
оценки.
Пример 14. Произведено 5 независимых
наблюдений над с.в.
.
Результаты
наблюдений таковы:
Найти оценку для
а
также построить для него 95% -й доверительный интервал.
Решение. Находим сначала величину
т.е.
Учитывая,
что
и
По таблице значений функции Лапласа
находим, что
Тогда по формуле (44)
.
Следовательно, доверительный интервал
для
согласно
равенство (45) будет следующее:
.
4. 2. Доверительный интервал для математического ожидания
при неизвестной дисперсии
Обратимся теперь к случаю, когда параметр
неизвестен. (он должен сам оцениваться
по результатам наблюдений).
Пусть с.в.
,
неизвестна,
а доверительная вероятность
задана.
Найдём число
для которого выполнялось соотношение
или
(48)
Введём случайную величину
(49)
исправленное
среднеквадратическое отклонение с.в.
вычисленное по выборке
,
(по которым мы условились определить
с.в.
),
выборочное
среднее, построенное по заданной выборке
(см. 18.6)
.
В 15.2. было рассмотрено распределение
Стьюдента. Аналогично показывается,
что с.в.
имеет распределение Стьюдента с (
)
степенью свободы. Плотность этого
распределения имеет вид:
(50)
где
гамма
– функция Эйлера;
является
чётной функцией по
.
Преобразуя левую часть равенства (48)
от с.в. к с.в.
получим
где
(51)
Величина
определяется
из условия
Следовательно, из равенства
пользуясь таблицей квантилей Стьюдента
(см. приложение 6.), находим значение
в зависимости от доверительной вероятности
и
числа степеней свободы, равные
(
есть
квантиль уровня
).
Определив значение величины
из равенства (51), находим значение
:
(52)
Таким образом, равенства (48) принимает вид
.
А значит, интервал
покрывает (ограничивает) величину м.о.
с
вероятностью
.
Другими словами, является доверительным
интервалом для неизвестного математического
ожидания случайной величины
, которую можно представить в виде
.
Пример 15. По условию примера 14,
считая, что случайная величина распределена
по нормальному закону:
,
построить для неизвестного
доверительный интервал. Считать, что
.
Напомним условие примера 14: произведено
5 независимых наблюдений над (относительно)
с.в.
.
Результаты наблюдений таковы:
Найти оценку для
а также построить для него 95% -й
доверительный интервал.
Решение. Оценку величины
для
уже
знаем:
.
Вычислим значение
:
Сначала находим
по формуле
.
Поэтому
Отсюда,
.
По таблице для
и
находим, что
Следовательно,
По формуле (52)
.
Итак, доверительный интервал для
математического ожидания таков:
.
Далее, кратко рассмотрим, как нужно находить доверительного интервала для нормально распределённой случайной величины, в связи с математическим ожиданием.
4.3. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения
нормального закона распределения
Пусть с.в.
,
неизвестно,
а доверительная вероятность
задано. Здесь мы приводим существующие
результаты без доказательства в
зависимости от м.о. в двух случаях:
1. Математическое ожидание известно (т.е. можно вычислить), тогда имеет место утверждение.
Доверительный интервал для неизвестного
среднего квадратичного отклонения
величины
(стандарта) имеет вид:
где
объём
выборки,
,
а величины
и
являются
квантилями и
распределения
с
степенями свободы (см.15.2) , равные
и определяются по таблице (приложение
5). Очевидно, что
.
2. Математическое ожидание неизвестно, тогда имеет место утверждение.
Доверительный интервал для неизвестного
среднеквадратичного отклонения величины
(стандарта) имеет вид:
где
объём
выборки,
является исправленное
среднеквадратическое отклонение
,
а квантили определяются
соответственно по таблице (приложение5)
равенствами:
Пример 16.
Для оценки параметра нормально
распределённой случайной величины
произведена (сделана) выборка в 30 единиц
и известно (вычислено)
Найти доверительный интервал,
покрывающий (содержащий в себе) величину
с доверительной вероятностью
.
Решение. По
условиям примера имеем:
По таблице
находим:
;
Доверительный интервал имеет вид:
Кратко остановимся на доверительном интервале для оценки вероятности успеха при большом числе испытаний Бернулли. Точечная оценка имела вид:
В целях нахождения
доверительного интервала, для оценки
вероятности события, рассмотрим
отклонения относительной частоты
от истинной вероятности
то есть разность
Учитывая, что вероятность
появления события
при
испытаниях
раз, а следовательно, и относительная
частота, определяется формулой Бернулли
и при больших
вычисляется по интегральной теореме
Муавра- Лапласа, получим
,
где
-
надёжность требуемой оценки.
Переходя к новой переменной
,
получим
,
где
определяется
по таблице значений функции Лапласа из
условия
.
Отсюда с вероятностью
должно выполняться неравенство
,
где
(53)
Полученная оценка обладает двумя недостатками:
1) она зависит от
неизвестной величины;
2) фраза «справедлива при больших
»
является понятием расплывчатым (не
точным). От первого недостатка можно
избавиться. Путём замены
под квадратным корнем, что даёт для
оценки истинной вероятности события
следующий
доверительный интервал,
(54)
который с надёжностью
покрывает
оцениваемый параметр
Второй недостаток устраняется путём
заменой точного распределения разности
(
)
на нормальное распределение. Практически
удовлетворительный результат получается
при
.
Пример 17. Из подвергнутых испытаниям на сортность 100 единиц товара 80 выдержали его. Найти доверительный интервал с надёжностью 0,95 для вероятности того, что произвольно выбранный образец удовлетворяет предъявленным условиям.
Решение. В качестве точечной оценки
неизвестного параметра принимаем числа
и определяем равенством
.
По доверительной вероятности с помощью
таблицы значений функции Лапласа находим
и затем на основании формуле (53) определяем
доверительный интервал:
.
Пример 18. Для проверки фасовочной установки было отобраны и взвешены 20 упаковок, были получены следующие результаты (в граммах).
-
246
247
247,3
247,4
251,7
252,5
252,6
252,8
252,8
252,9
253
253, 6
254,6
254,7
254,8
256,1
256,3
256,8
257,4
259,2
Найти доверительные интервалы для математического ожидания с надёжностью 0, 95 и среднеквадратического отклонения с надёжностью 0,9, предполагая, что измеряемая величина распределена по нормальному закону.
Решение. Находим точечные оценки
для
и
.
.
Определим по таблице распределения
Стьюдента (приложение 6) для доверительной
вероятности
с
числом свободы
соответствующее значение
,
и по формуле
находим искомый интервал
надёжности
:
Для построения доверительного
интервала для с.к.о.
с надёжностью
находим по таблице распределения
значений
с
степенями свободы (приложение 5) из
условий:
Задание. Выполните самостоятельно завершающие выкладки и убедитесь в справедливости полученных оценок (результатов) снизу и сверху (см. решение примера 16).
Задачи с указаниями.
Глубина нефтяной скважины измеряется
некоторым прибором, систематическая
ошибка которого равна нулю, а случайные
ошибки распределены по нормальному
закону с дисперсией 225 кв. м (т.е.
.
Сколько раз нужно провести независимые
измерения, чтобы определить глубину
скважины с ошибкой не более 5 м, если
надёжность вероятности равна
Указание. Нужно воспользоваться
При
;
показать, что
По таблице находить:
.
Наконец, по формуле
,
убедиться что
т.е. необходимо произвести не менее 25
раз измерений.
Измерили рост (с некоторой точностью скажем до 1 см.) 30 наудачу отобранных
студентов. Результаты измерения показали:
(см. условие примера 6, 18.4.,).
Найти доверительный интеграл для среднего роста студентов, при надёжности
вероятности
Указание. Покажите, что
при
и
по таблице распределения Стьюдента
находить равенство
.
Наконец, вычислите по формуле
и убедитесь, что доверительный интервал
будет
3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью
появления события
в
каждом испытании.
Найти доверительный
интервал для оценки
с надёжностью
,
если в 400
раз проведённых наблюдений, событие
наступило (появилось) 80 раз.
Указание. По заданным условиям
,
относительная частота события
равна
Из соотношения
и таблицы значений функции Лапласа
найдите:
далее по формулам (53) и (54) вычислите
величины
и
в итоге покажите, что доверительный
интервал будет иметь вид:
5. Другие характеристики вариационного ряда
Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда. Укажем главные из них.
Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Например, для ряда
Варианта: 1 4 7 9
Частота: 5 1 20 6
мода равна 7.
Медианой те
называют варианту,
которая делит вариационный ряд на
две части, равные по числу вариант. Если
число вариант нечетно, т. е.
,
то
;
и при четном
медиана равна
Например, для ряда { 2, 3, 5, 6, 7}, медиана равна 5, а для ряда {2, 3, 5, 6, 7, 8}
медиана равна
Размахом варьирования
называют число
равное
разности между наибольшим и наименьшим
значениями варианты т.е
Например, для ряда {1, 3,
4, 5, 6, 10, 15, 17, 19} размах равен
19—1=18.
Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
Средним абсолютным
отклонением
называют
среднее арифметическое абсолютных
отклонений:
Например, для вариационного ряда
:
:
имеем
Среднее абсолютное отклонение служит для характеристики рассеяния вариационного ряда.