ГЛАВА IV

Теория случайных процессов

Тема 16. Основы теории случайных процессов

1. Понятие случайной функции, стохастические процессы

При изучении многих явлений систематически приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися в процессе проведения испытания в течение определённого времени. Мы уже встречались с примерами таких явлений в пунктах 6.2. и 9.2. в связи с законом распределения Пуассона.

Примерами таких с.в. являются: распад радиоактивного вещества при химической реакции, сигнал на выходе радиоприёмника под воздействием помех, длина очереди за билетом на футбольный матч, колебания цен в системе торговли товаров первой необходимости, загруженность студентов в течение учебного семестра, траектория частиц в броуновском движении, рейтинг претендентов в избирательных процессах, число вызовов поступающих на телефонную станцию, и т.д.

Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта (наблюдения, испытания) называют случайными процессами (случайными функциями). В настоящее время ряд отраслей техники и науки (физическая статистика, процесс диффузии, процессы химической реакции и т.д.) поставило перед теорией вероятностей новые задачи, не укладывающиеся в рамки классической теории вероятностей. В то время многие отрасли человеческой деятельности интересуют изучение процессов, то есть явлений, протекающих во времени. Они потребовали от науки теории вероятностей разработку общей теории, так называемых, случайных процессов. Другими словами, разработки теории, которая изучала бы случайные величины, зависящие от одного или нескольких непрерывно изменяющихся временных параметров. Приведём примеры таких задач, иллюстрирующих необходимость построения теории случайных процессов.

Представим себе, что мы хотим проследить за движением какой-либо молекулы газа или жидкости. Эта молекула в случайные моменты времени сталкивается с другими молекулами и меняет при этом свои скорость и положение. Очевидно, что состояние молекулы подвержено случайным изменениям в каждый момент времени. Многие явления природы требуют для своего изучения умения вычислять вероятности того, что определённое число явлений (молекул, изменение цен, поступление радиосигналов и т.д.) изменяет то или иное положение. На все эти и многие другие вопросы даёт ответ статистическая теория случайных процессов или, как принято её называть «теория стохастических процессов». Очевидно, что подобные задачи возникают в физике, химии, астрономии, экономике, генетике и др. Например, когда изучают процесс химической реакции, возникает законный вопрос:

- какая часть молекулы уже вступила в реакцию,

- как происходит эта реакция во времени,

- когда практически реакция уже закончилась?

Большое число явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Суть этого явления состоит в том, что атомы радиоактивного вещества распадаются мгновенно, превращаясь в атомы другого химического элемента. Распад каждого атома происходит по времени быстро и с большой скоростью, подобно взрыву, с выделением определённого количества энергии. Как правило, многочисленные наблюдения показывают, что распад различных атомов для наблюдателя происходит в случайно взятые моменты времени. При этом расположение этих моментов времени не зависят друг от друга в смысле теории вероятностей. Для изучения процесса радиоактивного распада существенно определить какова вероятность того, что за определённый промежуток времени распадётся некоторое количество атомов? Формально, если задаваться только выяснением математической картины подобных явлений, то можно найти простое решение таких математических задач, к которым приводят подобные явления.

---

Вкратце изложим как, исходя из рассмотрения проблемы блуждания частиц по прямой, учёными Планком и Фоккером было получено дифференциальное уравнение в теории диффузии.

Пусть частица в момент времени в точке , в моменты испытывает случайные толчки, в результате которых она каждый раз перемещается с вероятностью на величину вправо и с вероятностью также на величину влево.

Обозначим через вероятность того, что частица в результате толчков окажется в момент времени в положении (ясно, что при чётном числе толчков величина может равняться лишь чётному числу шагов , а при нечётном – лишь нечётному числу шагов . Если через обозначить число шагов, сделанных частицей вправо (тогда есть число шагов, которые частица совершила влево), то согласно формуле Бернулли эта вероятность равна

Ясно, что эти величины связаны между собой равенством Непосредственно, можно убедиться, что функция удовлетворяет разностному уравнению

(1) .

с начальными условиями и при . Физическая природа задачи заставит нас пойти, на определённые естественные ограничения по отношению параметров . Несоблюдение некоторых необходимых условий, о которых далее пойдёт речь, может привести к тому, что за конечный промежуток времени частица с вероятностью равной единице может уйти в бесконечность. Для того чтобы исключить такую возможность, накладываем на параметры следующие условия при

(2)

где величина выражает скорости течения, а коэффициент диффузии.

Отнимем от обеих частей равенства (1) величину , получим

(3) .

Предположим, что функция дифференцируема по дважды и один раз по . Тогда имеем

где .

После подстановки полученных равенств в (3) имеем

Отсюда, переходя к пределу и на основании условий (2) получим окончательно

(4)

Таким образом, мы получили известное уравнение, носящее в теории диффузии название уравнения Фоккера – Планка.

Начало общей теории стохастических процессов было положено в фундаментальных работах А.Н. Колмогорова и А.Я. Хинчина в начале 30 – х годов. В статье А.Н. Колмогорова «Об аналитических методах теории вероятностей» было дано систематическое и строгое построение основ теории стохастических процессов без последействия или, как часто говорят, процессов Марковского типа. В ряде работ Хинчина была создана теория, так называемых, стационарных процессов.

Таким образом, раздел математики, изучающий случайные явления в динамике их

развития, называется теорией случайных процессов (случайных функций). Её методы часто используются: в теории автоматического управления, при анализе и планировании финансовой деятельности предприятий и хозяйств, при обработке и передаче необходимых информаций (сигналов в радиотехнических устройствах, спутниковых связей и др.), в экономике и в теории массового обслуживания.

---

Кратко рассмотрим основные понятия теории случайных процессов (СП).

Если каждому значению , где обозначает некоторое множество действительных чисел, поставлена в соответствие с.в. , то говорят, что на множестве задана случайная функция (с.ф.) . Случайные процессы, у которых , особенно важны в приложениях. В тех случаях, когда параметр интерпретируется как временной параметр, то случайная функция называется случайным процессом, т.е. случайным процессом называется семейство с.в. зависящих от параметра и заданных на одном и том же пространстве элементарных событий Обозначается или

Случайный процесс можно задать в виде формулы (аналитической записи), если вид случайной функции известен. Например, с.ф. является с.п., где случайная величина имеет равномерное распределение. При фиксированном значении , с.п. ,то с.п. обращается в с.в. которую называют сечением случайного процесса.

Реализацией или траекторией случайного процесса называется неслучайная функция времени при фиксированном , т.е. в результате испытания с.п. принимает конкретный вид , при этом реализации с.п. обозначают через , где индексы указывают на номер испытания.

На рис.59 показаны три реализации случайного процесса при ;

Они напоминают виды трёх синусоидальных колебательных явлений в некотором механическом процессе, при этом каждая такая реализация (траектория) является обычной функцией

Рис.59 (Письменный).

В данном примере с.в. в трёх опытах приняла соответственно три значения: 1, 2, 0,5, т.е. констатируется три реализации СП: . Все три функции являются неслучайными. Если в этом примере зафиксировать момент времени, при , то получим сечение: - случайная величина или при , -случайные величины. Отметим, что так называемый одномерный закон распределения случайного процесса не является исчерпывающей характеристикой с.п. Случайный процесс представляет собой совокупность всех сечений при различных значениях , поэтому для полного его описания следует рассматривать совместную функцию распределения сечений процесса:

так называемый конечномерный закон распределения с.п. в моменты . Другими словами возникают многомерные с.в. .

Таким образом, понятие с.п. является прямым обобщением понятия системы случайных величин, когда этих величин – бесконечное множество.

2. Процесс Пуассона

Распределение Пуассона как один из предельных законов подробно рассматривали в пунктах 6.2, 9.2. В этом разделе ещё раз возвращаемся к этому закону уже с точки зрения теории случайных процессов. В пункте 6.2. было введено некоторые предварительные понятия относительно простейшего потока событий. Кратко напомним о них ещё раз.

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

---

Рассмотрим процесс без последействия, имеющий важное значение в современной физики, теории связи, теории надёжности и в теории массового обслуживания. Предполагают, что этот процесс был впервые подвергнуть исследованию в начале XX физиками А. Эйнштейном и М. Смолуховским в связи с задачами броуновского движения.

Предположим, что в случайные моменты времени происходит некоторое событие. Нас интересует число появления этого события в промежуток времени от до Относительно процесса появления события предполагается выполнение трёх условий, о которых ниже напомним ещё раз.

Среди основных свойств, которыми могут обладать потоки, выделяются три свойства: стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

1. Стационарность означает, что для любой группы из конечного числа между собой непересекающихся промежутков времени вероятность появления определённого числа событий на протяжении каждого из них зависит только от этих чисел и от длительности промежутков времени,и не зависит от сдвига всех отрезков времени на одну и ту же величину. В частности, вероятность появления событий в течении промежутка времени от до не зависит от и является функцией только величин и .

Поэтому среднее число событий, появляющихся в единице времени, так называемая интенсивность потока, есть постоянная

2. Отсутствие последействия означает, что вероятность появления событий в течение промежутка времени на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось ранее. Это предположение означает, что условная вероятность появления событий за промежуток времени при любом предположении о наступлении событий до момента совпадает с безусловной вероятностью. В частности, отсутствие последействия означает взаимную независимость того или иного количества событий в непересекающиеся промежутки времени.

3. Ординарность выражает требование практической невозможности появления двух или нескольких событий за малый промежуток времени , то есть события появляются не группами, а поодиночке. Иначе говоря, вероятность появления более одного события на малом участке времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события, т.е. имеет место .

Итак:

- если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления событий за промежуток времени длительностью есть функция, зависящая только от и ;

- если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени;

- если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Поток событий, обладающий указанными свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности называется простейшим (пуассоновским) потоком.

---

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Процесс Пуассона удовлетворяет трём условиям: стационарности, без последействия и ординарности . Докажем утверждение.

Теорема 16.1. Для вероятностей наступления события за промежуток времени произойдут событий, справедлива формула

(5)

Доказательство. Сначала покажем, что величина за промежуток времени длительности , если произойдёт событий, эти вероятности не зависят от того, что где расположен этот отрезок времени. С этой целью в соответствии наших предположений обнаружим, что при малых имеет место постоянное.

Действительно, рассмотрим промежуток времени длительности равное единице и обозначим через вероятность того, что за этот срок больше не наступит ни одно событие. Разобьем наш промежуток на равных непересекающихся частей. В силу первого и второго предположений имеет место равенство откуда следует, что Отсюда при любом натуральном числе получим равенство Пусть теперь некоторое неотрицательное число. При любом можно найти такое что будет иметь место неравенства: . Поскольку вероятность есть убывающая функция времени, то

Таким образом, удовлетворяет неравенствам

Пусть и стремятся к бесконечности так, чтобы

Так как величина , как вероятностное число удовлетворяет, неравенствам то могут представиться три следующих случая: Первые два случая малоинтересны. В первом из них при любом . Следовательно, вероятность за промежуток времени любой длительности произойти хотя бы одному событию равна единице.

Другими словами, с вероятностью равной единице за промежуток времени любой длительности происходит бесконечно много событий. Во втором случае , следовательно, в этом случае ни одного события не происходят. Представляет лишь интерес третий случай, в котором положим , где некоторое положительное число.

Итак, из определений стационарности и отсутствия последействия мы вывели, что при любом

(6) .

В соответствии с определением вероятности понятно, что

.

Из формулы (6) вытекает, что при малых значениях

Следовательно, в силу условия ординарности, получим

(7)

Теперь можем приступить к выводу формул для вероятностей С этой целью определим вероятность того, что за время событие наступит ровно раз. Это может осуществиться различными способами, а именно:

1) за промежуток времени длительности произойдут событий, а за время ни одного события;

2) за промежуток времени длительности произойдут событие, а за время одно;

3) за промежуток времени длительности произойдут событие, а за время два и так далее; за (k+1) промежуток времени длительности не наступит ни одного события, а за время произойдут событий.

---

Смотрите также файлы

• 16-17 с рисунками.doc

• 18-19 с рисунками.doc

• 18-19.doc

• 13-15_ГОТОВЫЙ!!!.doc

• Экономика. Учебное пособие 2011.doc