По формуле полной вероятности (с учётом условий стационарности и отсутствия последействия) имеем равенство

Обозначим

Отсюда с учётом условия ординарности имеем цепочку неравенства:

.

Таким образом,

Далее, согласно формуле (7)

Поэтому

Отсюда

Поскольку при предельное значение правой части равенства существует, то существует и предел левой части. В результате для определения получаем уравнение

(8) .

Выберем начальные условия такие:

(9)

Для решения дифференциального уравнения (9) введём функцию

(10)

Поставляя в (9), получаем

(11) ,

где начальные условия остаются теми же: Последовательно решая уравнения (11), с учётом начальных условий последовательно получаем

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------

Следовательно, на основании (10),

получим доказательство теоремы 16.1.

Таким образом, мы доказали, что при каждом случайная величина починяется распределению Пуассона с параметром . В частности, среднее количество наступлений события за время равно

Следствие. В условиях теоремы 16.1 при любом номере для вероятностей с начальными условиями , имеют место равенства

1. (разностно-дифференциальное уравнение)

2. (свойство последовательности «наследия»).

3. На основании равенства , имеет место равенство

По поводу последовательностей со свойством «наследия» см. [1-4] из работы Исмоилов-Сарбасова, Астана, Октябрь, 2012.

Заметим, что теория развитая, в настоящем пункте, может быть применена не только в предположении, что параметр играет роль временного параметра, но и других объектов. Чтобы убедится в этом, рассмотрим следующий пример.

Пример 1. В пространстве разбросаны точки, для которых выполнены следующие требования:

1. Пусть обозначает вероятность того, что точек окажется в заданной области , зависит лишь от объёма этой области, но никак не зависит ни от её формы, ни от её положения в пространстве;

2. Количество точек, попавших в неперекрывающиеся области, являются независимыми случайными величинами:

3. Потребуем, чтобы .

Эти требования удовлетворяют условиям: стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Поэтому существует положительная постоянная такая, что для вероятности будет иметь место равенство

.

Если в жидкости взвешены (выпали в осадок) мельчайшие частицы какого-либо вещества, то под воздействием ударов окружающих молекул эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (броуновское движение). В результате в каждый момент времени мы имеем случайное распределение частиц в пространстве, о чем говорилась в рассмотренном примере.

Согласно теории стохастических процессов следует считать, что такое распределение частиц, попадающих в определённую область пространства, будет подчинено закону Пуассона. Ниже рассмотрим таблицу, заимствованное из книги [1], где расчёты приводятся из статьи физика Смолуховского, и результаты вычислений проведены по закону Пуассона.

---

Таблица 14.стр. 300 (Гнеденко Б.В.)

Постоянное число, которым определяется закон Пуассона, выбрано равным среднему арифметическому из наблюдавшегося количества частиц, т.е.

3. Классификация случайных процессов

Здесь, коротко рассмотрим основные вопросы систематизации (классификации) случайных процессов.

Случайный процесс, протекающий (проходящей) в любой физической системе , представляет собой случайные переходы системы из одного состояния в другое. В зависимости от множества этих состояний от множества значений аргумента все случайные процессы делят на классы (группы):

1. Дискретный процесс (дискретное состояние) с дискретным временем.

2. Дискретный процесс с непрерывным временем.

3. Непрерывный процесс (непрерывное состояние) с дискретным временем.

4. Непрерывный процесс с непрерывным временем.

В 1-м 3-м случаях множество дискретно, т.е. аргумент принимает дискретные значения обычно в 1-м случае множество значений случайной функции определяются равенствами: , является дискретное множество (множество конечно или счетное).

В третьем случае множество несчётно, т.е. сечение случайного процесса в любой момент времени представляет собой непрерывную случайную величину.

Во 2-м и 4-м случаях множество непрерывно, во втором случае множество состояний системы конечно или счетное, а в четвёртом случае множество несчётное.

Приведём некоторые примеры случайных процессов 1-4 классов соответственно:

1. Хоккеист может забить или не забить один или несколько шайб в ворота соперника во время матчей, проводимых в определенные моменты (согласно расписанию игр) времени

Случайный процесс есть число забитых шайб до момента .

2. Случайный процесс - количество просмотренных фильмов в кинотеатре «Звезда»

от начала работы кинотеатра до момента времени .

3. В определённые моменты времени измеряется температура больного в некотором лечебном центре. - является случайный процесс непрерывного типа с дискретным временем.

4. Показатель уровня влажности воздуха в течение сутки в городе А.

Можно рассматривать и другие более сложные классы случайных процессов. Для каждого класса случайных процессов разрабатываются соответствующие методы их изучения.

Можно найти ряд разнообразные и интересные примеры случайных потоков в учебниках [1], [В. Феллер, ч 1,2 ] и в монографии [C. Карлин. Основы теории случайных процессов. Издательство «Мир» Москва -1971] . Здесь мы на этом ограничимся.

Для случайных процессов также вводятся простеющие функциональные характеристики, зависящие от параметра , аналогичные основным числовым характеристикам случайных величин.

Знание этих характеристик, достаточно для решения многих задач (напомним, что полная характеристика случайного процесса даётся её многомерным (конечномерным) законом распределения.

---

В отличие числовых характеристик случайных величин в общем случае функциональные характеристики представляют собой определённые функции.

4. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция

определённая при любом фиксированном значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса:

(12) .

Для краткого обозначения математического ожидания с.п. применяют также обозначение .

Функция характеризует поведение случайного процесса в среднем. Геометрический смысл математического ожидания истолковывается как «средняя кривая», около которой расположены кривые-реализации (см. рис. 60).

(см. рис. 60 Письм.).

На основании свойства математического ожидания случайной величины и учитывая, что случайный процесс, а неслучайная функция, получаем свойства математического ожидания случайного процесса:

1. Математическое ожидание неслучайной функции равно самой функции: .

2. Неслучайный множитель (неслучайную функцию) можно выносить за знак математического ожидания случайного процесса, т.е. .

3. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных процессов равно сумме

(разности) математических ожиданий слагаемых, т.е.

Отметим, что если зафиксируем аргумент (параметр) , то переходим от случайного процесса к случайной величине (т.е. переходим к сечению случайного процесса), можно найти м.о. этого процесса при этом фиксированном

Поскольку, если сечение с.п. при заданном есть непрерывная с.в. с плотностью то его математическое ожидание можно вычислить по формуле

(13) .

Пример 2. Пусть с.п. определяется формулой , т.е. с.в.,

распределена по нормальному закону с

Найти математического ожидания случайного процесса

Решение. По свойству 2. имеем

,

так как и следовательно, .

Упражнение. Вычислить математическое ожидание воспользуюсь, равенствами

, ,

а затем на основании формулы (13) вычислить интеграл и убедиться, что результат будет тот же самый.

Указание. Воспользоваться равенством

.

Дисперсия случайного процесса.

Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция

(14) .

Дисперсия с.п. рассматривается, также характеризуют разброс (рассеяние) возможных значений с.п. относительно его математического ожидания.

Наряду с дисперсией с.п. рассматривается также среднее квадратическое отклонение

(коротко с.к.о.), которое определяется равенством

(15)

Размерность функции равна размерности с.п. .

Значения реализаций с.п. при каждом отклоняется от математического ожидания на величину порядка (см. рис 60).

Отметим простейшие свойства дисперсии случайных процессов.

---

1. Дисперсия неслучайной функции равна нулю, т.е.

2. Дисперсия случайного процесса неотрицательна т.е.

3. Дисперсия произведения неслучайной функции на случайную функцию равна произведению квадрата неслучайной функции на дисперсию случайной функции, т.е.

.

4. Дисперсия суммы с.п. и неслучайной функции равна дисперсии с.п., т.е.

Пример 3. Пусть с.п. определяется формулой , т.е. с.в.

распределена по нормальному закону с

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение с.п. .

Решение. Вычислим дисперсию на основании формулы из свойства 3. Имеем

но , следовательно, по определению дисперсии с.в.

Следовательно, т.е. и

5. Корреляционная функция случайного процесса

При исследовании вопросов зависимости или независимости двух или более сечений случайных процессов знание лишь математического ожидания и дисперсии с.п. не достаточно.

Для определения связи между различными случайными процессами используется понятие корреляционной функции – аналог понятия ковариации случайных величин (см. Т.8)

Корреляционной (ковариационной, автоковариационной, автокорреляционной) функцией случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений равна корреляционному моменту соответствующих сечений и :

или (с учётом обозначения центрированной случайной функции ) имеем

.

Приведём основные свойства корреляционной функции случайного процесса .

1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии с.п.

.

Действительно,

.

Доказанное свойство позволяет вычислить м.о. и корреляционную функцию являющимися основными характеристиками случайного процесса, необходимость в подсчёте дисперсии отпадает.

2. Корреляционная функция не меняется относительно замены аргументов, т.е. является симметрической функцией относительно своих аргументов: .

Это свойство непосредственно выводится из определения корреляционной функции.

3. Если к случайному процессу прибавить неслучайную функцию, то корреляционная функция не меняется, т.е. если , то . Другими словами

является периодической функцией относительно любой неслучайной функции.

Действительно, из цепочки рассуждений

,

следует, что . Отсюда получим требуемое свойство 3.

4. Модуль корреляционной функции не превосходит произведения с.к.о., т.е.

.

Доказательство свойства 4. проводится аналогично как в пункте 12.2. (теорема 12..2), с учётом первого свойства корреляционной функции с.п. .

5. При умножении с.п. на неслучайный множитель её корреляционная функция умножится на произведение , т.е., если , то

.

5.1. Нормированная корреляционная функция

Наряду с корреляционной функцией с.п. рассматривается также нормированная корреляционная функция (или автокорреляционная функция) определяемая равенством

---

.

Следствие. На основании свойства 1 имеет место равенство

.

По своему смыслу аналогичен коэффициенту корреляции для с.в., но не является постоянной величиной, а зависит от аргументов и .

Перечислим свойства нормированной корреляционной функции:

1.

2.

3. .

Пример 4. Пусть с.п. определяется формулой , т.е. с.в.,

распределена по нормальному закону с

Найти корреляционную и нормированную функции случайного процесса

Решение. По определению имеем

,

т.е. Отсюда с учётом определения нормированной корреляционной функции и результатов решения предыдущих примеров получим =1, т.е. .

5.2. Взаимная корреляционная функция случайного процесса

Для определения степени зависимости сечений двух случайных процессов используют корреляционную функцию связи или взаимную корреляционную функцию.

Взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов и называется неслучайная функция двух независимых аргументов и , которая при каждой паре значений и равна корреляционному моменту двух сечений и

.

Два с.п. и называются некоррелированными, если их взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю, т.е. если для любых и имеет место Если же для любых и окажется , то случайные процессы и называются коррелированными (или связанными).

Рассмотрим свойства взаимной корреляционной функции, которые непосредственно выводятся из её определения и свойств корреляционного момента (см. 12.2):

1.При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не меняется, то есть

2. Модуль взаимной корреляционной функции двух случайных процессов не превышает произведения их средних квадратичных отклонений, то есть

3. Корреляционная функция не изменится, если к случайным процессам и прибавить неслучайные функции и соответственно, то есть , где соответственно и

4. Неслучайные множители можно вынести за знак корреляции, то есть, если и, то

5. Если , то .

6. Если случайные процессы и некоррелированные, то корреляционная функция их суммы равна сумме их корреляционных функций, то есть .

Для оценки степени зависимости сечений двух с.п. используют также нормированную взаимную корреляционную функцию , определяемую равенством:

.

Функция обладает теми же свойствами, что и функция , но свойство 2

заменяется на следующее двойное неравенство , т.е. модуль нормированной взаимной корреляционной функции не превышает единицы.

Пример 5. Найти взаимную корреляционную функцию двух с.п. и , где случайная величина, при этом

Решение. Так как , .

То

т.е.

6. Стационарный случайный процесс в широком и узком смысле

Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы, то есть, случайные процессы, не изменяющие свои характеристики с течением времени. Они имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения. Таковыми являются: давление газа в газопроводе, колебания самолёта при «автополёте», колебания напряжения в электрической сети и т.д.

---

Смотрите также файлы

• 16-17 с рисунками.doc

• 18-19 с рисунками.doc

• 18-19.doc

• 13-15_ГОТОВЫЙ!!!.doc

• Экономика. Учебное пособие 2011.doc