9.2. Дискретный спектр, с произвольным конечным числом частоты.

Пусть стационарная случайная функция представлена в виде конечного спектрального разложения

(28) ,

с условиями при этом как уже было показано .

Найдём дисперсию одной гармоники , учитывая, что случайные величины

и не коррелированны и дисперсии этих величин с одинаковыми индексами равны между собой, .

.

Следовательно, с учётом свойства 2, дисперсии случайного процесса, т.е. , и приняв во внимание, что слагаемые не коррелированны и потому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых, получим

(29) .

Итак, дисперсия с.с.п. представляемая в виде суммы конечного числа гармоник с произвольными частотами, равна сумме дисперсий составляющих её гармоник.

Пример 9. Построить дискретный спектр стационарного случайного процесса

если случайные величины не коррелированны, их математические ожидания равны нулю и заданы их дисперсии равенствами:

(30)

а на вертикальной оси – соответствующие им дисперсии (30).

Решение. В прямоугольной системе координат отложим по горизонтальной оси частоты,

Задание. 1. Найти

2. Постройте график изображения спектра.

10. Спектральная плотность случайного

процесса, теорема Винера – Хинчина

Выше, когда частоты гармоник спектрального разложения стационарной случайной функции были дискретными и равноотстоящими, и был получен дискретный линейчатый спектр, причём соседние частоты отличались друг от друга на величину

Спектральное разложение с.п. на промежутке даёт приближённое его описание. Более полное представление о случайных процессах при спектральном разложении может быть получено при . Также отметим, что при неограниченном увеличении промежутка разложения ( ) число слагаемых в равенстве (29) неограниченно увеличивается, а коэффициенты в разложении корреляционной функции (см.(24)) неограниченно уменьшается, но сумма остаётся постоянной. Интервал между частотами будет стремиться к нулю, т.е. Ясно, что при этом частота изменяется непрерывно (поэтому обозначим её через без индекса), соседние ординаты спектра сближаются и в пределе вместо дискретного спектра получим непрерывный (сплошной) спектр, т.е. каждой частоте соответствует ордината, которую обозначим через

Среднюю плотность дисперсии обозначают через т.е.

(31)

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса

называется предел отношения дисперсии приходящийся на интервал частот

к длине этого интервала, когда длина стремится к нулю

(32)

т.е. спектральная плотность с.с.п. есть предел средней плотности дисперсии (31), когда

Далее получим формулы, связывающую спектральную плотность и корреляционную функцию при условии . С этой целью, найдём дисперсию из равенства (31) затем, поставив её в равенства (24) и (25) (см. пункт 16.9) получаем:

---

(33)

т.е.

(34) .

Переходя к пределу при , из равенств (33) и (34) получаем известнее утверждение полученное, независимо друг от друга Винером и Хинчиным.

Теорема 16.5 (Теорема Винера - Хинчина). Корреляционная функция и спектральная плотность стационарного случайного процесса между собой связаны взаимно обратными косинус - преобразованиями Фурье:

(35)

Дискретный линейчатый спектр разложения переходит, при , в непрерывный спектр, в котором каждой частоте соответствует неотрицательная ордината .

Кривая изображает плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра относительно прямоугольной системы координат (см.рис. 64).

Рисунок 64 из Письменного

Свойства спектральной плотности стационарного случайного процесса.

Спектральная плотность с.с.п. обладает следующими свойствами:

1. Спектральная плотность является неотрицательной функцией, т.е. .

Это свойство выводится из определения (31) с учётом неравенства .

2. Интеграл от спектральной плотности на полупрямой равен дисперсию с.с.п., т.е.

.

Равенство вытекает из второго равенства (35) с учётом первого свойства дисперсии (см.16.6);

Следует отметить, что часто для упрощения математических выкладок удобно использовать спектральное разложение с.с.п. в комплексной форме, при этом можно считать, что частоты изменяются в интервале , (частоты физического смысла не имеют).

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса в комплексной форме называется функция

(36) .

Комплексная форма Винера -Хинчина имеют вид

(37)

Доказательство этих равенств, проводится на основании спектрального разложения (24) с последующим использованием формулы Эйлера

и предельного перехода при

Отметим, что спектральная функция является чётной функцией на всём интервале , т.е.

На участке полупрямой имеем равенство (см. рис. 65).

Рисунок 65 из Письменного.

Таким образом, значения функции в два раза меньше значения функции при тех значениях аргумента

Пример 10. Пусть корреляционная функция стационарного случайного процесса задана равенством . Найти спектральную плотность ССП .

Решение. На основании первой формулы (37) получим

Таким образом, или .

Пример 11. Найдём спектральную плотность ССП , если её корреляционная функция задана в виде:

Решение. Применяем первую формулу из равенства (35), и учитывая, что в интервале , , а вне этого интервала равно нулю, получим

Применяя метод, интегрирование по частям после стандартных подсчётов получим

.

Пример12. Найти корреляционную функцию СП., если её спектральная плотность задана в виде

График корреляционной функции изображён на рис.66.

Рис.66. Письменный

На практике часто с понятием спектральной плотностью также используют понятие нормированную спектральную плотность.

---

Нормированной спектральной плотностью с.с.п. называют отношение спектральной плотности к дисперсии СП, т.е.

(38)

Пример 13. Задана спектральная плотность стационарной случайной функции , где положительная постоянная. Найти нормированную спектральную плотность.

Решение. По второй формуле равенства (35) при имеем (с учётом )

.

Найдём искомую нормированную плотность, для этого достаточно воспользоваться формулой (38), получим

11. Стационарный белый шум, дельта функция

Одним из конкретных видов стационарного СП. является так называемый «стационарный белый шум». Кратко остановимся на это очень важное явление.

Стационарным белым шумом называется стационарный с.п. спектральная плотность которого является постоянным числом:

для .

Корреляционная функция белого шума, находится на основании второй формулы (35) с последующим использованием так называемой дельта функцией, определяемая равенством

(39)

где дельта функция Дирака. Кратко рассмотрим основные сведения об этой функции.

Представление (39) выводится на основании теории интегралов Фурье.

Дельта функция Дирака.

Дельта – функция Дирака является одним из первых примеров обобщённых функций. Обобщённая функция определяется, как предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций, и удовлетворяет условию, что она ставит в соответствие всякой непрерывной функции её значение в точке :

(40) .

Правую часть равенства (40) можно представить в виде предела: для любого

(41) .

где

Таким образом, дельта – функцию можно рассматривать как предел последовательности функций при Учитывая, что при для и условно пишут

Наглядно график функции Дирака геометрически можно представить в виде графика, изображённого на рисунке 67.

Рис. 67.

Равенство (39) также пишут в виде

.

Физический смысл дельта – функции можно охарактеризовать как плотность единичной массы, сосредоточенный в нулевой точке, а в остальных точках она равна нулю.

Замечание. В приложениях равенство (39) часто применяют в форме

которое выводится аналогично как выше (следует все рассуждения в окрестности точки ).

Далее продолжим изучение «стационарного белого шума». Вычислим корреляционную функцию белого шума. На основании второй формулы (35) с последующим использованием

формулы (39) получим

.

То есть

(42)

Равенство (42) означает некоррелированность любых двух различных сечений и (поскольку при всех значениях ). В силу этого явления осуществить белый шум невозможно, т.е. белый шум - полезная математическая абстракция. В частности, явление белый шум используют для моделирования с.п., которые имеют постоянную спектральную плотность в определённом диапазоне частот, при этом поведение спектральной плотности вне его диапазона исследователя не интересует.

---

Пример 14. Спектральная плотность стационарной случайной функции постоянна в диапазоне а вне этого диапазона равна нулю, т.е.

Найти: 1. Корреляционную функцию;

2. Дисперсию случайного процесса .

Решение. 1. Найдём искомую корреляционную функцию:

,

Итак,

2. Найдём искомую дисперсию:

Следовательно, на основании первого замечательного предела получим

Тема 17. Марковские случайные процессы

1. Понятие Марковской цепи, марковские случайные процессы

Непосредственным обобщением схемы повторных независимых испытаний (схема Бернулли) является схема так называемых цепей Маркова, впервые систематически изученным известным математиком А.А.Марковым. Мы здесь ограничимся изложением элементов этой теории.

Представим себе, что проводится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществиться одно и только одно из несовместных событий , где верхний индекс обозначает номер испытания.

Говорят, что последовательность испытаний образует цепь Маркова, точнее, «простую цепь Маркова», если условная вероятность события , которое произошло в м испытании ) зависит лишь от того, какое событие произошло при м испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях.

Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются и другой терминологии при этом говорят о некоторой физической системе , в которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний и меняет своё состояние только в моменты времени . Для цепей Маркова вероятность перехода в какое либо состоянии система в момент , зависит только от и того, в каком состоянии система находилась в момент (и не изменяется от того, что становятся известными её состояния в более ранние моменты.

Для иллюстрации этого понятия (цепей Маркова) рассмотрим примеры:

Пример 1. Представим, что частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты . Частица может находиться в точках с целыми координатами при этом, в точках и находятся отражающие шкалы (стенки). Каждый толчок перемещает частицу в право с вероятностью и влево с вероятностью , если только частица не находится у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит её на единицу внутрь промежутка между стенками. Легко видит, что приведённый пример «блуждания частицы» представляет собой типичный пример цепи Маркова. Аналогично можно было бы рассмотреть случай, когда частица прилипает к одной из стенок или к обеим стенкам.

Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если множество его возможных состояний конечно или счетное (можно заранее перечислить), а переход из одного состояния в другое осуществляется скачком, переходы возможны только в определённые моменты времени

---

Среди случайных процессов особое место занимают марковские случайные процессы.

Если переходы возможны в любой момент времени, т.е. моменты переходов из одного состояния в другое случайны, то такой процесс называется процессом с непрерывным временем.

Случайный процесс с дискретным процессом называется марковским, если для любого момента времени условная вероятность каждого из состояний системы в будущем (т.е. при ) зависит только от её состояния в настоящем (т.е. при ) и не зависит от того, когда и как система пришла в это состояние, т.е. каковы были предыдущие состояния, при .

Марковский процесс называют также процессом без последействия: будущее в нём зависит от прошлого только через настоящее, вероятность системы попасть в состояние в момент времени ( ) зависит лишь от состояния, в котором система находилась в предыдущий момент времени .

Другими словами, имеют место цепочка равенств:

,

где являются возможные состояния системы .

Марковский процесс служит математической моделью для многих процессов в биологии (распределение эпидемий, рост популяции), в физике (распад радиоактивного вещества), в теории массового обслуживания (поток пассажиров в метро, поток поступлений звонков на телефонную станцию и др.).

Отметим, что в системе массового обслуживания множество состояний системы определяется числом каналов, т.е. линий связи, вычислительные машины, продавцы и т.д. Переходы между состояниями системы происходят под воздействием потока событий (потока заявок, требований, отказов и т.д.), будут простейшими, пуассоновскими.

Случайные процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого «графа состояний». В нём состояния системы изображаются прямоугольниками (или кружками), а возможные непосредственные переходы из одного состояния в другое - стрелками (или ориентированными дугами), которые соединяют эти состояния с указанием их направлений.

Пример 2. Построим граф состояний следующего случайного процесса: некоторое устройство в случайный момент времени, может выйти из строя, оно контролируется в моменты времени (к примеру, через каждый час) и в случае необходимости проводится либо ремонт, либо идёт на списание.

Решение. Возможные состояние системы (устройства) : пусть устройство исправно, устройство неисправно, требуется ремонт, устройство неисправно, ремонту не подлежит, на списание.

Процесс представляет собой случайное блуждание системы по состояниям, время проверки 1 час, является шаг процесса. Граф системы представлен на рисунке

Рис.68 (Письменный)

Одно из возможных реализация с.п. блуждания системы может иметь такой вид: , что означает: при 1-м, 2-м, 3-м осмотрах устройство исправно; при 4-м осмотре обнаружено неисправность, ремонтируется; при 5-м, 6-м осмотрах обнаружено исправность, при 7-м осмотре признано негодность, устройство списано. Процесс закончился.

---

Смотрите также файлы

• 16-17 с рисунками.doc

• 18-19 с рисунками.doc

• 18-19.doc

• 13-15_ГОТОВЫЙ!!!.doc

• Экономика. Учебное пособие 2011.doc