Тема 13. Многомерная случайная величина

(общие сведения)

1. Многомерная случайная величина

В этом разделе кратко рассмотрим систему случайных величин, где любое натуральное число, большее 2. Система случайных величин определяется аналогично, что и система двух случайных величин.

Систему случайных величин называют мерной (многомерной) с.в. или случайным вектором .

Многомерная с.в. есть функция элементарного события . Каждому элементарному событию ставится в соответствие действительных чисел , которые принимают соответственно случайные величины в результате некоторого испытания (опыта). Вектор называется реализацией случайного вектора

Закон распределения вероятностей мерной случайной величины задается её функцией распределения

(1)

Функция распределения обладает такими же свойствами, как и функция распределения двух случайных величин

В частности, она принимает значения на отрезке :

.

Если , то , то есть монотонно возрастает по каждому аргументу и т.д.

Приводим для системы случайных непрерывных величин основные требования к её функции плотности, функции распределения и определения вероятности попадания случайной -мерной случайных точки в заданной области из -мерного вероятного пространства.

Плотностью распределения системы н.с.в. определяется равенством

(2)

При этом выполняется равенство и для кратного интеграла имеет место равенство

(3) (Контроль).

Вероятность попадания случайной точки в область и мерного пространства выражается кратным интегралом

(4)

Функция распределения выражается через плотность кратным интегралом

(5)

Необходимым и достаточным условием взаимной независимости случайных величин является равенство

(6)

(7)

Основными числовыми характеристиками мерной с.в. являются:

1. Общее число м.о. равно для всех составляющих , т.е.

2. Общее число дисперсии равно для всех составляющих , т.е. при этом ;

3. Общее число ковариаций равно т.е.

при этом

В общем случае ковариации образуют ковариационную (симметрическую) матрицу

Примечание. На основании теории ковариационных матриц, можно создавать теорию систем линейных уравнений, матричных уравнений, спектральную ковариационную теорию матриц и их теорию квадратичных форм от многих переменных а также закон инерции квадратичных форм и т.д. например, можно построить по схеме книги [Исмоилов Д,….Основы Л.А.и Л.П. 2011; гл.3., параграф 7].

Здесь, мы на этом ограничимся.

2. Характеристическая функция и её свойства

С понятием характеристической функции связаны решение многих задач ряда аналитических разделов математики и её приложения (теоретической физики, механики, вариационное исчисление, теория суммирования арифметических функций и др.), в том числе, и теории вероятностей.

---

На базе характеристических функций и с помощью теории, развитая в анализе (известная под названием преобразований Фурье), удаётся находить сравнительно простое решение многих задач теории вероятностей. Особенно тех, которые связанны с задачей распределения суммы независимых с.в. и вычисления числовых характеристик случайных величин.

Здесь мы рассмотрим определения, некоторые утверждения (свойства) общего характера, а также как теоретические примеры рассмотрим характеристические функции случайных величин, распределённых по наиболее часто применяемых законов в приложениях.

Определение. Характеристической функцией случайной величины называется комплекснозначная функция , равная математическому ожиданию случайной величины , определённых для всех действительных значений , т.е. равенством

(8)

где параметр, .

Замечание. Математическое ожидание для комплексной случайной величины определяется, как комплексная сумма математических ожиданий реальной и мнимой частей комплексного числа ).

Для д.с.в. , принимающая значения с соответствующими вероятностями характеристическая функция определяется формулой

(9)

Следовательно, если с.в. принимает целочисленные значения то и

(10) .

Отсюда получим важный вывод: для дискретной случайной величины имеет место равенство для любого целого числа .

Для н.с.в. с плотностью характеристическая функция определяется формулой

(11)

Если вспомним дифференциальное равенство , то равенство (10) можно переписать в следующем виде (в форме интеграла Стилтьеса). Для случайной величины с произвольной функцией распределения математическое ожидание задаётся с помощью интеграла Стилтьеса, т.е. формулой

(11 )

Для непрерывной ограниченной функции и неубывающей ограниченной непрерывной слева функции интеграл Стилтьеса (11 ) существует и его можно определить равенством

.

Так, согласно определению интеграла Стилтьеса, для функции

,

где величина индикатор множества , определяемая равенствами:

Из того, что , то при всех вещественных , следует существование интеграла (11) для всех функций распределения, следовательно, характеристическая функция может быть определена для каждой случайной величины.

Как уже было отмечено, если с.в. принимает целочисленные значения то , , тогда . Этот случай достаточно подробно рассматривался в п. 8.8.

По этой причине, здесь в основном рассмотрим непрерывные случайные величины . При исследовании этого раздела в основном будем следовать учебнику [1].

Теорема 13.1. Характеристическая функция непрерывной случайной величины равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям:

---

1. , 2. .

Доказательство. В равенстве (10) положим , тогда в силу того, что является плотностью вероятности распределения н.с.в. , получим (свойство - контроля) и , получим . Далее, по определению (11) имеем

.

Остаётся доказать равномерную непрерывность функции . С этой целью рассмотрим разность

,

и оценим её по модулю. Имеем . Пусть произвольное число, выберем достаточно большое положительное число такое, чтобы и подберём столь малое приращение такое, чтобы для всех . Тогда

последнее неравенство завершает доказательство теоремы.

Теорема 13.2. Если , где и - постоянные вещественные числа, то имеет место равенство , где и обозначают характеристические функции с.в. и .

Доказательство. По определению (11) имеем цепочку равенств:

.

Что и требовалась доказать.

В качестве приложения этой теоремы найдём характеристическую функцию случайной величины . По теореме 13.2. она равна

.

Задание. На основании формул (12) - (15) найти и . Здесь вероятность наступление события .

Теорема 13.3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций.

Доказательство. Пусть и независимые случайные величины . Тогда очевидно, что вместе с и независимы также случайные величины и . Отсюда следует, что

.

Это равенство доказывает теорему. Отметим, что эта теорема значительно упрощает сложение независимых случайных величин.

Следствие 1. Если и каждое слагаемое независимо от суммы предыдущих, то характеристическая функция величины равна произведению характеристических функций слагаемых, т.е. .

Упражнение. Докажите, что если постоянные числа и , где попарно независимые случайные величины, тогда справедливо равенство

.

Теорема 13.4. Если случайная величина имеет абсолютный момент го порядка, то характеристическая функция величины дифференцируема, раз и при имеет место

(12) ,

где

Далее по условию теоремы с.в. имеет абсолютный момент го порядка, поэтому он (абсолютный момент) ограничен, т.е. . Следовательно, можно обе части равенства (11) дифференцировать. Тогда получим (12). Из (12) при , получим .

Равенство (12) также называют «формулой вычислении моментов» При помощью этой формулы легко вычислить математическое ожидание и дисперсию н.с.в. .

Следствие 2. Математическое ожидание и дисперсия выражается формулами:

(12) .

Задание. Докажите равенство

Замечание. Введём обозначение

(13) ,

(равенство рассматривается для фиксированной ветви логарифмической функции).

Тогда на основании (13) можно проверить следующие равенства

(14) , ;

и с учётом , из равенство (11), находим , .

Следовательно,

Отсюда, получим ещё одну формулу для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины.

---

(15) .

Производная го порядка функции логарифма характеристической функции (т.е. функция ) в точке , умноженная на число , называется семиинвариантом го порядка случайной величины. Первыми двумя семиинвариантами являются математическое ожидание и дисперсия, т.е. момент первого порядка и некоторая рациональная функция моментов первого и второго порядков (см. равенство (14)).

Из теоремы 13.3. непосредственно выводится.

Следствие 3. При сложении суммы двух независимых с.в. их семиинварианты складываются, т.е.

(16) .

Упражнение. Покажите, что справедливы равенства:

1.

2. .

3. Примеры вычисления характеристических функций

3.1. Характеристическая функция биномиального закона.

Пусть с.в. , распределена по биномиальному закону. Найти , а затем выразить, , через . Имеет место утверждение.

Теорема 13.5. Для характеристической функции д.с.в. , распределённой по биномиальному закону справедлива формула

(17) .

Доказательство. По определению случайная величина принимает целочисленные значения с вероятностями . На основании формулы (9) и формулы бинома Ньютона, находим

,

и с учётом , равенство (17) доказано.

Упражнение. Для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения и при любом целом , вывести на основании равенства (12) формулы:

1.

2.

3.2. Характеристическая функция закона Пуассона.

Теорема 13.6. Для характеристической функции д.с.в. , распределённой по закону Пуассона справедлива формула

(18) .

Доказательство. Согласно условию теоремы с.в. принимает только неотрицательные целые значения, при этом

Найдём характеристическую функцию с.в.

.

Следовательно, теорема доказана.

Упражнение. Для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона при любом целом , и на основании равенства (12) – (15) вывести формулы:

1. 2.

Рассмотрим следующую теоретическую задачу, которая раскрывает ещё одну сторону закона Пуассона, где распределение происходит с параметром, равным произведению .

Задача [см. Бородин]. Число космических частиц, попадающих в аппаратный отсек ракеты за время её полёта распределено по закону Пуассона с параметром . При этом условная вероятность для каждой из этих частиц попасть в уязвимый блок равна .

Найти закон распределения количества частиц, попадающих в уязвимый блок.

Решение. Пусть обозначает уязвимый блок ракеты, а выражает наступление события, когда в уязвимый блок ракеты попало частиц, и обозначает аппаратный отсек ракеты, а выражает наступления событий, когда в аппаратный отсек ракеты попало частиц. Тогда события , , составляют полную группу событий, по формуле полной вероятности и с учётом того, что для , имеем

Далее, т.к. вероятности гипотез согласно условию задачи равны

---

, а для случаев , величина определяется по биномиальному закону с вероятностью «успеха» (частица попала в уязвимый блок) . Поэтому, согласно формуле, Таким образом, окончательно получим

,

отсюда на основании значения биномиальных коэффициентов , получим

.

Таким образом, количество частиц, попадающих в уязвимых блок ракеты также распределены по закону Пуассона, но с параметром, равным произведению .

Напомним, что аналогичными формулами мы раньше встречались в пунктах 6.2. и 9.2. в связи вероятностью наступления потока события в случайные моменты времени (простейшие потоки событий).

3.3. Характеристическая функция геометрического закона.

Пусть проводится неограниченное число независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие наступает с вероятностью и пусть обозначает с.в. , равная числу испытаний до момента первого наступления события . Тогда эта вероятность как мы уже знаем (см. п.9.3.) равна

.

Это распределение называется геометрическим, так как вероятность , как числовая последовательность образуют геометрическую прогрессию. Тогда вероятность того, что событие наступит не раньше момента , задаётся формулой

Так как производящая функция данного распределения (см.п.8.8.) равна , то согласно равенству (10) для будем иметь

.

Упражнение. Для математического ожидания и дисперсии геометрического закона распределения на основании формул (12) – (15) вывести равенства:

1. 2.

3.4. Характеристическая функция равномерного закона.

Вспомним, что равномерное распределение для любых вещественных чисел задается плотностью

Характеристическая функция равномерного распределения вычисляется следующим образом:

В частности, для центрально - симметрического отрезка получим

Следствие 4. В частности, справедливы равенства

Упражнение. Для математического ожидания и дисперсии равномерного распределения на основании формул (12) – (15) вывести равенства:

1. 2.

Для случая вывести формулы: 3. 4.

3.5. Характеристическая функция показательного закона.

Как было показано в.9.6. плотность с.в. , распределённая по показательному закону

имеет вид:

Характеристическая функция показательного распределения вычисляется следующим образом:

Упражнение. Для математического ожидания и дисперсии показательного распределения на основании формул (12) – (15) вывести равенства:

1. 2.

3.6. Характеристическая функция нормального закона ( ).

Теорема 13.7. Для характеристической функции с.в., распределённой по нормальному закону справедлива формула

(19) .

Доказательство. Согласно формулы (29), пункта 9.9 функция плотности с.в. определена равенством

Характеристическая функция нормального распределения вычисляется следующим образом:

.

Воспользуемся интегралом Пуассона , в итоге для характеристической функции с.в. получим равенство

---

Смотрите также файлы

• 16-17.doc

• 16-17 с рисунками.doc

• 18-19 с рисунками.doc

• 18-19.doc

• 13-15_ГОТОВЫЙ!!!.doc