где выражает множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству ,

т.е. (эти точки находятся выше прямой ), где произвольное число. Ясно, что если , то ; так как по условию примера вне единичного квадрата .

Область интегрирования при изображена на рис. 48, при на рис. 49.

Рис. 48 ; рис.49.(Письменный)

При имеем

При имеем

После стандартных подсчётов и упрощений окончательно получим

Остаётся случай , имеем

Таким образом, для функции распределения с.в. получим

Следовательно,

Проверим контроль.

Упражнение. На основании условии (10) примера 5 найти функции и плотности распределения вероятностей случайных величин:

1. , 2. .

Пример 6. Пусть и независимые случайные величины, при этом и . Найти закон распределения с.в. .

Решение. На основании формулы (7) получим

На основании интеграла Пуассона получим

Следовательно, сумма двух независимых нормальных с.в. и c числовыми характеристиками: имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

Тема 15. Распределение функций нормальных

случайных величин

Рассмотрим распределение некоторых случайных величин, представленные функцией нормально распределённых с.в., часто используемые в математической статистике.

1. Распределение « хи-квадрат или

распределения Пирсона»

Пусть независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону, при этом предполагается, что математическое ожидание и дисперсия каждого из них равны: .

Распределением с степенями свободы называется распределение суммы

Плотность вероятности с.в. зависит только от числа слагаемых . Например, если , то где а плотность распределения равна

Плотность вероятности с.в. при определяется равенствами

(1)

где гамма - функция Эйлера, , в частности,

С возрастанием числа - степени свободы распределение приближается к нормальному закону распределения (при распределение практически не отличается от нормального распределения), причём выполняются равенства:

(2)

На практике, как правило, используют не плотность вероятности, а квантили (Т.8.) распределения .

Квантилю распределения , соответствующей уровню значимости , называется такое значение, при котором выполняется равенство

(3) .

С геометрической точки зрения нахождение квантили заключается в выборе такого значения , чтобы площадь заштрихованной области на рис.56 фигуры была равна .

x

Рис. 56 стр 159 Письмен…

Значения квантилей приводятся в специальных таблицах- приложениях (Письмен…стр.286, приложение 3.).

Для стандартного нормального распределения квантили уровня обозначаются через при этом является решением интегрального уравнения

(4)

---

Следует заметить, что распределение определяется одним параметром – числом степеней свободы и с увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному закону. Распределение так же называют критерием согласия Пирсона [с.м.книгу ТВ.и МС. А. А. Белов, Баллод, …]. Оно позволяет проверить статистических гипотез о распределении вероятностей случайной величины.

2. Распределение Стьюдента

Пусть - стандартная нормальная случайная величина, независящая от распределения, а независимая от случайная величина, распределённая по закону

Распределением Стьюдента (или распределением) с степенями свободы называется распределение случайной величины

(5) .

«Стьюдент-псевдоним английского статистика В. Госсета».

Плотность вероятности Стьюдента имеет вид

(6)

При распределение Стьюдента приближается (начиная уже с почти совпадает) к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией:

(7) .

На практике используют квантили распределения. Это такое значение что

(8)

С геометрической точки зрения задача нахождение квантилей заключается в выборе такого значения , чтобы площадь заштрихованной фигуры на рис. 57 была равна

Рис.57, сир 160.

Мы ещё вернёмся к этому распределению в разделе Математической статистики …

3. Распределение Фишера – Снедекора (распределение)

Пусть и два независимые случайные величины, распределённые по закону со степенями свободы соответственно и .

Распределением Фишера – Снедекора (или распределением) с и степенями свободы называется распределении с.в.

(9)

где и независимые с.в., имеющие распределение соответственно с и степенями свободы. Плотность этого распределения равна

(10)

где

При распределение стремится к нормальному закону с числовыми характеристиками:

(11)

Обычно на практике используют квантили распределения в случаях, когда значение функции распределения такое, что

(12)

С геометрической точки зрения задача нахождение квантилей заключается в выборе такого значения величины , чтобы площадь заштрихованной области на рис. 58 была равна

Рис. 58 (П)

К этой теме мы ещё вернёмся более подробно в Т.20, (пункт 8.2).

---

Смотрите также файлы

• 16-17.doc

• 16-17 с рисунками.doc

• 18-19 с рисунками.doc

• 18-19.doc

• 13-15_ГОТОВЫЙ!!!.doc