ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2019
Просмотров: 920
Скачиваний: 5
11
ванием. Критерий Сильвестра положи
тельной определенности квад
ратично
й
формы. Квадратичн
ые
формы в вещ
е
ст
венном пространстве. Закон инерции
квадратичных форм. Квадратичные
формы в евклидовом пространстве.
ределённости квадратичной формы.
15 Итого
15
64
12
К
ОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1.
Матрицы.
Для данной матрицы
A
, приведенной для каждого ва
рианта в прил. 1:
а)
вычислить определитель матрицы
A
;
б) вычислить
след
матрицы
A
;
в)
найти (если это возможно) матрицу, обратную к матрице
A
;
г) найти базис линейной оболочки системы векторов — столбцов
матрицы
A
;
д) определить
ранг
матрицы
A
;
е) найти собственные значения матрицы
A
и соответствующие им
собственные векторы.
2.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Для данной
системы линейных уравнений, заданной в прил. 2 расширенной матри
цей (
А
|
b
)
а) найти общее решение и два различных базисных решения дан
ной системы линейных уравнений;
б) найти
матрицы
АА
т
,
А
т
А
,
bb
т
,
b
т
b
, прокомментировать их свойст
ва (ортогональность, симметричность, знакоопределенность).
3.
Геометрические свойства решений системы линейных алгеб
раических уравнений.
Для данной системы линейных уравнений и дан
ного вектора
y
(расширенная матрица системы уравнений и вектор
y
для
каждого варианта приведены в прил. 3):
а) проверить, является ли вектор
y
решением данной системы ли
нейных уравнений;
б) найти ортогональную проекцию и ортогональную составляю
щую вектора
y
на подпространство всех решений заданной системы
уравнений;
в)
найти угол между вектором
y
и подпространством ;
г)
найти расстояние от вектора
y
до подпространства .
4.
Гиперплоскость.
Для гиперплоскости, заданной уравнением
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+ +
c
3
x
3
+
c
4
x
4
= 0 (числа
c
1
,
c
2
,
c
3
и
c
4
приведены для каждого
варианта в прил. 4):
а)
найти ортонормированный базис гиперплоскости;
б) найти
матрицу
ортогонального
проектирования на эту гиперп
лоскость.
5.
Расстояние между прямыми.
Найти расстояния между прямы
ми
a
1
+
b
1
x
и
a
2
+
b
2
x
, где векторы
a
1
,
a
2
,
b
1
и
b
2
приведены для каждого ва
рианта в прил. 5.
6.
Линии второго порядка.
Привести уравнение линии второго по
рядка к каноническому виду, определить тип этой линии и начертить ее
(уравнения для каждого варианта приведены в прил. 6).
13
7.
Квадратичные формы.
Привести квадратичную форму
F
(
x, y, z
), приведенную для к4аждого варианта в прил. 7, к каноническо
му виду, определить вид поверхности, заданной уравнением
F
(
x, y, z
), а
также знакоопределенность квадратичной формы.
В
ОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.
Матрицы, их классификация, сложение матриц и умножение матри
цы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы,
свойства операций над матрицами.
2.
Элементарные преобразования матриц и матрицы элементарных
преобразований, теорема о приведении произвольной матрицы к верхней тра
пециевидной форме.
3.
Определитель и след квадратной матрицы, из свойства.
4.
Ортогональная матрица, теорема об определителе ортогональной
матрицы.
5.
Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства.
6.
Линейное пространство, подпространство линейного пространства,
линейное многообразие, линейная оболочка, сумма и пересечение подпро
странств, изоморфизм линейных пространств.
7.
Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл.
8.
Базис и размерность линейного пространства, координаты вектора.
9.
Ранг матрицы, теорема о базисном миноре, инвариантность ранга
матрицы относительно ее элементарных преобразований.
10.
Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.
11.
Проекции геометрического вектора на плоскости и в пространстве.
12.
Скалярное, векторное и смешанное произведения геометрических
векторов.
13.
Преобразование аффинной и прямоугольной декартовой системы
координат.
14.
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
15.
Системы линейных уравнений: основные определения, каноническая
форма записи системы линейных алгебраических уравнений.
16.
Система линейных уравнений с квадратной невырожденной матри
цей, правило Крамера.
17.
Элементарные преобразования системы линейных алгебраических
уравнений, формулы исключения (вывод), правило прямоугольника.
18.
Исследование и решение системы линейных алгебраических урав
нений методом последовательного исключения неизвестных Жордана — Га
усса.
19.
Геометрические свойства решений системы линейных уравнений.
20.
Поиск различных предпочитаемых эквивалентов системы линейных
алгебраических уравнений и базисных решений, общего решения.
21.
Преобразование системы линейных алгебраических уравнений с со
хранением неотрицательности правых частей уравнений, поиск различных
базисных неотрицательных решений, правила выбора разрешающей неиз
вестной и разрешающего уравнения, их обоснование.
14
22.
Системы линейных алгебраических неравенств: основные определе
ния, сведение к системе линейных алгебраических уравнений.
23.
Обратная матрица: определение, свойства, условие существования.
24.
Обращение матрицы методом Жордана.
25.
Обращенный базис системы линейных алгебраических уравнений.
Приведение системы линейных алгебраических уравнений к предпочитаемо
му виду с помощью обращенного базиса.
26.
Прямая, различные виды уравнений прямой на плоскости и плоско
сти в пространстве.
27.
Взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в про
странстве, полуплоскость и полупространство, линейные неравенства.
28.
Прямая на плоскости и плоскость в пространстве в прямоугольной
декартовой системе координат.
29.
Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в простран
стве.
30.
Системы линейных неравенств.
31.
Комплексные числа и операции над ними.
32.
Сопряженная матрица и ее свойства.
33.
Многочлены, деление многочленов, корни многочлена, теорема Безу,
основная теорема алгебры.
34.
Многочлены с вещественными коэффициентами.
35.
Многочлены от матрицы, теорема Гамильтона — Кэли.
36.
Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и свойства.
37.
Общее уравнение линии второго порядка на плоскости, характери
стический многочлен, метод вращений.
38.
Классификация линий второго порядка на плоскости, каноническое
уравнение, метод Лагранжа.
39.
Скалярное произведение векторов, неравенство Коши — Буняков
ского.
40.
Евклидовы и метрические пространства, длина вектора, расстояние
между двумя векторами, расстояние между двумя множествами в евклидовом
пространстве.
41.
Ортогональные векторы, ортогональный и ортонормированный базис
линейного пространства, процесс ортогонализации Грама — Шмидта.
42.
Свойства матрицы Грама и определителя Грама.
43.
Теорема Пифагора, линейные многообразия в евклидовом простран
стве.
44.
Линейное нормированное пространство.
45.
Линейный оператор и его матрица, свойства линейного оператора.
46.
Произведение линейных операторов, образ и ядро линейного опера
тора, обратный оператор.
47.
Собственные значения и собственные векторы матрицы.
48.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Оператор простой структуры.
49.
Симметричная матрица, ее собственные значения и собственные
векторы.
15
50.
Самосопряженный линейный оператор, его собственные значения и
собственные векторы.
51.
Положительно определенная матрица, ее собственные значения и
собственные векторы.
52.
Неотрицательно определенная матрица, ее собственные значения и
собственные векторы.
53.
Идемпотентная матрица, ее собственные значения и собственные
векторы.
54.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом
Лагранжа.
55.
Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной
формы.
56.
Квадратичные формы в вещественном пространств, закон инерции
квадратичных форм.
57.
Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве, об
щее уравнение гиперповерхности, приведенные уравнения гиперповерхности.
58.
Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом
пространстве.
Р
ЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
О с н о в н а я
1.
Соловьев В. И.
Математика в экономической сфере: Учебное посо
бие. – М.: Дрофа, 2008.
2.
Ильин В. А., Ким Г. Д.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
Учебник. – М.: Издательство Московского университета, 2002.
3.
Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А.
Линейная алгебра в
вопросах и задачах: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2003.
4.
Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И.
Прикладная матема
тика: Учебное пособие. – М.: ИНФРАМ, 2002.
5.
Магнус Я. Р., Нейдеккер Х.
Матричное дифференциальное исчисле
ние с приложениями к статистике и эконометрике. – М.: Физматлит, 2002.
Д о п о л н и т е л ь н а я
6.
Айвазян С
.
А., Мхитарян В. С.
Прикладная статистика. Основы эко
нометрики. Ч. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИ
ТИДАНА, 2002.
7.
Александров П.
С. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб
ры. – М.: Наука, 1979.
8.
Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А.
Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Физматлит, 2003.
9.
Бугров Я. С., Никольский С. М.
Элементы линейной алгебры и анали
тической геометрии. – М.: Дрофа, 2003.
10.
Ван дер Варден Б. Л.
Алгебра. – СПб.: Лань, 2003.
11.
Воеводин В. В.
Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
12.
Гантмахер Ф. Р.
Теория матриц. – М.: Наука, 1988.