ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.12.2019
Просмотров: 358
Скачиваний: 3
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида y’f(x)*g(y) или уравнение вида f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)ddy=0. Заметим что первое уравнение можно привести к виду второго уравнения и наоборот. Так как y’=dy/dx=f(x)*g(y), то умножив две части уравнения на dx, будем иметь: dy=f(x)g(y)dx следовательно f(x)g(y)dx-dy=0. Теперь разделим на g1(y)*f2(x) и получим (f1(x)*g1(y)/g1(y)*f2(x))dx+(f2(x)*g2(y)/g1(y)*f2(x))dy=0 следовательно( f1(x)/F2(x))dx+(g2(y)/g1(y))dy=0 отсюда получаем общий интеграл уравнения S(f1(x)/f2(x))dx+S(g2(y)/g1(y))dy=C.
25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’+P(x)y=f(x). Если в этом уравнении правая часть не равна 0, то оно называется линейным неоднородным, а если равна 0, то линейным однородным. Существует несколько методов интегрирования линейных дифференцированных уравнений первого порядка:
1)Метод подстановки (метод Бернулли): y=u(x)*v(x)
2)Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа): y’+P(x)y=f(x)
26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
Числовым рядом или просто рядом называется выражениет9сумма) вида а1+а2+….+аn+Man. Числа а1а2-называются членами ряда, аn-общим или n-ым членом ряда. Пусть аn=1/n, тогда ряд 1+1/2+1/3+….+1/n…=M1/n (гармонический ряд); пусть an=1/na, тогда ряд 1+1/2a+1/3a+…+1/na+…=M1/na (обобщённый гармонический ряд); пусть an=aqn-1, тогда ряд a+aq+aq2+….+aqn-1+…=Maqn-1 (ряд геометрической прогрессии). Из членов ряда 1 образуем числовую последовательность частных сумм s1,S2….Sn, где Sn=a1+a2+…an-сумма n первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой. Ряд 1 называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел,т.е. limSn=S. В этом случае число S называется суммой ряда 1 и пишется так:a1+a2+…an=S. Ряд 1 называется расходящимся если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
Положительные ряды: ряды,для которых an>=0, n=1,2,3…пусть даны два положительных ряда: 1)a1+a2+…+an+…=Man 2)b1+b2+…+bn+..=Mbn. Тогда1)из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда; 2)из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.
28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
Знакочередующимся рядом называются ряды, у которого любые ряды стоящие члены имеют противоположные знаки. Такие ряды удобнее записывать в виде: a1-a2+a3-an+….+(-1)n-1*an+… Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак. Для того чтобы знакочередующиеся ряды сходились, достаточно, достаточно чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n. Таким образом,если a1>=a2>=a3>=…. И liman=0, то знакочередующийся ряд сходится.Ряд называется абсолютно сходящимся если сходится ряд, составленный из абсолютныхвеличин его членов. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.
29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.
Степенным рядом называется функциональным рядом вида a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an9x-a)n+..=Man(x-a)n, где ааа-постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а-некоторое постоянное число, х-переменная, принимающая значения их множества действительных чисел. При а=0 степенной ряд принимает вид a0+a1x+a2x2+….+anxn+..=Manxn. Степенной ряд называют рядом по степеням разности (х-а),ряд 2 –рядом по степеням х.
Если переменной х придать какое-либо значение,то степенной ряд 1 или 2 превращается в числовой ряд, который может сходится или расходиться.
Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема. Теорема Абеля-если степенной ряд сходится при х=х0не=0,то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|; чесли же ряд 2 расходится при х=x0не=0, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>|x0|.
30.Ряды Тейлора И маклорена.
Пусть f(x) –дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки x=a,т.е.имеет производные любых порядков. Рядом Тейлора- функции f(x) в точке х=а называется степенной ряд f(a)+f’(a)/1!(x-a)+f’’(a)/2!(x-a)2+…+fna/n!(x-a)n+…=Mfna/n!(x-a)n в частном случае при а=0 ряд называется рядом Маклорена: f(0)+f’(0)/1!x+f’’(0)/2!x2+….+fn(0)/n!xn+…=Mfn(0)/n!xn