Вопрос 1. Действия с матрицами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.

Прямоугольная таблица состоящая из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот -элемент, называется числовой матрицей.

А=, Матрица обозначается А,В,С… . -размер матрицы.

Операции над матрицами:

Сложение матрицы. Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.

Cуммой этих матриц называется матрица С_mn того же размера, элемент которой находится по формуле

= + ( 1,m , j = 1,n).

Пример 1. Даны две матрицы одинакового размера.

Найти сумму А+В двух матриц.

Решение.

Рассмотрим еще один пример

Пример 2.Пусть даны матрицы:

Решение.

Вычитание матрицы = -

Умножение матрицы на число . Произведением матрицы A_mn×λ наз-ся число матрицы B_mn=A_mn× λ= λ× A_mn элементы которой = λ* Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак этой матриц

Например, пусть

Найти результат умножения матрицы  А  на число  4.

Умножение матрицы на матрицу. Произведением матрицы А_mk на матрицу B_kn называется матрица C_mn каждый элемент которой равен сумме произведений элементов і –ой (итой) строки матрицы А на соответствующие элементы j-го (житого) столбца матрицы В , т.е. C_ij= a_i1*b_1j+a_i2*b_2j+…+a_ik*b_kj ═ =a_isb_sj

Замечание: Умножать можно только согласованные матрицы. Две матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов в первой матрице А равно числу строк во второй матрице В

Пример.

А= ; В=

23 22

А×В – не сущ-ет, т.к м-цы А и В не согласованные(3×2)

В × А – согласованные

22 23

В×А = × = =

Квадратные матрицы одного порядка всегда согласованные

Транспонирование матрицы. A_mn матрица полученная из матрицы А , заменой её строк столбцами без изменения порядка их следования наз-ся транспонированной к матрице А и обозначается А^т

А= А^т=

23 32

Замечание: Матрица А называется симметричной, если А=А, и кососимметричной, если А = –А.

Возведение матрицы в степень(только для квадратных м-ц) А^п=А*А*А*…*А

Вопрос 2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Определитель- это число, определяемое по некоторой формуле

Определитель м-цы А обозначается det A или │A│, или ∆. Понятие опред-ля имеет смысл только для квадр-х м-ц.

1. Опред-м м-цы А первого порядка А= [a_ij] наз-ся число a_ij │A│= a_ij ( А=│5│, │A│=5); (А=│-3│,│A│=-3)

2. Опред-м м-цы второго порядка А =наз-ся число опред-ое по формуле= –

свойства:

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:=.

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

= – , = – .

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

= или =.

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

=0, = 0.

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:=+, =+.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

=+=, так как =0 по свойству 5.

3. Опред-м м-цы третьего порядка наз. число кот-е вычисляется по формуле

Δ ==+₊ -- - ,

Вопрос 3. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.

Минором М_ij элемента a_ij наз-ся опред-ль,м-цы (n-1)-го порядка полученный из м-цы А вычеркиванием итой строки и житого столбца,

Пример: А=│ │ ;

М₂₃=│ │=1*1 - 2*7=13; а₂₃=4.

М₁₂=││= -2*(-5) - 4*7= -18 ; а₁₂ = 2.; М₂₂=││= -5-21=26; а₂₂=0.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение будем обозначать , то есть =*.

(8 св-во опред-ля )Теорема Лапласа. Определитель квадратной м-цы А п-го порядка равен сумме всех произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Разложение по эл-там итой строки -│А│=а_i1* А _i1+ а_i2* А _i2+…+ а_in* А _in

Разложение по элементам житого столбца - │А│= а_1j * А_1j + а_2j* А_2j +…+ а_nj *А_nj

(9 св-во определителя) Теорема аннулирования:сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть ++ = 0,

Опред-ль произведения двух квадратных м-ц равен произведению определителей этих квадратных матриц:

Вопрос 4. Обратная матрица и её вычисление.

Квадратная матрица А порядка n называется новорожденной (неособенной), если её опред-ль не равен 0 ( det A ≠ 0);

в противном случае матрица наз-ся выражденной (особенной) ( det A = 0)

Обратной м-цей для квадратной м-цы А порядка n наз-ся м-ца , если выполняются равенства , где Е – единичная матрица того же порядка n, что и м-ца А

Теорема: Необходимое и достаточное условие существования м-цы. Для того, чтобы квадр-я м-ца А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была выражденной.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Вычисляем опред-ль м-цы А. Если опред-ль м-цы А = 0, то обратной м-цы не сущ-ет. Если А≠0, то сущ-ет.

2. Строим м-цу составленную из алгебраических дополнений к м-це А : .

3) Строим присоединительную м-цу к м-це : - ()^т= .

4) Находим обратную м-цу по формуле:

Необходимо сделать проверку:

А *= Е

* А=Е

Св-ва обратной м-цы

1. ;

2. ;

3. .

Вопрос 5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.

Рангом r (A) м-цы А наз-ся макс-ый порядок ее миноров, отличных от нуля. Минором k-го(факториального) порядка м-цы А наз-ся опред-ль k-го(факториального) порядка, построенный из эл-тов м-цы А, находящихся на пересечении k строк и k столбцов м-цы А. Базисным минором м-цы наз-ся всякий отличный от нуля минор, порядок кот-го = рангу данной м-цы. Ранг м-цы = 0 тогда, когда А – нулевая м-ца.

Пример: Определить ранг матрицы А=

Решение: Матрица А имеет порядок 3×4 , следовательно, ранг матрицы 0 ≤ r (A) ≤ 3. Для опред-ния ранга вначале найдем все возможные миноры 3-го порядка: если хотя бы один из них отличен от нуля, значит, ранг м-цы А равен трем. Всего имеем 4 минора 3-го порядка: , , ,

Т. к. достаточно найти среди них хотя бы один, отличный от нуля, то выберем тот минор, который содержит большее кол-во нулевых элементов: = 1*(-1)³⁺² r(A) 3..

Данный минор будет являться базисным для исходной м-цы.Если бы все приведенные в примере миноры 3-го порядка оказались =-ми 0, то это привело бы к рассмотрению миноров 2-го порядка. В этом случае ранг м-цы был бы меньше трех. М-цы А и В наз-тся эквивалентными (А~В), если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям относят:

1) перестановку местами любых двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение каждого элемента строки (столбца) на один и тот же множитель λ ≠ 0;

3) прибавл-ие (выч-ие) к эл-там строки (столбца) соотв-щих эл-тов другой строки (столбца), умнож-х на один и тот же множитель.

Ранги эквивалентных м-ц совпадают, т.е. ранг м-цы не меняется, если к м-це применить элементарные преобразования 1-3. Если хотя бы один эл-нт м-цы А 0, то ранг м-цы больше нуля. Таким образом, ранг является еще одной важной характеристикой матрицы. Имеют место следующие утверждения:

1) если ранг м-цы А = k, то сущ-ет ровно k линейно-независимых строк (столбцов), от кот-х линейно зависят все остальные строки (столбцы), т. е. все остальные строки выражаются ч-з эти k линейно-независимых строк;

2) макс-е число линейно-независ-х строк м-цы совпадает с макс-ым числом линейно-независ-х столбцов и = рангу м-цы.

Вопрос 6. Системы линейных алгебраических уравнений(ЛАУ). Матричный способ решения систем ЛАУ.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x₁ , x₂ , ... , x_n называется система вида:

₍₁₎ Данная система может быть записана в матричном виде АХ = В , (2)

где А = есть м-ца сис-мы (1), или м-ца коэф-тов;

Х = есть м-ца- столбец неизвестных; В = есть м-ца- столбец свободных членов.

Если В = 0, то система (1) называется однородной, если же В ≠ 0, то неоднородной.

Решением сис-мы (1) наз. всякая совокупность чисел , кот-я, будучи подставленной в сис-му, превращает каждое ее урав-ние в тождество. Однако не каждая сис-ма ЛАУ имеет решение. Если не сущее-ет ни одной совокупности значений , удовлетворяющей заданным урав-ям сис-мы, то сис-ма (1) наз несовместной. В противном случае, сис-ма (1) наз совместной. Совместная сис-ма может иметь единственное реш-ие, или бесконечное множ-во реш-й.

Матричный м-д решения систем ЛАУ. Если в сис-ме (1) m=n и detA ≠ 0 (м-ца невырожденная), то для неё сущ-ет обратная м-ца . Умножим обе части равенства (2) слева на : ×А×Х=×В Е×Х=×В, отсюда Х = ×В. (3) Формула (3) явл-ся матричной записью реш-я сис-мы ЛАУ. Т. к. обратная м-ца единственная, то сис-ма (1) имеет единственное реш-е. Таким образом для реш-я сис-мы ЛАУ матрич-м м-дом необх-мо найти обратную м-цу к м-це А и умножить её слева на столбец свободных членов В

Правило Крамера: Если м-ца А сис-мы ЛАУ не выражденная, то сис-ма имеет единственное реш-е полученное по формулам:

Х_{i =} , где ∆-опред-ль м-цы А ; ∆_i -опред-ль получ-й из опред-ля м-цы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов В

М-д Гаусса: Этот м-д можно использ-ть для реш-я любых сис-м ЛАУв том числе и тех, у кот-х число урав-ний ≠ числу неизвестных(т ≠ п)

Вопрос7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы ЛАУ.

Пусть дана матрица общего вида порядка m  n:

А=.

Обозначим строки матрицы через , ,…, : = , = , …, =

Пусть: =,; =

Тогда сумма ++…+, , будет наз. линейной комбинацией строк () м-цы А.

Если сущ-ют числа ,такие что =++…+++...+, то говорят, что строка выражается ч-з остальные строки , , …,, , …,. Строки, , …, наз-ся линейно зависимыми, если существуют числа

, не все одновременно равные нулю, что ++…+=0, где 0=(0 0 …0). Если же данное равенство выполняется лишь когда все числа =0, , то говорят, что строки , , линейно независимы. Заметим, что, если строки линейно зависимы, то, по крайней мере, одна из них выражается ч-з остальные. Если же строки линейно независимы, то ни одна строка не выражается ч-з остальные. Аналогично вводится понятие линейной зависимости и независимости столбцов.

Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной (то есть имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг исходной матрицы системы совпадал с рангом расширенной матрицы, то есть r(A) = r(С).

1)если r(A) = r(С)= n, где n – число неизвестных системы, то данная система имеет единственное решение;

2)если r(A) = r(С) = k < n, то система имеет бесконечное множество решений;

3)если r(A) ≠ r(С), то система несовместна, то есть не имеет решений.

Если число неизвестных > числа урав-й, то сис-ма либо не имеет реш-й, либо имеет их бесконечное множ-во (если r(A)=r(С)=k <n.)

Вопрос 8. Формулы Крамера решения систем ЛАУ.

Рассмотрим еще один метод решения системы (1)

Пусть, как и ранее, n = m.

Тогда из формулы (3) имеем: Х=× В == _{. (4)}

В формуле (4) = det A – главный определитель системы (1),

(разлагаем по j-му столбцу)=; , – побочные опред-ли сис-мы (1).

Они получаются из главного определителя заменой соответствующего j-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (4) называются формулами Крамера.

1.Для матрицы А системы уравнений вычислить ее главный определитель = det A.

2.Последовательно,заменяя каждый столбец м-цы А столбцом свободных членов, получить побочные опред-ли ,

3. а)Если ≠ 0, то по формулам (4) определить единственное решение системы (1): , , …., .

б) Если =0, а хотя бы один из побочных опред-лей ≠0, то исходная сис-ма (1) несовместна, т. е. не имеет решений

в) Если == 0, , то исходная система (1) имеет бесконечное множество решений.

Вопрос 9 Метод Гаусса решения систем ЛАУ.

Метод Гаусса применим к любой сис-ме ЛАУ. Иногда этот м-д наз-ют методом последовательного исключения неизвестных. Заметим, что при использовании этого метода мы также автоматически будем вычислять ранг матрицы системы.

Итак, пусть задана система m ЛАУс n неизвестными: (6)

В матрич-м виде сис-ма (6) запис-ся АХ=В, где А – прямоуг-я м-ца размера mn: А=, а ,

Х и В – м-цы-столбцы: Х=,В=.

Если в рез-те преобраз-й м-цы сис-мы получ-я треуг-я м-ца, то сис-ма будет иметь вид:

где

Из последнего урав-я можно найти , а затем, подставляя найденное в предпоследнее урав-е, найти и т.д. В итоге будем иметь единственное решение , , …,. В этом случае ранг матрицы А системы уравнений равен n.

Если в рез-те преобраз-й м-цы сис-мы получится трапециевид-я м-ца, то сис-ма примет вид:

где

В этом случае k<n, следоват-но, сис-ма урав-й будет неопределенной, т. е. будет иметь бесконечное множество решений, т. к. она содержит n – k свободных переменных:

Придавая свободным переменным , , …, произвольные значения, будем иметь каждый раз новое реш-е исходной сис-мы урав-й, т.е. реш-й будет бесконечное множ-во. В этом случае ранг матрицы А системы равен k.

Если в рез-те преобразований получено урав-е, в кот. коэф-ты при всех неизвестных = 0, а свободный член отличен от нуля, то такая система будет несовместной, то есть не иметь решения.

Следует отметить, что треугольная или трапециевидная форма системы уравнений получалась ввиду предположения, что коэффициенты отличны от нуля. Если же какой-либо из этих коэф-в = 0, то система уравнений приобретет треугольную или трапециевидную форму лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных.

Метод Гаусса применяется и для однородных систем ЛАУ. В этом случае, если получаем треугольный вид сис-мы урав-й, то она будет иметь единственное (нулевое) решение _{== …= =} 0, если же получаем трапециевидный вид системы, то будем иметь бесконечное множество решений.

При решении системы ЛАУметодом Гаусса удобно выписать расширенную матрицу системы и все преобразования выполнять над строками и столбцами расширенной матрицы.

Вопрос 10. Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.

Скалярные величины - величины, которые определяются только числовыми значениями. Например: масса, площадь, длина отрезка, температура.

Если величина, кроме числового значения характеризуется еще и направлением, то она называется векторной величиной или просто вектором. Например: сила, скорость, ускорение. Следовательно, вектор полностью определяется числом и направлением. Геометрически вектор изображают отрезком, длина которого соответствует его числовому значению, а для указания направления используют стрелку.

В

А

Обозначают вектор где А – начало вектора, В – конец вектора, или просто . Заметим, что т. к. длина отрезка соответствует числовому значению вектора, то это числовое значение наз-ют длиной или модулем вектора и обозначают или .

Два вектора будем называть равными, если они имеют одно и то же направление и одинаковую длину. Вектор называется противоположным вектору . = В этом случае пишут = – .

Нулевым вектором наз-ся век-р, начало и конец кот-го совпадают. Его обозначают . Заметим, что модуль нулевого вектора равен 0, а направление не определено.

Единичный вектор - вектор, длина кот-го = единице.

2 Век-ра наз-ют коллинеарными , если онт лежат на одной и той же прямой , или -х прямых

Векторы ‖-ые одной и той же плоскости, наз. компланарными.

Одним из самых важных св-в вектора явл-ся то, что его можно перемещать‖-но самому себе в любую точку плоскости или пространства. (Поэтому коллинеарные векторы всегда можно перенести на одну прямую, а компланарные на одну плоскость).

Углом = ( , ) между векторами и называется угол при вершине в Δ , где = = .

В

Следовательно, 0 ≤ ≤

А С

_^

Два вектора и считаются ортогональными (перпендикулярными), если . (, ) =. Обозначают . В частности , где – любой вектор.

Линейными операциями над векторами называют сложение, вычитание, умножение вектора на число.

1. Суммой векторов и называют третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что вектор отложен из конца вектора . Вектор получается по правилу треугольника или параллелограмма.

Свойства суммы

1) а + в = в + а,

2) (а + в)+ с = а + (в + с),

3) а + о = а, а + (- а)= о.

Если складываются более двух векторов, то сумма определяется по правилу замыкающей.

с = а₁ + а₂ +...+ а_n .

2) Разностью двух векторов а и в наз-ся такой вектор d , который в сумме с векторами в дает вектор а .

а - в = d, если в + d = а.

Чтобы получить разность а - в двух векторов а и в , необходимо отложить их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого.

11. Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в базисе.

Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол междуними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение:  – векторы  и  ортогональны.

Определение. Тройка векторов  называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов  называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора  на плоскость, в которой лежат первые два вектора  и , кратчайший поворот первого вектора  ко второму  происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

Здесь, на изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7  изображена левая тройка векторов :

Определение. Базис  векторного пространства  называется ортонормированным, если  ортонормированная тройка векторов.Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

Любой вектор можно разложить по этому базису:

.

- координаты базиса.

12. Скалярное произведение. Координатная форма скалярного произведения.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Скалярным произведением в векторном пространстве  над полем  называется функция  для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов  и  пространства  и любых чисел  справедливо равенство  (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

2. для любых  и  справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

3. для любого  имеем , причем  только при  (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что  действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

13. Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.

Векторным произведением вектора  на вектор  в пространстве  называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора  равна произведению длин векторов  и  на синус угла ; между ними

• вектор  ортогонален каждому из векторов  и 

• вектор  направлен так, что тройка векторов  является правой.

• в случае пространства  требуется ассоциативность тройки векторов  .

Обозначение:

В литературе^[1] определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводиться остальное.

14. Смешанное произведение. Координатная форма смешанного произведения.

Сме́шанное произведе́ние  векторов  — скалярное произведение вектора  на векторное произведение векторов  и :

.

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

• Смешанное произведение  в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

• Смешанное произведение  в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов  и, взятому со знаком "минус":

В частности,

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

• Геометрический смысл — Смешанное произведение  по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами  и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

15. Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости, заданных точкой и нормальным вектором.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. 

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Общее уравнение плоскости  Ах+Ву+Сz+D=0

где  - нормальный вектор плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору 

16. Общее уравнение плоскости, общие уравнения прямой в пространстве, общее уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение плоскости

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

 Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Общее уравнение прямой на плоскости

Ax + By + C ( > 0).

Вектор  = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде:  + С = 0, где  - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой 

где  - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь  - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если  и произвольно, если C = 0.

17. Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости в отрезках

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. 

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой в отрезках 

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:  или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

 Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

 С = 1, , а = -1, b = 1.

18. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве, проходящей через 2 заданные точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки 

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

 

 Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ≠ х₂ и х = х ₁ , если х ₁ = х₂ .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

  Кроме того, для точки М₁ можно записать:

.

 Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

19. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве, заданной точкой и направляющим вектором

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Каждый ненулевой вектор ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в пространстве, заданной точкой M0 и направляющим вектором p→
M0(x0,y0,z0)−  точка;
p→(p1,p2,p3)−  направляющий вектор;

d[M0,p→]−? 

Берем произвольную точку M(x,y,z), для того чтобы она принадлежала нашей прямой d необходимо и достаточно, чтобы −−−−−−→M0M∣∣p→ , поэтому:
если p1/=0 ; p2/=0 ; p3/=0 , то уравнение прямой в пространстве будет:

p1x−x0=p2y−y0=p3z−z0;

если p1/=0 ; p2/=0 ; p3=0, то уравнение прямой в пространстве будет:

p1x−x0=p2y−y0;z−z0=0;

если p1=0; p2=0; p3/=0 , то уравнение прямой в пространстве будет:

x−x0=0;y−y0=0; 

20. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

Используя векторы

и

в качестве направляющих векторов плоскости, составим уравнение вида (4.18):
которое называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

21. Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояние  от точки  до этой плоскости можно вычислить по формуле
.

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.

Отклонение данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.

Вопрос 22. Эллипс и его основные свойства..

Эллипс- множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. е. – межфокусное расстояние эллипса.

Пусть – произвольная точка эллипса. Величины наз-ся фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению эллипса: r₁ + r₂ = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

(2)

Умножим (2) на

1) ; 2)

3) (3)

Сложим уравнения (2) и (3):

(4)

Возведем (4) в квадрат:

Пусть

(5)

(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке

Числа а и наз-ся соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки , наз-ся вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:

Так как (6)

Эксцентриситетом эллипса  наз-ют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

(7)

Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность.

При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4): (8)

Из (3):

Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.

Прямые называются директрисами эллипса.

– левая директриса, – правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством: (9)

т. е. отношение расстояния r_i от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию d_i от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Вопрос 23. Парабола и её основные свойства.

Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

П

усть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы .

Число p – называется фокальным параметром параболы.

Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда

По определению параболы . Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

(20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы. Если р > 0 (р < 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Т. к. для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы =1 ( = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением х² = 2q y (21)

Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой .

Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох.

Вопрос 24. Гипербола и её основные свойства.

Гипербола - множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая, чем расстояние между фокусами

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем т.е. Заметим, что

Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, – фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы:

где

Следовательно, (10)

Умножим (10) на (11)

Сложим уравнения (10) и (11): (12)

Возведем (12) в квадрат:

Пусть (13)

(13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.

Соответственно, уравнение – каноническое уравнение гиперболы с центром в точке

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

Точки называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид (14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как , то (15)

Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного расстояния к длине действительной оси : (16)

Следовательно,

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (12)

(17)

Прямые называются директрисами гиперболы.

– левая директриса, – правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса (18)

т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые (19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис.

25. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

 Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.  

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.  

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.то условие может быть записано также в виде k₁k₂ = -1

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда

26. Комплексные числа и действия над ними.

Действия над комплексными числами

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

Умножение

Деление

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁- z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число  называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

27. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

   Комплексное число  изображается на плоскости точкой или, эквивалентно, вектором с координатами  (рис.1), и при таком способе задания  операции сложения будет соответствовать векторное сложение. Плоскость называется комплексной плоскостью, ось  -действительной осью и  - мнимой осью.

Рис.1.

В полярной системе координат на комплексной плоскости число  будет определяться парой действительных чисел  (рис.1). Из уравнений, связывающих декартовую и полярную системы координат, следует:

и  имеет смысл модуля , а  называется аргументом числа , . С использованием (8) число  запишется как

и называется тригонометрической формой записи комлексного числа . Отметим, что аргумент определен с точностью до целого кратного , что записывается как

Выражение в скобках формулы (9) может быть преобразовано с помощью соотношения:

которое называется формулой Эйлера и позволяет получить еще один способ записи комплексных чисел

Выражение (12) называется показательной формой записи комплексного числа и является одной из наиболее часто встречающихся в комплексном анализе. Использование символа экспоненты в (11) указывает на то, что эта величина должна обладать и теми же свойствами. Доказательство последнего утверждения будет удобнее рассмотреть на примере.

28. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами  и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов  и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда  параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Угол между прямой и плоскостью

Пусть прямая d - не перпендикулярна плоскости θ; 
d′−  проекция прямой d на плоскость θ;
Наименьший из углов между прямыми d и d′ мы назовем углом между прямой и плоскостью.
Обозначим его как φ=(d,θ)
Если d⊥θ , то (d,θ)=π/2 

Oi→j→k→−  прямоугольная система координат.
Уравнение плоскости:

θ:Ax+By+Cz+D=0

Считаем, что прямая задана точкой и направляющим вектором: d[M0,p→] 
Вектор n→(A,B,C)⊥θ 
Тогда остается выяснить угол между векторами n→ и p→, обозначим его как γ=(n→,p→).

Если угол γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Если угол γ>π/2 , то искомый угол φ=γ−π/2 

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ 

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ 

Тогда, угол между прямой и плоскостью можно считать по формуле:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣  Ap1+Bp2+Cp3∣ ∣  √A2+B2+C2√p21+p22+p23 

Вопрос29. Понятие квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм.

Квадратичной формой  (х₁, х₂, …, x_n) n действительных переменных х₁, х₂, …, x_n называется сумма вида , (1)

где a_ij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что a_ij = a_ji.

Квадратичная форма называется действительной, если a_ij   ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица Т. е. А^Т = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде  (х) = х^ТАх, где х^Т = (х₁ х₂ … x_n). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если

 (х) > 0, для любого х = (х₁, х₂, …, x_n), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы  (х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если

 (х) < 0, для любого х = (х₁, х₂, …, x_n), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квад-ратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадра-тичная форма  (х) достигает минимального (максимального) значения  (х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:

то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма  (х) = х^ТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть: М₁ > 0, M₂ > 0, …, M_n > 0. Критерий отрицательной определенности Для того чтобы квадратичная форма  (х) = х^ТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, т. е.: М₁ < 0, M₂ > 0, М₃ < 0, …, (–1)ⁿ